Die wichtigsten Rechenregeln stehen hier streng untereinander.
Summenregel
$$\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)$$
Differenzregel
$$\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)$$
Faktorregel
$$\left(c\cdot f(x)\right)'=c\cdot f'(x)$$
Potenzregel
$$\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}$$
Für beliebige $n\in\mathbb{R}$ gilt die Regel allgemein für $x>0$; für $n\in\mathbb{N}$ für alle $x\in\mathbb{R}$, für $n\in\mathbb{Z},\ n<0$ für $x\neq0$.
Produktregel
$$\left(u(x)\cdot v(x)\right)'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$$
Quotientenregel
$$\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$$
$u$ und $v$ differenzierbar, $v(x)\neq0$.
Kettenregel
$$\left(g(u(x))\right)'=g'(u(x))\cdot u'(x)$$
Konstante
| Funktion | Ableitung | Beispiel |
|---|---|---|
| $c$ | $(c)'=0$ | $(7{,}5)'=0$ |
Potenzfunktion
| Funktion | Ableitung | Hinweis |
|---|---|---|
| $x$ | $(x)'=1$ | Identität |
| $x^n$ | $(x^n)'=n x^{n-1}$ | $n\in\mathbb{R}$ allgemein $x>0$ |
Kehrwert und Wurzel
| Funktion | Ableitung | Hinweis |
|---|---|---|
| $\frac{1}{x}=x^{-1}$ | $\left(\frac{1}{x}\right)'=(x^{-1})'=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$ | $x\neq0$ |
| $\sqrt{x}=x^{\tfrac12}$ | $(\sqrt{x})'=\left(x^{\tfrac12}\right)'=\frac12x^{-\tfrac12}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $x>0$ |
Exponentialfunktionen
| Funktion | Ableitung | Hinweis |
|---|---|---|
| $e^x$ | $(e^x)'=e^x$ | natürliche Basis |
| $a^x$ | $(a^x)'=a^x\ln(a)$ | $a>0,\ a\neq1$ |
| $2^x$ | $(2^x)'=2^x\ln(2)$ | Beispiel |
| $10^x$ | $(10^x)'=10^x\ln(10)$ | Beispiel |
Logarithmen
| Funktion | Ableitung | Hinweis |
|---|---|---|
| $\ln(x)$ | $(\ln x)'=\frac{1}{x}$ | $x>0$ |
| $\log_a(x)$ | $(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln(a)}$ | $x>0$ $a>0,\ a\neq1$ |
| $\log_{10}(x)$ | $(\log_{10}x)'=\frac{1}{x\ln(10)}$ | $x>0$ Zehnerlogarithmus |
Trigonometrie
| Funktion | Ableitung | Hinweis |
|---|---|---|
| $\sin x$ | $(\sin x)'=\cos x$ | Bogenmaß |
| $\cos x$ | $(\cos x)'=-\sin x$ | Vorzeichen |
| $\tan x$ | $(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}$ | $\cos x\neq0$ auch $1+\tan^2x$ |
| $\cot x$ | $(\cot x)'=-\frac{1}{\sin^2 x}$ | $\sin x\neq0$ auch $-(1+\cot^2x)$ |
Umkehrfunktionen
| Funktion | Ableitung | Hinweis |
|---|---|---|
| $\arcsin x$ | $(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $-1<x<1$ |
| $\arccos x$ | $(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $-1<x<1$ |
| $\arctan x$ | $(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$ | $x\in\mathbb{R}$ |
BeispielProdukt mit Wurzel
$f(x)=x\sqrt{x}=x\cdot x^{\tfrac12}=x^{\tfrac32}$, $x\geq0$
$f'(x)=\tfrac32x^{\tfrac12}=$ $\tfrac32\sqrt{x}$
BeispielWurzelquotient
$f(x)=\dfrac{1}{x\sqrt[3]{x}}=\dfrac{1}{x\cdot x^{\tfrac13}}=x^{-\tfrac43}$, $x>0$
$f'(x)=-\tfrac43x^{-\tfrac73}=$ $-\dfrac{4}{3x^{\tfrac73}}$
BeispielAllgemeine Exponentialfunktion
$f(x)=5^x$
$f'(x)=$ $5^x\ln(5)$
BeispielSinus mit Faktor
$f(x)=2\sin(x)$
$f'(x)=2\cdot(\sin x)'=2\cos(x)=$ $2\cos(x)$
BeispielCosinus mit linearem Argument
$f(x)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)$
$f'(x)=-\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\frac12=$ $-\frac12\sin\left(\frac{x}{2}\right)$
BeispielPotenz mit linearem Argument
$f(x)=(3x-5)^4$
$f'(x)=4(3x-5)^3\cdot3=$ $12(3x-5)^3$
Beispiel +Wurzel mit linearem Argument
$f(x)=\sqrt{3x-5}$, $x\geq\tfrac53$
$f'(x)=\dfrac12(3x-5)^{-\tfrac12}\cdot3=$ $\dfrac{3}{2\sqrt{3x-5}}$ für $x>\tfrac53$
Beispiel +Exponentialfunktion mit linearem Argument
$f(x)=e^{2x+1}$
$f'(x)=e^{2x+1}\cdot2=$ $2e^{2x+1}$
Beispiel +Logarithmus mit linearem Argument
$f(x)=\ln(5x-2)$, $x>\tfrac25$
$f'(x)=\dfrac{1}{5x-2}\cdot5=$ $\dfrac{5}{5x-2}$
Beispiel +Produkt mit Wurzel und Kette
$f(x)=x\sqrt{2x+1}$, $x\geq-\tfrac12$
$f'(x)=\sqrt{2x+1}+x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{2x+1}}\cdot2=$ $\sqrt{2x+1}+\dfrac{x}{\sqrt{2x+1}}$ für $x>-\tfrac12$
Beispiel +Produkt mit Exponentialfunktion und Kette
$f(x)=x^2e^{3x}$
$f'(x)=2xe^{3x}+x^2\cdot3e^{3x}=$ $2xe^{3x}+3x^2e^{3x}$
Beispiel +Negative Potenz mit Kette
$f(x)=\dfrac{1}{(x^2+1)^2}=(x^2+1)^{-2}$
$f'(x)=-2(x^2+1)^{-3}\cdot2x=$ $-\dfrac{4x}{(x^2+1)^3}$
Beispiel +Produkt mit Logarithmus und Kette
$f(x)=x\ln(x^2+1)$
$f'(x)=\ln(x^2+1)+x\cdot\dfrac{1}{x^2+1}\cdot2x=$ $\ln(x^2+1)+\dfrac{2x^2}{x^2+1}$
Beispiel ++Quotient mit Wurzel und Kette
$f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x^2}$, $x\geq1$
$f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}\cdot x^2-\sqrt{x-1}\cdot2x}{x^4}=$ $\dfrac{4-3x}{2x^3\sqrt{x-1}}$ für $x>1$
Beispiel ++Produkt aus zwei verketteten Funktionen
$f(x)=e^{x^2}\ln(x+1)$, $x>-1$
$f'(x)=2xe^{x^2}\ln(x+1)+e^{x^2}\cdot\dfrac{1}{x+1}=$ $2xe^{x^2}\ln(x+1)+\dfrac{e^{x^2}}{x+1}$
Beispiel ++Quotient mit zwei Ketten
$f(x)=\dfrac{(x^2+1)^3}{\sqrt{2x-1}}$, $x>\tfrac12$
$f'(x)=\dfrac{6x(x^2+1)^2\sqrt{2x-1}-(x^2+1)^3\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}}{2x-1}$
$=\dfrac{(x^2+1)^2\bigl(6x(2x-1)-(x^2+1)\bigr)}{(2x-1)\sqrt{2x-1}}=$ $\dfrac{(x^2+1)^2(11x^2-6x-1)}{(2x-1)\sqrt{2x-1}}$
Beispiel ++Verschachtelte Kette
$f(x)=\sin\left((x^2+1)^3\right)$
$f'(x)=\cos\left((x^2+1)^3\right)\cdot3(x^2+1)^2\cdot2x=$ $6x(x^2+1)^2\cos\left((x^2+1)^3\right)$
Beispiel ++Logarithmus eines Produkts
$f(x)=\ln\left(x\sqrt{x+1}\right)=\ln(x)+\tfrac12\ln(x+1)$, $x>0$
$f'(x)=\dfrac1x+\dfrac{1}{2(x+1)}=$ $\dfrac{3x+2}{2x(x+1)}$
Bestimme jeweils die erste Ableitung. Die Lösung lässt sich aufklappen.
Übung 1$f(x)=x^2\sqrt{x}$, $x\geq0$
Regeln: Potenzgesetze + Potenzregel
$f(x)=x^2\sqrt{x}=x^2\cdot x^{\tfrac12}=x^{\tfrac52}$
$f'(x)=\tfrac52x^{\tfrac32}=$ $\tfrac52x\sqrt{x}$
Übung 2$f(x)=\dfrac{1}{x\sqrt{x}}$, $x>0$
Regeln: Potenzgesetze + Potenzregel
$f(x)=\dfrac{1}{x\cdot x^{\tfrac12}}=x^{-\tfrac32}$
$f'(x)=-\tfrac32x^{-\tfrac52}=$ $-\dfrac{3}{2x^2\sqrt{x}}$
Übung 3$f(x)=3^x$
Regeln: Ableitung von $a^x$
$f(x)=3^x$
$f'(x)=$ $3^x\ln(3)$
Übung 4$f(x)=-4\cos(x)$
Regeln: Faktorregel + Ableitung von $\cos x$
$f(x)=-4\cos(x)$
$f'(x)=-4\cdot(\cos x)'=-4\cdot(-\sin x)=$ $4\sin(x)$
Übung 5$f(x)=\sin(3x)$
Regeln: Kettenregel mit linearem Argument
$f(x)=\sin(3x)$
$f'(x)=\cos(3x)\cdot3=$ $3\cos(3x)$
Übung 6$f(x)=(2x+7)^5$
Regeln: Potenzregel + Kettenregel mit linearem Argument
$f(x)=(2x+7)^5$
$f'(x)=5(2x+7)^4\cdot2=$ $10(2x+7)^4$
Bestimme jeweils die erste Ableitung. Die Lösung lässt sich aufklappen.
Übung + 1$f(x)=\sqrt{4x+1}$, $x\geq-\tfrac14$
Regeln: Wurzel als Potenz + Kettenregel
$f(x)=\sqrt{4x+1}=(4x+1)^{\tfrac12}$
$f'(x)=\dfrac12(4x+1)^{-\tfrac12}\cdot4=$ $\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}$ für $x>-\tfrac14$
Übung + 2$f(x)=e^{-3x+2}$
Regeln: Ableitung von $e^x$ + Kettenregel
$f(x)=e^{-3x+2}$
$f'(x)=e^{-3x+2}\cdot(-3)=$ $-3e^{-3x+2}$
Übung + 3$f(x)=\ln(2x+3)$, $x>-\tfrac32$
Regeln: Ableitung von $\ln x$ + Kettenregel
$f(x)=\ln(2x+3)$
$f'(x)=\dfrac{1}{2x+3}\cdot2=$ $\dfrac{2}{2x+3}$
Übung + 4$f(x)=x\sqrt{3x-2}$, $x\geq\tfrac23$
Regeln: Produktregel + Kettenregel
$u=x,\ u'=1$
$v=\sqrt{3x-2},\ v'=\dfrac{1}{2\sqrt{3x-2}}\cdot3$
$f'(x)=1\cdot\sqrt{3x-2}+x\cdot\dfrac{3}{2\sqrt{3x-2}}=$ $\sqrt{3x-2}+\dfrac{3x}{2\sqrt{3x-2}}$ für $x>\tfrac23$
Übung + 5$f(x)=x^3e^{-2x}$
Regeln: Produktregel + Kettenregel
$u=x^3,\ u'=3x^2$
$v=e^{-2x},\ v'=-2e^{-2x}$
$f'(x)=3x^2e^{-2x}+x^3\cdot(-2)e^{-2x}=$ $3x^2e^{-2x}-2x^3e^{-2x}$
Übung + 6$f(x)=\dfrac{1}{(2x^2+3)^2}$
Regeln: Negative Potenz + Kettenregel
$f(x)=(2x^2+3)^{-2}$
$f'(x)=-2(2x^2+3)^{-3}\cdot4x=$ $-\dfrac{8x}{(2x^2+3)^3}$
Übung + 7$f(x)=x^2\ln(x^2+1)$
Regeln: Produktregel + Kettenregel
$u=x^2,\ u'=2x$
$v=\ln(x^2+1),\ v'=\dfrac{1}{x^2+1}\cdot2x$
$f'(x)=2x\ln(x^2+1)+x^2\cdot\dfrac{2x}{x^2+1}=$ $2x\ln(x^2+1)+\dfrac{2x^3}{x^2+1}$
Bestimme jeweils die erste Ableitung. Die Lösung lässt sich aufklappen.
Übung ++ 1$f(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x^3}$, $x\geq-2,\ x\neq0$
Regeln: Quotientenregel + Kettenregel
$u=\sqrt{x+2},\ u'=\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}$
$v=x^3,\ v'=3x^2$
$f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}\cdot x^3-\sqrt{x+2}\cdot3x^2}{x^6}$
$=\dfrac{x^3-6x^2(x+2)}{2x^6\sqrt{x+2}}=\dfrac{-5x^3-12x^2}{2x^6\sqrt{x+2}}=$ $-\dfrac{5x+12}{2x^4\sqrt{x+2}}$ für $x>-2,\ x\neq0$
Übung ++ 2$f(x)=e^{-x^2}\ln(2x+1)$, $x>-\tfrac12$
Regeln: Produktregel + zweimal Kettenregel
$u=e^{-x^2},\ u'=-2xe^{-x^2}$
$v=\ln(2x+1),\ v'=\dfrac{2}{2x+1}$
$f'(x)=-2xe^{-x^2}\ln(2x+1)+e^{-x^2}\cdot\dfrac{2}{2x+1}=$ $-2xe^{-x^2}\ln(2x+1)+\dfrac{2e^{-x^2}}{2x+1}$
Übung ++ 3$f(x)=\dfrac{(x^2+3)^2}{\sqrt{4x+1}}$, $x>-\tfrac14$
Regeln: Quotientenregel + zweimal Kettenregel
$u=(x^2+3)^2,\ u'=4x(x^2+3)$
$v=\sqrt{4x+1},\ v'=\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}$
$f'(x)=\dfrac{4x(x^2+3)\sqrt{4x+1}-(x^2+3)^2\cdot\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}}{4x+1}$
$=\dfrac{2(x^2+3)\bigl(2x(4x+1)-(x^2+3)\bigr)}{(4x+1)\sqrt{4x+1}}=$ $\dfrac{2(x^2+3)(7x^2+2x-3)}{(4x+1)\sqrt{4x+1}}$
Übung ++ 4$f(x)=\cos\left((2x-1)^4\right)$
Regeln: Verschachtelte Kettenregel
$f(x)=\cos\left((2x-1)^4\right)$
$f'(x)=-\sin\left((2x-1)^4\right)\cdot4(2x-1)^3\cdot2=$ $-8(2x-1)^3\sin\left((2x-1)^4\right)$
Übung ++ 5$f(x)=\ln\left(x^2\sqrt{2x+1}\right)$, $x>-\tfrac12,\ x\neq0$
Regeln: Logarithmusgesetze + Ableitung von $\ln|x|$ + Kettenregel
$f(x)=\ln(x^2)+\ln\sqrt{2x+1}=2\ln|x|+\tfrac12\ln(2x+1)$
Betrag, weil $\ln(x^2)=2\ln|x|$ auch für $-\tfrac12<x<0$ gelten muss; es gilt $(\ln|x|)'=\tfrac1x$.
$f'(x)=\dfrac2x+\dfrac12\cdot\dfrac{2}{2x+1}=\dfrac2x+\dfrac{1}{2x+1}=$ $\dfrac{5x+2}{x(2x+1)}$