Sachkontext: Geschwindigkeit
Situation
Ein Fahrzeug beschleunigt gleichmäßig; nach $t$ Sekunden hat es die Strecke $s(t) = 0{,}5\,t^2$ (in Metern) zurückgelegt.
Zwischen zwei Zeitpunkten $t_1$ und $t_2$ verändert sich die zurückgelegte Strecke
von $s(t_1)$ auf $s(t_2)$. Die Gerade durch $P_1(t_1\,|\,s(t_1))$ und $P_2(t_2\,|\,s(t_2))$
heißt Sekante.
Differenzenquotient
Die Steigung der Sekante entspricht der mittleren Änderungsrate —
hier der Durchschnittsgeschwindigkeit — im Intervall $[t_1;t_2]$:
$$m = \dfrac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}$$
Zeitpunkt t₁
Zeitpunkt t₂
Differenzenquotient
mittlere Geschwindigkeit
Verändere $t_1$ und $t_2$ mit den Schiebereglern und beobachte, wie sich die Sekante und ihre Steigung verändern.
Sachkontext: Geschwindigkeit
Idee
Lässt man $t_2 = t_0 + h$ immer näher an $t_0$ heranrücken — also $h$ immer kleiner werden —
dann dreht sich die Sekante sichtbar in Richtung einer Grenzlage: der Tangente
im Punkt $P(t_0\,|\,s(t_0))$.
Beobachtung
Der Differenzenquotient $\dfrac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h}$ nähert sich dabei einem festen Zahlenwert an.
Berührpunkt an der Stelle t₀
Abstand h
Differenzenquotient für dieses h
Zielwert für h → 0
Ziehe den Regler für $h$ ganz nach links: Beobachte, wie die Sekante zur Tangente wird (gestrichelt) und der berechnete Wert sich stabilisiert.
Definition
Differentialquotient
Der Grenzwert, dem sich der Differenzenquotient für $h \to 0$ annähert, heißt
Differentialquotient oder Ableitung von $s$ an der Stelle $t_0$:
$$s'(t_0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{s(t_0+h)-s(t_0)}{h}$$
Geometrisch ist $s'(t_0)$ die Steigung der Tangente im Punkt $P(t_0\,|\,s(t_0))$.
Im Sachkontext ist $s'(t_0)$ die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_0$ —
im Gegensatz zur mittleren Geschwindigkeit aus Tab 1, die sich stets auf ein ganzes Intervall bezieht.
Berührpunkt an der Stelle t₀
Momentangeschwindigkeit
Newton & Leibniz
Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelten unabhängig voneinander im 17. Jahrhundert
die Grundlagen der Differentialrechnung.
Isaac Newton
1643–1727 · England
Gottfried Wilhelm Leibniz
1646–1716 · Deutschland
Newton entwickelte seine „Fluxionsrechnung" bereits Mitte der 1660er-Jahre, veröffentlichte sie zunächst aber nicht. Leibniz kam wenig später, unabhängig davon, auf sehr ähnliche Ideen und veröffentlichte seine Ergebnisse ab 1684 — deutlich früher als Newton. Da beide Gelehrte sich zuvor brieflich ausgetauscht hatten, entbrannte zwischen England und dem europäischen Festland ein jahrzehntelanger, teils erbittert geführter Prioritätsstreit darüber, wer die Differentialrechnung „zuerst" erfunden habe. Heute geht man davon aus, dass beide unabhängig voneinander zum gleichen Ergebnis kamen.
Unterschiedliche Notation
Newton
$\dot{x}$ — die „Fluxion", Ableitung nach der Zeit
Leibniz
$\dfrac{dy}{dx}$ — der „Differentialquotient"
Newtons Punktnotation ($\dot{x}$) wird bis heute in der Physik für Ableitungen nach der Zeit verwendet. Leibniz' Bruchschreibweise $\dfrac{dy}{dx}$ ist dagegen die in der Schulmathematik übliche Notation — sie erinnert bewusst an einen Quotienten und macht den Bezug zum Differenzenquotienten sichtbar, aus dem die Ableitung ja gerade hervorgeht.
Von t₀ zu beliebigem x
Wir wenden die Definition aus Tab 3 nun algebraisch allgemein an — nicht mehr für ein festes $t_0$, sondern für ein beliebiges $x$.
Beispiel 1 · f(x) = x²
$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
$= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h}$
$= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$
$= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{2xh + h^2}{h}$
$= \lim\limits_{h \to 0}\,(2x + h)$
$= \boldsymbol{2x}$
Stelle x
Steigung an dieser Stelle
Beispiel 2 · f(x) = x³
$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
$= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(x+h)^3 - x^3}{h}$
$= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h}$
$= \lim\limits_{h \to 0}\,(3x^2 + 3xh + h^2)$
$= \boldsymbol{3x^2}$
Stelle x
Steigung an dieser Stelle
Beide Herleitungen folgen demselben Muster: $(x+h)^n$ ausmultiplizieren, $x^n$ subtrahieren, durch $h$ kürzen — übrig bleiben nur noch Summanden ohne $h$ im Nenner, sodass der Grenzübergang $h \to 0$ direkt ausgeführt werden kann.
Steigung und Neigungswinkel
Zusammenhang
Jede Gerade schließt mit der positiven $t$-Achse einen Neigungswinkel $\alpha$ ein.
Zwischen Steigung und Neigungswinkel besteht der Zusammenhang
$$m = \tan(\alpha)$$
Für die Tangente an der Stelle $t_0$ gilt daher $\tan(\alpha) = s'(t_0)$ — je größer die Steigung,
desto steiler der Winkel zur $t$-Achse.
Berührpunkt an der Stelle t₀
Steigung m
Neigungswinkel α
Verschiebe $t_0$: Die Steigung der Tangente und ihr Neigungswinkel ändern sich gemeinsam. Ein Winkel nahe $90°$ bedeutet eine sehr steile, ein Winkel nahe $0°$ eine sehr flache Tangente.
Aufgabe 1 · Sachkontext Fallschirmsprung
AufgabeMittlere Geschwindigkeit
Die Fallstrecke eines Fallschirmspringers (vor dem Öffnen des Schirms) lässt sich näherungsweise durch $s(t) = 5t^2$ (in Metern, $t$ in Sekunden) beschreiben. Berechne die mittlere Geschwindigkeit zwischen $t_1 = 2\,\text{s}$ und $t_2 = 4\,\text{s}$.
$$m = \dfrac{s(4)-s(2)}{4-2} = \dfrac{80-20}{2} = \boldsymbol{30\;\text{m/s}}$$
Aufgabe 2 · Ableitung nach Definition
AufgabeMomentane Änderungsrate
Ein Getränkeautomat füllt einen Behälter; die Füllhöhe folgt $h(t) = t^2$ (in cm, $t$ in Sekunden). Bestimme mithilfe der Definition des Differentialquotienten die momentane Anstiegsgeschwindigkeit der Füllhöhe zum Zeitpunkt $t_0 = 3\,\text{s}$.
$$h'(t_0) = \lim_{h \to 0}\dfrac{(t_0+h)^2 - t_0^2}{h} = \lim_{h \to 0}(2t_0+h) = 2t_0 = 2\cdot 3 = \boldsymbol{6\;\text{cm/s}}$$
Aufgabe 3 · Anwendung der allgemeinen Ableitung
Aufgabef'(x) für f(x) = x³
Nutze das Ergebnis $f'(x) = 3x^2$ aus Tab 4 für $f(x) = x^3$. Berechne $f'(-2)$.
$$f'(-2) = 3 \cdot (-2)^2 = 3 \cdot 4 = \boldsymbol{12}$$
Aufgabe 4 · Differenzenquotient vs. Differentialquotient
AufgabeNäherung am Differentialquotienten
Für $s(t) = t^2$: Berechne den Differenzenquotienten im Intervall $[1;\,1{,}1]$ und vergleiche ihn mit dem Differentialquotienten $s'(1)$.
$$\dfrac{s(1{,}1)-s(1)}{0{,}1} = \dfrac{1{,}21-1}{0{,}1} = \boldsymbol{2{,}1}$$
Zum Vergleich: $s'(1) = 2\cdot 1 = 2$ — der Differenzenquotient liegt bereits sehr nahe am Differentialquotienten.
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