Die wichtigsten Rechenregeln stehen hier streng untereinander.
Summenregel
$$\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)$$
Differenzregel
$$\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)$$
Faktorregel
$$\left(c\cdot f(x)\right)'=c\cdot f'(x)$$
Potenzregel
$$\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}$$
Produktregel
$$\left(u(x)\cdot v(x)\right)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$$
Quotientenregel
$$\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$$
Kettenregel
$$\left(g(u(x))\right)'=g'(u(x))\cdot u'(x)$$
Konstante
| Funktion | Ableitung | Beispiel |
|---|---|---|
| $c$ | $(c)'=0$ | $(7{,}5)'=0$ |
Potenzfunktion
| Funktion | Ableitung | Hinweis |
|---|---|---|
| $x$ | $(x)'=1$ | Identität |
| $x^n$ | $(x^n)'=n x^{n-1}$ | $n\in\mathbb{R}$ |
Kehrwert und Wurzel
| Funktion | Ableitung | Hinweis |
|---|---|---|
| $\frac{1}{x}=x^{-1}$ | $\left(\frac{1}{x}\right)'=(x^{-1})'=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$ | $x\neq0$ |
| $\sqrt{x}=x^{\tfrac12}$ | $(\sqrt{x})'=\left(x^{\tfrac12}\right)'=\frac12x^{-\tfrac12}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $x>0$ |
Exponentialfunktionen
| Funktion | Ableitung | Hinweis |
|---|---|---|
| $e^x$ | $(e^x)'=e^x$ | natürliche Basis |
| $a^x$ | $(a^x)'=a^x\ln(a)$ | $a>0,\ a\neq1$ |
| $2^x$ | $(2^x)'=2^x\ln(2)$ | Beispiel |
| $10^x$ | $(10^x)'=10^x\ln(10)$ | Beispiel |
Logarithmen
| Funktion | Ableitung | Hinweis |
|---|---|---|
| $\ln(x)$ | $(\ln x)'=\frac{1}{x}$ | $x>0$ |
| $\log_a(x)$ | $(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln(a)}$ | $a>0,\ a\neq1$ |
| $\log_{10}(x)$ | $(\log_{10}x)'=\frac{1}{x\ln(10)}$ | Zehnerlogarithmus |
Trigonometrie
| Funktion | Ableitung | Hinweis |
|---|---|---|
| $\sin x$ | $(\sin x)'=\cos x$ | Bogenmaß |
| $\cos x$ | $(\cos x)'=-\sin x$ | Vorzeichen |
| $\tan x$ | $(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}$ | auch $1+\tan^2x$ |
| $\cot x$ | $(\cot x)'=-\frac{1}{\sin^2 x}$ | auch $-(1+\cot^2x)$ |
Umkehrfunktionen
| Funktion | Ableitung | Hinweis |
|---|---|---|
| $\arcsin x$ | $(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $-1<x<1$ |
| $\arccos x$ | $(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $-1<x<1$ |
| $\arctan x$ | $(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$ | $x\in\mathbb{R}$ |
BeispielProdukt mit Wurzel
$f(x)=x\sqrt{x}=x\cdot x^{\tfrac12}=x^{\tfrac32}$
$f'(x)=\tfrac32x^{\tfrac12}=$ $\tfrac32\sqrt{x}$
BeispielWurzelquotient
$f(x)=\dfrac{1}{x\sqrt[3]{x}}=\dfrac{1}{x\cdot x^{\tfrac13}}=x^{-\tfrac43}$
$f'(x)=-\tfrac43x^{-\tfrac73}=$ $-\dfrac{4}{3x^{\tfrac73}}$
BeispielAllgemeine Exponentialfunktion
$f(x)=5^x$
$f'(x)=$ $5^x\ln(5)$
BeispielSinus mit Faktor
$f(x)=2\sin(x)$
$f'(x)=2\cdot(\sin x)'=2\cos(x)=$ $2\cos(x)$
BeispielCosinus mit linearem Argument
$f(x)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)$
$f'(x)=-\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\frac12=$ $-\frac12\sin\left(\frac{x}{2}\right)$
BeispielPotenz mit linearem Argument
$f(x)=(3x-5)^4$
$f'(x)=4(3x-5)^3\cdot3=$ $12(3x-5)^3$
Beispiel +Wurzel mit linearem Argument
$f(x)=\sqrt{3x-5}$
$f'(x)=\dfrac12(3x-5)^{-\tfrac12}\cdot3=$ $\dfrac{3}{2\sqrt{3x-5}}$
Beispiel +Exponentialfunktion mit linearem Argument
$f(x)=e^{2x+1}$
$f'(x)=e^{2x+1}\cdot2=$ $2e^{2x+1}$
Beispiel +Logarithmus mit linearem Argument
$f(x)=\ln(5x-2)$
$f'(x)=\dfrac{1}{5x-2}\cdot5=$ $\dfrac{5}{5x-2}$
Beispiel +Produkt mit Wurzel und Kette
$f(x)=x\sqrt{2x+1}$
$f'(x)=\sqrt{2x+1}+x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{2x+1}}\cdot2=$ $\sqrt{2x+1}+\dfrac{x}{\sqrt{2x+1}}$
Beispiel +Produkt mit Exponentialfunktion und Kette
$f(x)=x^2e^{3x}$
$f'(x)=2xe^{3x}+x^2\cdot3e^{3x}=$ $2xe^{3x}+3x^2e^{3x}$
Beispiel +Negative Potenz mit Kette
$f(x)=\dfrac{1}{(x^2+1)^2}=(x^2+1)^{-2}$
$f'(x)=-2(x^2+1)^{-3}\cdot2x=$ $-\dfrac{4x}{(x^2+1)^3}$
Beispiel +Produkt mit Logarithmus und Kette
$f(x)=x\ln(x^2+1)$
$f'(x)=\ln(x^2+1)+x\cdot\dfrac{1}{x^2+1}\cdot2x=$ $\ln(x^2+1)+\dfrac{2x^2}{x^2+1}$
Beispiel ++Quotient mit Wurzel und Kette
$f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x^2}$
$f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}\cdot x^2-\sqrt{x-1}\cdot2x}{x^4}=$ $\dfrac{4-3x}{2x^3\sqrt{x-1}}$
Beispiel ++Produkt aus zwei verketteten Funktionen
$f(x)=e^{x^2}\ln(x+1)$
$f'(x)=2xe^{x^2}\ln(x+1)+e^{x^2}\cdot\dfrac{1}{x+1}=$ $2xe^{x^2}\ln(x+1)+\dfrac{e^{x^2}}{x+1}$
Beispiel ++Quotient mit zwei Ketten
$f(x)=\dfrac{(x^2+1)^3}{\sqrt{2x-1}}$
$f'(x)=\dfrac{6x(x^2+1)^2\sqrt{2x-1}-(x^2+1)^3\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}}{2x-1}=$ $\dfrac{(x^2+1)^2(10x^2-6x-1)}{(2x-1)\sqrt{2x-1}}$
Beispiel ++Verschachtelte Kette
$f(x)=\sin\left((x^2+1)^3\right)$
$f'(x)=\cos\left((x^2+1)^3\right)\cdot3(x^2+1)^2\cdot2x=$ $6x(x^2+1)^2\cos\left((x^2+1)^3\right)$
Beispiel ++Logarithmus eines Produkts
$f(x)=\ln\left(x\sqrt{x+1}\right)=\ln(x)+\tfrac12\ln(x+1)$
$f'(x)=\dfrac1x+\dfrac{1}{2(x+1)}=$ $\dfrac{3x+2}{2x(x+1)}$