definition am einheitskreis
Der Einheitskreis ist der Kreis mit Radius 1 um den Ursprung O. Punkt P liegt genau dann darauf, wenn $x^2+y^2=1$.
Sei $\varphi$ der Winkel zwischen $\overrightarrow{OP}$ und der positiven x-Achse (Gegenuhrzeigersinn):
$\cos\varphi \;=\; x\text{-Koordinate von }P$
$\sin\varphi \;=\; y\text{-Koordinate von }P$
$\tan\varphi \;=\; \dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi} \quad (\cos\varphi \neq 0)$
Es gilt stets $P = (\cos\varphi \mid \sin\varphi)$.
fundamentalbeziehung
$$\sin^2\!\varphi + \cos^2\!\varphi = 1$$
Daraus folgt: $|\sin\varphi| \le 1$ und $|\cos\varphi| \le 1$ für alle $\varphi$.
vorzeichen je quadrant
| Quadrant | Winkel | $\sin\varphi$ | $\cos\varphi$ | $\tan\varphi$ |
|---|---|---|---|---|
| I | $0°<\varphi<90°$ | + | + | + |
| II | $90°<\varphi<180°$ | + | − | − |
| III | $180°<\varphi<270°$ | − | − | + |
| IV | $270°<\varphi<360°$ | − | + | − |
sonderwerte
| $\varphi$ | Bogenmaß | $\sin\varphi$ | $\cos\varphi$ | $\tan\varphi$ |
|---|---|---|---|---|
| 0° | $0$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| 30° | $\tfrac{\pi}{6}$ | $\tfrac{1}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\tfrac{1}{\sqrt{3}}=\tfrac{\sqrt{3}}{3}$ |
| 45° | $\tfrac{\pi}{4}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ |
| 60° | $\tfrac{\pi}{3}$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\tfrac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| 90° | $\tfrac{\pi}{2}$ | $1$ | $0$ | undef. |
| 120° | $\tfrac{2\pi}{3}$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\tfrac{1}{2}$ | $-\sqrt{3}$ |
| 135° | $\tfrac{3\pi}{4}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $-1$ |
| 150° | $\tfrac{5\pi}{6}$ | $\tfrac{1}{2}$ | $-\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\tfrac{1}{\sqrt{3}}$ |
| 180° | $\pi$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| 270° | $\tfrac{3\pi}{2}$ | $-1$ | $0$ | undef. |
| 360° | $2\pi$ | $0$ | $1$ | $0$ |
herleitung der sonderwerte
30° und 60° — gleichseitiges Dreieck
Ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge 1 wird durch eine Höhe halbiert. Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite und teilt sie in zwei Hälften der Länge $\tfrac{1}{2}$.
Höhe mit dem Satz des Pythagoras:
$$h^2 + \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\!2} = 1^2 \quad\Rightarrow\quad h = \sqrt{1 - \tfrac{1}{4}} = \sqrt{\tfrac{3}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
Im rechtwinkligen Teildreieck (Hypotenuse 1):
$$\sin 30° = \cos 60° = \dfrac{1/2}{1} = \dfrac{1}{2}$$
$$\cos 30° = \sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}/2}{1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\tan 30° = \dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \qquad \tan 60° = \dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$$
45° — Quadrat mit Diagonale
Ein Quadrat mit Seitenlänge 1 hat Diagonale $d$. Mit dem Satz des Pythagoras:
$$d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \quad\Rightarrow\quad d = \sqrt{2}$$
Das rechtwinklige Dreieck (zwei Seiten + Diagonale) hat Hypotenuse $\sqrt{2}$, beide Katheten $= 1$, Winkel $= 45°$:
$$\sin 45° = \cos 45° = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\tan 45° = \dfrac{1}{1} = 1$$
tangens — geometrische deutung
$\tan\varphi$ ist der Abschnitt auf der senkrechten Tangente $x=1$ zwischen x-Achse und dem Schnittpunkt mit dem Strahl $\overrightarrow{OP}$. Für $\varphi=90°$ bzw. $270°$ ist der Strahl parallel zur Tangente — dann ist $\tan\varphi$ nicht definiert.
periodizität
$\sin(\varphi+360°)=\sin\varphi \quad$ (Periode $360°$)
$\cos(\varphi+360°)=\cos\varphi \quad$ (Periode $360°$)
$\tan(\varphi+180°)=\tan\varphi \quad$ (Periode $180°$)