Wir wissen bereits: $f'(x_0)$ ist die Steigung der Tangente im Punkt $P(x_0\,|\,f(x_0))$.
Jetzt geht es um die vollständige Gleichung dieser Tangente —
dafür brauchen wir ein festes Vorgehen.
Aufgabenstellung
Gegeben ist die Funktion $f(x) = 0{,}5x^2 - 2x$. Bestimme die Gleichung der Tangente an den
Graphen von $f$ an der Stelle $x_0 = 4$.
$$t(x) = f(x_0) + f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$
Probe am Beispiel von oben: $t(x) = 0 + 2\,(x-4) = 2x-8$ — dasselbe Ergebnis wie mit Methode A.
Interaktiv
Berührpunkt an der Stelle x₀
Berührpunkt
Steigung
Tangentengleichung
Wähle eine Funktion und verschiebe $x_0$: Berührpunkt, Steigung und Tangentengleichung passen sich live an.
Zusammenhang zur Tangente
Definition
Die Normale ist die Gerade, die im Berührpunkt $P(x_0\,|\,f(x_0))$
senkrecht auf der Tangente steht. Für zwei zueinander senkrechte Geraden
gilt für ihre Steigungen $m_1 \cdot m_2 = -1$, also:
$$m_n = -\dfrac{1}{m}$$
Anschaulich: zwei kongruente Steigungsdreiecke
Das blaue Steigungsdreieck der Tangente hat das Verhältnis $2$ (rechts) zu $5$ (hoch) —
Steigung $m=\dfrac{5}{2}=2{,}5$. Dreht man dieses Dreieck um $90°$, vertauschen sich die
Katheten und eine kehrt ihr Vorzeichen um: Aus $2$ rechts / $5$ hoch wird $5$ rechts / $2$ runter —
das ist genau das grüne Dreieck der Normalen, mit Steigung $m_n=\dfrac{-2}{5}=-0{,}4$.
$$m\cdot m_n = 2{,}5 \cdot(-0{,}4) = -1 \;\checkmark$$
Aufgabenstellung
Gegeben ist wieder $f(x) = 0{,}5x^2 - 2x$. Bestimme die Gleichung der Normalen an den
Graphen von $f$ an der Stelle $x_0 = 4$.
Schritt für Schritt
Schritt 1 — Berührpunkt (wie bei der Tangente)
Gleicher Berührpunkt wie in Tab 1: $\boldsymbol{P(4\,|\,0)}$
Schritt 2 — Steigung der Normalen
Aus Tab 1: $m = f'(4) = 2$. Damit $m_n = -\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow \boldsymbol{m_n = -0{,}5}$
Schritt 3 — Ansatz aufstellen und n bestimmen
Ansatz $n(x) = m_n x + n$, Punkt $P(4\,|\,0)$ einsetzen: $0 = -0{,}5\cdot 4 + n$
$\Rightarrow \boldsymbol{n = 2}$
Schritt 4 — Normalengleichung
$$n(x) = -0{,}5x + 2$$
Sonderfall
Ist $m = 0$ (waagerechte Tangente), ist $-\frac{1}{m}$ nicht definiert — die Normale steht dann
senkrecht zur x-Achse und hat die Form $x = x_0$ (keine $y=mx+n$-Darstellung möglich).
Interaktiv
Berührpunkt an der Stelle x₀
Berührpunkt
Steigung Tangente
Steigung Normale
Normalengleichung
Die dünne gestrichelte Linie zeigt zur Orientierung die Tangente; die durchgezogene Linie ist die Normale.
Typ 1 · Tangente durch einen externen Punkt
Erkennungsmerkmal
Der gegebene Punkt liegt nicht auf dem Graphen von $f$. Die Berührstelle $x_0$
ist unbekannt und muss erst über eine Gleichung bestimmt werden: Der allgemeine Tangentenansatz
$t(x) = f(x_0) + f\'(x_0)(x-x_0)$ muss den gegebenen Punkt enthalten.
Aufgabenstellung
Gegeben ist $f(x) = x^2$ und der Punkt $Q(1\,|\,-3)$, der nicht auf dem Graphen von $f$ liegt. Bestimme alle Tangenten an $f$, die durch $Q$ verlaufen.
Lösung
Allgemeine Tangente an $f$ in $x_0$: $\;t(x) = 2x_0\cdot x - x_0^2$
Bedingung — $Q$ liegt auf $t$: $\;-3 = 2x_0\cdot 1 - x_0^2$
Zwei parallele Tangenten mit Steigung 9 — symmetrisch, da $f$ eine ungerade Funktion ist.
Typ 3 · Berührbedingung zweier Funktionen
Erkennungsmerkmal
Zwei Funktionen $f$ und $g$ sollen sich in einem Punkt berühren (gemeinsame Tangente).
Das liefert zwei Bedingungen gleichzeitig: $f(x_0)=g(x_0)$ (gleicher Punkt) und $f\'(x_0)=g\'(x_0)$ (gleiche Steigung).
Aufgabenstellung
Gegeben sind $f(x) = x^2$ und $g(x) = -x^2 + 4x - 2$. Zeige, dass sich die Graphen von $f$ und $g$ in einem Punkt berühren, und bestimme die gemeinsame Tangente.
Typ 4 · Tangente mit vorgegebenem Achsenschnittpunkt
Erkennungsmerkmal
Nicht die Steigung, sondern ein Schnittpunkt der Tangente mit einer Koordinatenachse
ist vorgegeben. Man setzt diese Bedingung in die allgemeine Tangentengleichung ein und löst nach $x_0$.
Aufgabenstellung
Gegeben ist $f(x) = x^2$. Bestimme die Berührstelle $x_0 \neq 0$, für die die Tangente die x-Achse bei $x=6$ schneidet.
Lösung
Allgemeine Tangente: $t(x) = 2x_0\cdot x - x_0^2$. Bedingung $t(6)=0$:
Für kleine Änderungen um $x_0$ gilt näherungsweise $f(x) \approx t(x)$ — die Tangente
ersetzt lokal den (komplizierteren) Funktionsverlauf. Typisch bei Sachaufgaben mit geringer Größenänderung.
Aufgabenstellung
Ein Würfel hat die Kantenlänge $5\,\text{cm}$. Schätze mithilfe der Tangente an $V(x)=x^3$ bei $x_0=5$ das Volumen bei einer Kantenlänge von $5{,}2\,\text{cm}$ ab.
Exakter Wert: $5{,}2^3 = 140{,}608\;\text{cm}^3$ — die Näherung liegt sehr nah dran.
Typ 6 · Tangente an einer Kurvenschar
Erkennungsmerkmal
Die Funktion enthält einen Scharparameter (z. B. $a$). Die Tangentengleichung wird
zunächst allgemein in Abhängigkeit von $a$ (und ggf. $x_0$) aufgestellt, danach für einen konkreten
Parameterwert ausgewertet.
Aufgabenstellung
Gegeben ist die Kurvenschar $f_a(x) = ax^2 - 2x$. Bestimme die Tangentengleichung an der Stelle $x_0=1$ in Abhängigkeit von $a$, und werte sie für $a=3$ aus.