gitin.de ZAHLENREIHEN · Folgen & Reihen · Klasse 10

Was ist eine Zahlenfolge?

Eine Zahlenfolge ist eine geordnete, unendliche Liste von Zahlen, bei der jedem natürlichen Index $n$ genau eine reelle Zahl $a_n$ zugeordnet wird:

$$a_1,\quad a_2,\quad a_3,\quad \ldots,\quad a_n,\quad \ldots$$

Die einzelnen Zahlen heißen Glieder der Folge, $n$ heißt Index. Kurzschreibweise: $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

Beispiel: $3,\; 7,\; 11,\; 15,\; 19,\; \ldots$  —  jedes Glied ist um $4$ größer als das vorherige.

Darstellungsformen

Explizite Darstellung

Das $n$-te Glied wird direkt durch eine Formel in $n$ berechnet — kein Vorgänger nötig:

$$a_n = 2n + 1 \quad \Longrightarrow \quad a_1 = 3,\quad a_2 = 5,\quad a_3 = 7,\quad \ldots$$

Rekursive Darstellung

Das $n$-te Glied wird aus dem vorherigen Glied berechnet. Nötig: ein Startglied $a_1$ und eine Bildungsvorschrift:

$$a_1 = 3,\quad a_{n+1} = a_n + 2 \quad \Longrightarrow \quad 3,\; 5,\; 7,\; 9,\; \ldots$$

Wertetabelle und Punktdiagramm

Wertetabelle für $a_n = 2n+1$:

$n$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$$8$
$a_n$$3$$5$$7$$9$$11$$13$$15$$17$

Im Punktdiagramm werden die Glieder als Punkte $(n \mid a_n)$ eingetragen. Da die Folge nur für ganzzahlige Indizes definiert ist, werden die Punkte nicht verbunden:

Erstes Glied $a_1$ 2
Differenz $d$ 3
0 / 20 Glieder
Arithmetische Folge — Balkendiagramm

Summenformel der arithmetischen Reihe

Die Summe der ersten $n$ Glieder einer arithmetischen Folge:

$$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$$

Herleitung — Die Gauß-Idee

Summe einmal vorwärts, einmal rückwärts aufschreiben und spaltenweise addieren:

$$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} + a_n$$
$$S_n = a_n + a_{n-1} + \cdots + a_2 + a_1$$
$$2S_n = \underbrace{(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+\cdots}_{n \text{ Paare}} = n\cdot(a_1+a_n)$$

Daraus folgt die Summenformel:

$$\boxed{S_n = \frac{n}{2}\cdot(a_1+a_n)}$$

Mit $a_n = a_1 + (n-1)\cdot d$ erhält man die äquivalente Form:

$$S_n = \frac{n}{2}\cdot\bigl(2a_1+(n-1)\cdot d\bigr)$$
Gauß: 1+2+...+100 = 5050

Carl Friedrich Gauß (1777–1855) soll als junger Schüler die Aufgabe bekommen haben: „Addiere alle Zahlen von 1 bis 100." Während die Mitschüler mühsam addierten, legte Gauß fast sofort seine Tafel hin — mit dem Ergebnis 5050.

Sein Trick: Zahlenpaare mit gleicher Summe bilden:
$1+100=101$, $\;2+99=101$, $\;\ldots$, $\;50+51=101$ — das sind $50$ Paare, also $50\cdot 101=5050$.

Genau diese Idee steckt in der Formel $S_n = \dfrac{n}{2}\cdot(a_1+a_n)$.

Erstes Glied $a_1$ 2
Quotient $q$ 2,0
0 / 15 Glieder
Geometrische Folge — Balkendiagramm

Summenformel der geometrischen Reihe

Die Summe der ersten $n$ Glieder einer geometrischen Folge:

$$S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^{n-1}$$

Herleitung (für $q \neq 1$)

Summe mit $q$ multiplizieren und subtrahieren:

$$S_n = a_1 + a_1 q + \cdots + a_1 q^{n-1}$$
$$q\cdot S_n = \phantom{a_1+{}}a_1 q + \cdots + a_1 q^{n-1} + a_1 q^n$$
$$S_n - q\cdot S_n = a_1 - a_1 q^n \quad\Longrightarrow\quad S_n(1-q) = a_1(1-q^n)$$

Ergebnis:

$$\boxed{S_n = a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}} \qquad (q \neq 1)$$

Für $q=1$ gilt $S_n = n\cdot a_1$.

Leistungskurs

Unendliche geometrische Reihe — was passiert für $|q|<1$?

Wenn $|q|<1$, wird $q^n$ mit wachsendem $n$ immer kleiner:

$$\left(\tfrac{1}{2}\right)^1 = 0{,}5 \quad \left(\tfrac{1}{2}\right)^5 \approx 0{,}031 \quad \left(\tfrac{1}{2}\right)^{10} \approx 0{,}001 \quad \cdots$$

Der Term $q^n$ nähert sich dem Wert $0$. Setzt man $q^n = 0$ in die Summenformel ein, erhält man die unendliche geometrische Reihe:

$$S = \frac{a_1}{1-q} \qquad (|q|<1)$$
Beispiel: $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots = \dfrac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2$

Vergleich: Arithmetisch & Geometrisch

Arithmetische FolgeGeometrische Folge
Bildungsregel$a_{n+1} = a_n + d$$a_{n+1} = a_n \cdot q$
Explizit$a_n = a_1 + (n-1)\cdot d$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$
Wachstumlinearexponentiell
Verwandte Funktion$f(x) = mx + b$$f(x) = b\cdot a^x$
Summe $S_n$$\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$$a_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}$
Anfangsbestand $a_0$ 100
Zinssatz $p$ 3,5 %
0 / 15 Schritte
Exponentielles Wachstum — Balkendiagramm

Geometrische Folge als Wachstumsmodell

Eine geometrische Folge mit $q>1$ und Startindex $n=0$ beschreibt exponentielles Wachstum:

$$a_n = a_0 \cdot q^n$$

Der Wachstumsfaktor $q$ ist mit dem Wachstumsprozentsatz $p$ verknüpft:

$$q = 1 + \frac{p}{100} \qquad \bigl(\text{z.\,B.}\; p=5\,\% \;\Rightarrow\; q=1{,}05\bigr)$$

Verbindung zur Exponentialfunktion

Die Folge liefert diskrete Punkte (Balken). Die Exponentialfunktion $f(x) = a_0 \cdot q^x$ ist für alle reellen $x$ definiert und verbindet diese Punkte zu einer glatten Kurve.

Anwendung: Zinsrechnung

Kapital $K_0$, jährlicher Zinssatz $p\,\%$, nach $n$ Jahren:

$$K_n = K_0 \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)^n$$
Beispiel: $1000\,€$ bei $3\,\%$ jährlichen Zinsen. Nach $10$ Jahren:
$K_{10} = 1000 \cdot (1{,}03)^{10} \approx 1343{,}92\,€$

Verdopplungszeit und Halbwertszeit

Verdopplungszeit $T_V$ — für wachsende Folgen ($q > 1$)

Nach wie vielen Perioden hat sich ein Wert verdoppelt? Bedingung: $a_0 \cdot q^{T_V} = 2 \cdot a_0$.

$$T_V = \frac{\ln 2}{\ln q} = \frac{\ln 2}{\ln\!\left(1+\dfrac{p}{100}\right)}$$

Praktische Näherung — Regel der 70:

$$T_V \approx \frac{70}{p} \qquad (p \text{ in }\%)$$
Zinssatz $p$Faktor $q$$T_V$ in JahrenRegel der 70Beispiel
1 %1,0169,770Niedrigzins-Sparbuch
3,5 %1,03520,120konservative Anlage
5 %1,0514,214Aktienmarkt (historisch)
10 %1,107,37risikoreichere Anlage

Halbwertszeit $T_H$ — für sinkende Folgen ($q < 1$)

Das spiegelbildliche Konzept: nach wie vielen Perioden ist ein sinkender Wert auf die Hälfte gefallen?

$$T_H = \frac{-\ln 2}{\ln q} = \frac{\ln 2}{\ln(1/q)} \qquad (q < 1)$$
Sinkrate $|p|$Faktor $q$$T_H$Beispiel
3 %0,97≈ 23 JahreKaufkraft bei 3 % Inflation
5 %0,95≈ 14 Jahremoderater Wertverlust
50 %0,51 PeriodeRadioaktivität: Halbierung pro Schritt
Zusammenhang: $T_H(q) = T_V(1/q)$ — Halbwertszeit und Verdopplungszeit sind Kehrwerte. Bei 3,5 % Wachstum verdoppelt sich ein Kapital in 20 Jahren; bei 3,5 % Inflation halbiert sich die Kaufkraft in denselben 20 Jahren.
Die Witwe im Tempel
Und es kam eine arme Witwe und legte zwei Scherflein ein; das macht zusammen einen Pfennig. Und er rief seine Jünger zu sich und sprach zu ihnen: Wahrlich, ich sage euch: Diese arme Witwe hat mehr in den Gotteskasten gelegt als alle, die etwas eingelegt haben. Markus 12,41–44 (LUT)

Eine Frage: Nehmen wir an, frühe Christen hätten diesen Pfennig — $K_0 = 0{,}01\,€$ — im Jahr 33 n. Chr. zu einem Zinssatz von $p = 3{,}5\,\%$ angelegt. Wie viel Kapital wäre im Jahr 2026 daraus geworden?

$$K_0 = 0{,}01\,€, \quad p = 3{,}5\,\%, \quad n = 2026 - 33 = 1993 \text{ Jahre}$$
$$K_{1993} = 0{,}01 \cdot (1{,}035)^{1993}$$

Auswertung mit dem dekadischen Logarithmus:

$$\log_{10}\!\left(1{,}035^{1993}\right) = 1993 \cdot \log_{10}(1{,}035) \approx 1993 \cdot 0{,}01494 \approx 29{,}8$$
$$K_{1993} \approx 0{,}01 \cdot 10^{29{,}8} \approx 6 \cdot 10^{27}\,€$$
Einordnung: Das Welt-BIP 2024 beträgt ca. $10^{13}\,€$. Dieses Kapital übersteigt es um den Faktor ${\approx}\, 6 \cdot 10^{14}$ — mehr als $10^{12}$ mal das gesamte Weltvermögen.
Verbindung zur Verdopplungszeit: Bei $T_V \approx 20$ Jahren verdoppelt sich das Kapital in 1993 Jahren etwa $\frac{1993}{20} \approx 100$ Mal: $$0{,}01 \cdot 2^{100} \approx 0{,}01 \cdot 1{,}27 \cdot 10^{30} \approx 10^{28}\,€$$ Das stimmt mit der exakten Rechnung in der Größenordnung überein. Das Ergebnis ist mathematisch korrekt und ökonomisch absurd — ein eindrucksvoller Beleg dafür, dass exponentielles Wachstum über sehr lange Zeiträume keine reale Schranke kennt.
A — Arithmetische Folgen und Reihen

A1. Eine arithmetische Folge hat $a_1 = 5$ und $d = 4$.

(a) Berechne $a_{10}$ und $a_{20}$.
(b) Berechne $S_{10}$.

(a) $a_n = a_1+(n-1)\cdot d = 5+(n-1)\cdot 4$

$a_{10} = 5+9\cdot 4 = 41$    $a_{20} = 5+19\cdot 4 = 81$

(b) $S_{10} = \dfrac{10}{2}\cdot(a_1+a_{10}) = 5\cdot(5+41) = 5\cdot 46 = 230$

A2. Von einer arithmetischen Folge ist bekannt: $a_3 = 11$ und $a_7 = 27$.

(a) Bestimme $a_1$ und $d$.
(b) Berechne $S_{15}$.

(a) $a_7 - a_3 = 4d \;\Rightarrow\; 27-11=4d \;\Rightarrow\; d=4$

$a_1 = a_3 - 2d = 11-8 = 3$

(b) $a_{15} = 3+14\cdot 4 = 59$

$S_{15} = \dfrac{15}{2}\cdot(3+59) = \dfrac{15}{2}\cdot 62 = 465$

A3 (Sachaufgabe). Ein Theater hat $15$ Reihen. Die erste Reihe hat $20$ Plätze, jede weitere $3$ mehr.

(a) Wie viele Plätze hat die 15. Reihe?
(b) Wie viele Plätze hat das Theater insgesamt?

Arithmetische Folge: $a_1=20$, $d=3$

(a) $a_{15} = 20+14\cdot 3 = 62$ Plätze

(b) $S_{15} = \dfrac{15}{2}\cdot(20+62) = \dfrac{15}{2}\cdot 82 = 615$ Plätze

B — Geometrische Folgen und Reihen

B1. Eine geometrische Folge hat $a_1 = 4$ und $q = 3$.

(a) Berechne $a_5$.
(b) Berechne $S_5$.

(a) $a_5 = 4\cdot 3^4 = 4\cdot 81 = 324$

(b) $S_5 = 4\cdot\dfrac{1-3^5}{1-3} = 4\cdot\dfrac{1-243}{-2} = 4\cdot 121 = 484$

B2. Die ersten drei Glieder einer geometrischen Folge lauten: $2,\; 6,\; 18$.

(a) Bestimme $a_1$, $q$ und die explizite Formel.
(b) Berechne $S_8$.

(a) $q = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{6}{2} = 3$, $\quad a_1 = 2$

Explizit: $a_n = 2\cdot 3^{n-1}$

(b) $S_8 = 2\cdot\dfrac{1-3^8}{1-3} = 2\cdot\dfrac{1-6561}{-2} = 6560$

B3 (Sachaufgabe). Ein Kapital von $1000\,€$ wird jährlich mit $5\,\%$ verzinst.

(a) Wie hoch ist das Kapital nach $8$ Jahren?
(b) Nach wie vielen Jahren übersteigt das Kapital $1500\,€$? (Probieren erlaubt)

Geometrische Folge: $a_0=1000$, $q=1{,}05$

(a) $K_8 = 1000\cdot(1{,}05)^8 \approx 1000\cdot 1{,}4775 \approx 1477{,}46\,€$

(b) $(1{,}05)^8 \approx 1{,}477 < 1{,}5$ und $(1{,}05)^9 \approx 1{,}551 > 1{,}5$

Das Kapital übersteigt $1500\,€$ nach 9 Jahren.

C — Gemischte Aufgaben

C1. Die Folge $5,\; 5,\; 5,\; 5,\; \ldots$ (konstant).

Zeige, dass diese Folge sowohl arithmetisch als auch geometrisch ist. Welche Werte haben $d$ und $q$?

Arithmetisch: $a_{n+1}-a_n = 5-5=0 \;\Rightarrow\; d=0$ ✓

Geometrisch: $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{5}{5}=1 \;\Rightarrow\; q=1$ ✓

Die konstante Folge ist der einzige Fall, in dem beide Bedingungen gleichzeitig gelten.

C2 (Sachaufgabe). Eine Bakterienkultur enthält anfangs $50$ Bakterien. Die Anzahl verdoppelt sich jede Stunde.

(a) Stelle eine Formel für die Anzahl $a_n$ nach $n$ Stunden auf.
(b) Wie viele Bakterien gibt es nach $6$ Stunden?
(c) Berechne die Gesamtzahl aller Bakterien von Stunde $0$ bis Stunde $6$.

Geometrische Folge: $a_0=50$, $q=2$

(a) $a_n = 50\cdot 2^n$

(b) $a_6 = 50\cdot 2^6 = 50\cdot 64 = 3200$ Bakterien

(c) $S = \displaystyle\sum_{n=0}^{6} a_n = 50\cdot\frac{1-2^7}{1-2} = 50\cdot 127 = 6350$ Bakterien

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