Monotonie und Extrempunkte

Monotonie & Extrempunkte Analysis · Klasse 11/12 · Differentialrechnung

Ausgangslage

Beispiel: Höhenprofil einer Radstrecke

Eine Radstrecke ist 6 km lang. Ihre Höhe über dem Startpunkt wird beschrieben durch

$$h(x)=x^3-9x^2+24x,\qquad 0\le x\le 6$$

($x$ in km ab dem Start, $h(x)$ in m). Wo geht es bergauf, wo bergab?

Die Ableitung als Steigungsschild

Aus dem Ableitungsbegriff wissen wir: $h'(x_0)$ ist die momentane Änderungsrate von $h$ an der Stelle $x_0$. Hier heißt das: um wie viele Meter pro Kilometer sich die Höhe an dieser Stelle gerade ändert.

Das ist genau die Angabe auf einem Steigungsschild am Straßenrand. Zeigt das Schild einen positiven Wert, erwarten wir einen Anstieg, bei einem negativen Wert ein Gefälle.

Denselben Gedanken kennen wir von der Bewegung: Solange die Geschwindigkeit $s'(t)$ positiv ist, wächst die zurückgelegte Strecke $s(t)$.

Die Frage ist: Gilt das allgemein, für jede Funktion und auf einem ganzen Intervall?

Entdecken · Tangentensurfer

Stelle x₀

Punkt auf dem Graphen von f

Tangentensteigung

Monotonie an dieser Stelle

Warm hinterlegt sind die Bereiche mit $f'(x)\gt 0$, kalt hinterlegt die mit $f'(x)\lt 0$.

Verschiebe $x_0$ und beobachte die Tangente und den Graphen: Was macht der Graph in den warmen Bereichen, was in den kalten?

Definition

Monotonie

Eine Funktion $f$ heißt auf einem Intervall $I$ streng monoton steigend, wenn für alle $x_1, x_2\in I$ gilt: $\;x_1\lt x_2 \;\Rightarrow\; f(x_1)\lt f(x_2)$.

Sie heißt streng monoton fallend, wenn gilt: $\;x_1\lt x_2 \;\Rightarrow\; f(x_1)\gt f(x_2)$.

Anschaulich beim Höhenprofil: Bergauf heißt, dass jeder weiter hinten liegende Punkt höher liegt.

Warum positive Ableitung Steigen bedeutet

Anschauliche Begründung

Aus der Linearisierung wissen wir: In der Nähe einer Stelle verläuft der Graph fast wie seine Tangente.

Ist $f'(x)\gt 0$ an jeder Stelle eines Intervalls, dann steigt dort jede Tangente. Auf jedem kleinen Stück geht der Graph also ein wenig nach oben.

Setzt man diese kleinen Stücke aneinander, liegt jeder weiter rechts liegende Punkt höher: $\;x_1\lt x_2 \;\Rightarrow\; f(x_1)\lt f(x_2)$.

Hinweis zum Beweis

Ein vollständiger Beweis braucht den Mittelwertsatz der Differentialrechnung und geht über den Schulstoff hinaus. Die Begründung oben zeigt die Idee.

Monotoniesatz

$f'(x)\gt 0$ für alle $x$ im Inneren von $I$ $\;\Rightarrow\;$ $f$ ist auf $I$ streng monoton steigend.

$f'(x)\lt 0$ für alle $x$ im Inneren von $I$ $\;\Rightarrow\;$ $f$ ist auf $I$ streng monoton fallend.

Die Umkehrung gilt nicht

$f(x)=x^3$ ist auf ganz $\mathbb{R}$ streng monoton steigend, obwohl $f'(0)=0$ ist.

Aus „$f$ steigt streng monoton" folgt also nicht, dass überall $f'(x)\gt 0$ gilt. Einzelne Nullstellen der Ableitung ohne Vorzeichenwechsel stören die Monotonie nicht.

Anwendung · Monotonietabelle

Zurück zur Radstrecke

$h'(x)=3x^2-18x+24$

Die Monotonie kann sich nur dort ändern, wo $h'$ das Vorzeichen wechselt, also an den Nullstellen von $h'$:

$h'(x)=0 \;\Leftrightarrow\; 3x^2-18x+24=0 \;\Leftrightarrow\; x^2-6x+8=0 \;\Leftrightarrow\; (x-2)(x-4)=0$

$\Rightarrow\; x_1=2,\; x_2=4$

Zwischen den Nullstellen hat $h'$ ein festes Vorzeichen. Ein Testwert pro Abschnitt genügt:

$x$	$0\le x\lt 2$	$2$	$2\lt x\lt 4$	$4$	$4\lt x\le 6$
Testwert	$h'(1)=9$		$h'(3)=-3$		$h'(5)=9$
$h'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$h$	$\nearrow$		$\searrow$		$\nearrow$

Ergebnis

Nach dem Monotoniesatz ist $h$ streng monoton steigend auf $[0;2]$ und auf $[4;6]$ und streng monoton fallend auf $[2;4]$.

Die Strecke führt also 2 km bergauf, dann 2 km bergab und zum Schluss wieder 2 km bergauf.

Weiterführend

Eigene Funktionen untersuchen

Mit dem Werkzeug Kurvendiskussion lassen sich beliebige Funktionen eingeben und zusammen mit ihren Ableitungen darstellen.

Beobachtung

Zurück zum Höhenprofil

Bei km 2 endet der Anstieg: Die Strecke erreicht mit $h(2)=20$ m eine Kuppe.

Bei km 4 endet die Abfahrt: Mit $h(4)=16$ m liegt dort eine Senke.

An beiden Stellen verläuft die Strecke für einen Moment waagerecht: $\;h'(2)=0\;$ und $\;h'(4)=0$.

Begriffe

Lokale Extrema

$f$ hat an der Stelle $x_E$ ein lokales Maximum, wenn $f(x_E)\ge f(x)$ für alle $x$ in einer Umgebung von $x_E$ gilt. Der Punkt $H(x_E\,|\,f(x_E))$ heißt Hochpunkt.

$f$ hat an der Stelle $x_E$ ein lokales Minimum, wenn $f(x_E)\le f(x)$ für alle $x$ in einer Umgebung von $x_E$ gilt. Der Punkt $T(x_E\,|\,f(x_E))$ heißt Tiefpunkt.

$x_E$ heißt Extremstelle, $f(x_E)$ Extremwert. Hoch- und Tiefpunkte heißen zusammen Extrempunkte.

Notwendige Bedingung

Satz

Ist $f$ differenzierbar und hat $f$ an der Stelle $x_E$ ein lokales Extremum, dann gilt

$$f'(x_E)=0$$

Begründung

Links von einem Hochpunkt steigt $f$, rechts davon fällt $f$. Die Tangentensteigung geht also von positiven zu negativen Werten über.

Am Hochpunkt selbst ist die Tangente deshalb waagerecht: $f'(x_E)=0$. Für einen Tiefpunkt gilt dasselbe mit vertauschten Vorzeichen.

Aber: nicht hinreichend

Gegenbeispiel

$f(x)=x^3$ hat die Ableitung $f'(x)=3x^2$, also ist $f'(0)=0$.

Trotzdem hat $f$ an der Stelle $0$ kein Extremum: $f$ steigt links und rechts von $0$.

Der Punkt $S(0\,|\,0)$ ist ein Sattelpunkt: Die Tangente ist dort waagerecht, aber der Graph steigt einfach weiter.

Merke

Die Lösungen von $f'(x)=0$ sind nur mögliche Extremstellen.

Ob dort wirklich ein Hoch- oder Tiefpunkt liegt, klärt eine hinreichende Bedingung (nächster Tab).

Interaktiv

Stelle x₀

Punkt auf dem Graphen von f

Tangentensteigung

Stelle mit waagerechter Tangente

In allen drei Fällen ist $f'(0)=0$. Nur bei den ersten beiden wechselt $f'$ an dieser Stelle das Vorzeichen, und nur dort liegt ein Extrempunkt.

Beispiel

Aufgabenstellung

Bestimme die Extrempunkte des Graphen von $f(x)=x^3-3x$.

Notwendige Bedingung

$f'(x)=3x^2-3=0 \;\Leftrightarrow\; x^2=1 \;\Leftrightarrow\; x=-1 \;\text{oder}\; x=1$

Mögliche Extremstellen: $x_1=-1$, $x_2=1$. Für die Prüfung gibt es zwei Wege.

Weg 1 · Vorzeichenwechsel-Kriterium

Kriterium

Es sei $f'(x_E)=0$.

$f'$ wechselt bei $x_E$ das Vorzeichen von $+$ nach $-$ $\;\Rightarrow\;$ Hochpunkt

$f'$ wechselt bei $x_E$ das Vorzeichen von $-$ nach $+$ $\;\Rightarrow\;$ Tiefpunkt

$f'$ wechselt das Vorzeichen nicht $\;\Rightarrow\;$ kein Extrempunkt (z. B. Sattelpunkt)

Anwendung

$f'(x)=3(x+1)(x-1)$

Testwerte: $\;f'(-2)=9\gt 0$, $\;f'(0)=-3\lt 0$, $\;f'(2)=9\gt 0$

$x$	$x\lt -1$	$-1$	$-1\lt x\lt 1$	$1$	$x\gt 1$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	$\nearrow$	H	$\searrow$	T	$\nearrow$

Bei $x_1=-1$ wechselt $f'$ von $+$ nach $-$ $\;\Rightarrow\;$ Hochpunkt, $\;f(-1)=-1+3=2$

Bei $x_2=1$ wechselt $f'$ von $-$ nach $+$ $\;\Rightarrow\;$ Tiefpunkt, $\;f(1)=1-3=-2$

$H(-1\,|\,2)$, $\;T(1\,|\,-2)$

Weg 2 · Kriterium mit der zweiten Ableitung

Kriterium

Es sei $f'(x_E)=0$.

$f''(x_E)\lt 0 \;\Rightarrow\;$ Hochpunkt

$f''(x_E)\gt 0 \;\Rightarrow\;$ Tiefpunkt

Warum das funktioniert

$f''$ ist die Ableitung von $f'$. Nach dem Monotoniesatz gilt also: Ist $f''(x_E)\gt 0$, dann ist $f'$ in der Nähe von $x_E$ streng monoton steigend.

Da $f'(x_E)=0$ ist, geht $f'$ dort von negativen zu positiven Werten über, wechselt also von $-$ nach $+$. Nach Weg 1 liegt ein Tiefpunkt vor.

Ist $f''(x_E)\lt 0$, dann fällt $f'$, wechselt von $+$ nach $-$, und es liegt ein Hochpunkt vor.

Anwendung

$f''(x)=6x$

$f''(-1)=-6\lt 0 \;\Rightarrow\;$ Hochpunkt $H(-1\,|\,2)$

$f''(1)=6\gt 0 \;\Rightarrow\;$ Tiefpunkt $T(1\,|\,-2)$

Beide Wege liefern dasselbe Ergebnis. ✓

Grenzfall · f″(x_E) = 0

Das f″-Kriterium versagt

$f(x)=x^4$: $\;f'(x)=4x^3$, $\;f''(x)=12x^2$, also $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$.

$g(x)=x^3$: $\;g'(x)=3x^2$, $\;g''(x)=6x$, also ebenfalls $g'(0)=0$ und $g''(0)=0$.

Bei $f$ liegt in $0$ ein Tiefpunkt, bei $g$ ein Sattelpunkt. Die zweite Ableitung kann diese Fälle nicht unterscheiden.

Ausweg: Vorzeichenwechsel prüfen

$f'(x)=4x^3$ ist links von $0$ negativ und rechts positiv $\;\Rightarrow\;$ Wechsel von $-$ nach $+$ $\;\Rightarrow\;$ Tiefpunkt $T(0\,|\,0)$

$g'(x)=3x^2$ ist links und rechts von $0$ positiv $\;\Rightarrow\;$ kein Wechsel $\;\Rightarrow\;$ kein Extrempunkt

Merke

$f''(x_E)=0$ bedeutet: keine Aussage. Dann mit dem Vorzeichenwechsel-Kriterium weiterprüfen.

Das Kriterium mit $f''$ ist meist schneller, das Vorzeichenwechsel-Kriterium funktioniert immer.

Interaktiv

Stelle x₀

Punkt auf dem Graphen von f

Erste Ableitung

Zweite Ableitung

Auswertung der möglichen Extremstellen

Die möglichen Extremstellen sind als Ringe markiert. Am unteren Graphen liest man ab, ob $f''(x_E)$ positiv, negativ oder null ist.

Beispiel

Flug einer Messdrohne

Eine Messdrohne startet vom Boden und fliegt 7 Minuten lang. Ihre Flughöhe wird beschrieben durch

$$h(t)=t^3-10{,}5t^2+30t,\qquad 0\le t\le 7$$

($t$ in Minuten nach dem Start, $h(t)$ in m). Wann war die Drohne am höchsten, wann am tiefsten?

Schritt 1 — Lokale Extrema im Inneren

$h'(t)=3t^2-21t+30=3(t-2)(t-5)=0 \;\Rightarrow\; t=2 \;\text{oder}\; t=5$

$h''(t)=6t-21$

$h''(2)=-9\lt 0 \;\Rightarrow\;$ Hochpunkt $H(2\,|\,26)$

$h''(5)=9\gt 0 \;\Rightarrow\;$ Tiefpunkt $T(5\,|\,12{,}5)$

Schritt 2 — Randwerte

$h(0)=0$

$h(7)=343-514{,}5+210=38{,}5$

Schritt 3 — Vergleich

Größter Wert: $38{,}5$ bei $t=7$ $\;\Rightarrow\;$ globales Maximum am Rand

Kleinster Wert: $0$ bei $t=0$ $\;\Rightarrow\;$ globales Minimum am Rand

Die Drohne war nach 7 Minuten mit 38,5 m am höchsten. Der Hochpunkt nach 2 Minuten (26 m) ist nur ein lokales Maximum.

Definition und Vorgehen

Globale Extrema

$f$ hat an der Stelle $x_G$ ein globales Maximum, wenn $f(x_G)\ge f(x)$ für alle $x$ des Definitionsbereichs gilt, und ein globales Minimum, wenn $f(x_G)\le f(x)$ für alle $x$ des Definitionsbereichs gilt.

Der Unterschied zum lokalen Extremum: Verglichen wird mit dem ganzen Definitionsbereich, nicht nur mit einer Umgebung.

Vorgehen auf einem abgeschlossenen Intervall

1. Lokale Extrema im Inneren von $[a;b]$ bestimmen.

2. Randwerte $f(a)$ und $f(b)$ berechnen.

3. Alle diese Werte vergleichen: Der größte ist das globale Maximum, der kleinste das globale Minimum.

Am Rand ist meist $f'(x)\neq 0$. Ein globales Extremum am Rand findet man mit $f'(x)=0$ allein also nicht.

Globale Extrema auf ganz ℝ

Das Grenzverhalten entscheidet

Ohne Ränder muss das Verhalten für $x\to\pm\infty$ untersucht werden.

$f(x)=x^3-3x$ hat $H(-1\,|\,2)$ und $T(1\,|\,-2)$. Wegen $f(x)\to+\infty$ für $x\to+\infty$ und $f(x)\to-\infty$ für $x\to-\infty$ gibt es aber keine globalen Extrema.

$g(x)=x^4-2x^2$ hat $H(0\,|\,0)$, $T_1(-1\,|\,-1)$ und $T_2(1\,|\,-1)$. Wegen $g(x)\to+\infty$ für $x\to\pm\infty$ ist $-1$ das globale Minimum. Ein globales Maximum gibt es nicht.

Interaktiv

$f(x)=\tfrac1{12}x^3-x$

Linker Rand a

Rechter Rand b

Randwerte

Lokale Extrema im Inneren

Globales Maximum

Globales Minimum

Verschiebe die Intervallgrenzen: Je nach Lage von $a$ und $b$ liegt das globale Maximum bzw. Minimum in einem lokalen Extrempunkt oder an einem Rand.

Vorgehen Schritt für Schritt

Aufgabenstellung

Bestimme Art und Lage der Extrempunkte des Graphen von $f(x)=\tfrac14x^4-2x^2$.

Schritt 1 — Ableitungen bilden

$f'(x)=x^3-4x$

$f''(x)=3x^2-4$

Schritt 2 — Notwendige Bedingung

$f'(x)=0 \;\Leftrightarrow\; x^3-4x=0 \;\Leftrightarrow\; x(x^2-4)=0$

$\Rightarrow\; x_1=-2,\; x_2=0,\; x_3=2$

Schritt 3 — Hinreichende Bedingung

$f''(-2)=8\gt 0 \;\Rightarrow\;$ Tiefpunkt

$f''(0)=-4\lt 0 \;\Rightarrow\;$ Hochpunkt

$f''(2)=8\gt 0 \;\Rightarrow\;$ Tiefpunkt

Falls $f''(x_E)=0$: Vorzeichenwechsel von $f'$ prüfen.

Schritt 4 — Funktionswerte

$f(-2)=4-8=-4$, $\;f(0)=0$, $\;f(2)=-4$

$T_1(-2\,|\,-4)$, $\;H(0\,|\,0)$, $\;T_2(2\,|\,-4)$

Schritt 5 — Nur bei eingeschränktem Definitionsbereich

Randwerte berechnen und mit den Extremwerten vergleichen, um die globalen Extrema zu bestimmen.

Beispiel 1 · Extrempunkte bestimmen

Worum es geht

Zu einer vollständig gegebenen Funktion werden alle Hoch- und Tiefpunkte bestimmt, mit beiden Koordinaten und ihrer Art. Dabei wird das Vorgehen von oben einmal komplett durchlaufen.

Aufgabenstellung

Bestimme die Extrempunkte des Graphen von $f(x)=2x^3-3x^2-12x+5$ und gib ihre Art an.

Lösung

$f'(x)=6x^2-6x-12$, $\;f''(x)=12x-6$

$f'(x)=0 \;\Leftrightarrow\; x^2-x-2=0 \;\Leftrightarrow\; (x-2)(x+1)=0 \;\Rightarrow\; x_1=-1,\; x_2=2$

$f''(-1)=-18\lt 0 \;\Rightarrow\;$ Hochpunkt, $\;f(-1)=-2-3+12+5=12$

$f''(2)=18\gt 0 \;\Rightarrow\;$ Tiefpunkt, $\;f(2)=16-12-24+5=-15$

$H(-1\,|\,12)$, $\;T(2\,|\,-15)$

Beispiel 2 · Monotonieintervalle angeben

Worum es geht

Es wird bestimmt, auf welchen Intervallen $f$ steigt und auf welchen $f$ fällt. Dafür braucht man die Nullstellen von $f'$ und das Vorzeichen von $f'$ dazwischen. Besonderheit: Eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel trennt keine Monotonieintervalle.

Aufgabenstellung

Gib die Monotonieintervalle von $f(x)=x^4-4x^3$ an.

Lösung

$f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)$

Nullstellen: $x_1=0$ (doppelt), $x_2=3$

Testwerte: $\;f'(-1)=-16$, $\;f'(1)=-8$, $\;f'(4)=64$

$x$	$x\lt 0$	$0$	$0\lt x\lt 3$	$3$	$x\gt 3$
$f'(x)$	$-$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	$\searrow$		$\searrow$	T	$\nearrow$

Bei $x=0$ wechselt $f'$ das Vorzeichen nicht, weil der Faktor $x^2$ nie negativ ist.

$f$ ist streng monoton fallend für $x\le 3$ und streng monoton steigend für $x\ge 3$.

Beispiel 3 · Globale Extrema auf einem Intervall

Worum es geht

Die Funktion ist nur auf einem Intervall betrachtet, oft wegen des Sachzusammenhangs. Gesucht sind der größte und der kleinste Funktionswert. Dazu werden die lokalen Extrema mit den Randwerten verglichen.

Aufgabenstellung

Bestimme den größten und den kleinsten Funktionswert von $f(x)=x^3-6x^2+9x$ auf dem Intervall $[0{,}5;\,4{,}5]$.

Lösung

$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3) \;\Rightarrow\; x_1=1,\; x_2=3$ (beide im Intervall)

$f''(x)=6x-12$

$f''(1)=-6\lt 0 \;\Rightarrow\;$ Hochpunkt $H(1\,|\,4)$

$f''(3)=6\gt 0 \;\Rightarrow\;$ Tiefpunkt $T(3\,|\,0)$

Randwerte: $\;f(0{,}5)=3{,}125$, $\;f(4{,}5)=10{,}125$

Vergleich der Werte $4$, $\;0$, $\;3{,}125$, $\;10{,}125$:

Größter Wert $10{,}125$ am Rand $x=4{,}5$, kleinster Wert $0$ im Tiefpunkt $T(3\,|\,0)$

Beispiel 4 · Vom Graphen von f′ auf f schließen

Worum es geht

Von $f$ ist nur der Graph der Ableitung $f'$ bekannt. Aus der Lage dieses Graphen zur $x$-Achse wird auf Monotonie und Extremstellen von $f$ geschlossen. Typischer Fehler: Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von $f'$ mit denen von $f$ verwechseln.

Aufgabenstellung

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitung $f'$ einer Funktion $f$. Gib die Monotonieintervalle und die Extremstellen von $f$ an und begründe.

Lösung

$f'(x)\lt 0$ für $x\lt -2$ $\;\Rightarrow\;$ $f$ fällt für $x\le -2$.

$f'(x)\gt 0$ für $-2\lt x\lt 1$ und für $x\gt 1$ $\;\Rightarrow\;$ $f$ steigt für $x\ge -2$. Die einzelne Nullstelle bei $1$ ändert daran nichts.

Bei $x=-2$ wechselt $f'$ von $-$ nach $+$ $\;\Rightarrow\;$ Tiefpunkt von $f$.

Bei $x=1$ berührt der Graph von $f'$ die $x$-Achse ohne Vorzeichenwechsel $\;\Rightarrow\;$ keine Extremstelle (Sattelpunkt).

Der Hochpunkt des Graphen von $f'$ bei $x=-1$ ist keine Extremstelle von $f$.

Einzige Extremstelle von $f$: $x=-2$ (Tiefpunkt)

Beispiel 5 · Parameteraufgaben

Worum es geht

Die Funktion enthält einen Parameter, z. B. $f_a$, und über ihre Extrempunkte ist etwas vorgegeben. Aus der notwendigen Bedingung $f_a'(x_E)=0$ wird der Parameter berechnet, danach wird die hinreichende Bedingung geprüft.

Aufgabenstellung

Für welchen Wert von $a$ hat $f_a(x)=x^3-ax$ an der Stelle $x=2$ ein Extremum? Um welche Art handelt es sich?

Lösung

$f_a'(x)=3x^2-a$

Notwendige Bedingung: $\;f_a'(2)=12-a=0 \;\Rightarrow\; a=12$

Hinreichende Bedingung: $\;f_{12}''(x)=6x$, $\;f_{12}''(2)=12\gt 0 \;\Rightarrow\;$ Tiefpunkt

$f_{12}(2)=8-24=-16$

Für $a=12$ hat der Graph von $f_a$ den Tiefpunkt $T(2\,|\,-16)$.

Übung 1 · Extrempunkte

GrundlagenHoch- und Tiefpunkte bestimmen

Bestimme die Extrempunkte des Graphen von $f(x)=x^3-12x+1$.

$f'(x)=3x^2-12=0 \;\Leftrightarrow\; x^2=4 \;\Rightarrow\; x_1=-2,\; x_2=2$

$f''(x)=6x$

$f''(-2)=-12\lt 0 \;\Rightarrow\;$ Hochpunkt, $\;f(-2)=-8+24+1=17$

$f''(2)=12\gt 0 \;\Rightarrow\;$ Tiefpunkt, $\;f(2)=8-24+1=-15$

$H(-2\,|\,17)$, $\;T(2\,|\,-15)$

Übung 2 · Monotonie

GrundlagenMonotonieintervalle und Vorzeichenwechsel

Gegeben ist $f(x)=-x^3+3x^2$.

a) Gib die Monotonieintervalle von $f$ an.

b) Bestimme die Extrempunkte mit dem Vorzeichenwechsel-Kriterium.

$f'(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2) \;\Rightarrow\;$ Nullstellen $0$ und $2$

Testwerte: $\;f'(-1)=-9\lt 0$, $\;f'(1)=3\gt 0$, $\;f'(3)=-9\lt 0$

a) $f$ fällt für $x\le 0$, steigt für $0\le x\le 2$ und fällt für $x\ge 2$.

b) Bei $x=0$ Wechsel von $-$ nach $+$ $\;\Rightarrow\;$ Tiefpunkt, $\;f(0)=0$

Bei $x=2$ Wechsel von $+$ nach $-$ $\;\Rightarrow\;$ Hochpunkt, $\;f(2)=-8+12=4$

$T(0\,|\,0)$, $\;H(2\,|\,4)$

Übung 3 · Photovoltaikanlage

GrundlagenLeistung im Tagesverlauf

Die Leistung einer Photovoltaikanlage an einem wolkenlosen Tag wird zwischen 6 und 18 Uhr näherungsweise beschrieben durch $P(t)=-0{,}125t^2+3t-10$ ($t$ Uhrzeit in Stunden, $P(t)$ in kW).

a) In welchem Zeitraum nimmt die Leistung zu, in welchem nimmt sie ab?

b) Wann ist die Leistung am größten, und wie groß ist sie dann?

$P'(t)=-0{,}25t+3=0 \;\Leftrightarrow\; t=12$

a) Für $t\lt 12$ ist $P'(t)\gt 0$, für $t\gt 12$ ist $P'(t)\lt 0$.

Die Leistung nimmt von 6 bis 12 Uhr zu und von 12 bis 18 Uhr ab.

b) $P''(t)=-0{,}25\lt 0 \;\Rightarrow\;$ Maximum, $\;P(12)=-18+36-10=8$

Randwerte: $P(6)=P(18)=3{,}5$, beide kleiner.

Die Leistung ist um 12 Uhr mit 8 kW am größten.

Übung 4 · Wirkstoffkonzentration

MittelExponentialfunktion im Sachzusammenhang

Nach der Einnahme eines Medikaments wird die Wirkstoffkonzentration im Blut beschrieben durch $c(t)=10t\cdot e^{-0{,}5t}$ ($t$ in Stunden nach der Einnahme, $c(t)$ in mg/l).

a) Wann ist die Konzentration am höchsten? Gib den Höchstwert an.

b) In welchem Zeitraum steigt die Konzentration?

Produktregel: $\;c'(t)=10\cdot e^{-0{,}5t}+10t\cdot(-0{,}5)\,e^{-0{,}5t}=10\,e^{-0{,}5t}(1-0{,}5t)$

Da $e^{-0{,}5t}\gt 0$ ist: $\;c'(t)=0 \;\Leftrightarrow\; 1-0{,}5t=0 \;\Leftrightarrow\; t=2$

Für $t\lt 2$ ist $1-0{,}5t\gt 0$, für $t\gt 2$ ist $1-0{,}5t\lt 0$ $\;\Rightarrow\;$ Wechsel von $+$ nach $-$ $\;\Rightarrow\;$ Maximum

a) $c(2)=20\,e^{-1}\approx 7{,}36$

Nach 2 Stunden ist die Konzentration mit etwa 7,36 mg/l am höchsten.

b) Wegen $c'(t)\gt 0$ für $0\le t\lt 2$ steigt die Konzentration in den ersten beiden Stunden.

Übung 5 · Logarithmusfunktion

MittelMonotonie, Extrempunkt und Abschätzung

Gegeben ist $f(x)=x-\ln(x)$ mit $x\gt 0$.

a) Bestimme die Monotonieintervalle und den Extrempunkt von $f$.

b) Folgere daraus, dass $x-\ln(x)\ge 1$ für alle $x\gt 0$ gilt.

$f'(x)=1-\dfrac1x=\dfrac{x-1}{x}$

Wegen $x\gt 0$ hat $f'(x)$ dasselbe Vorzeichen wie $x-1$.

a) $f$ fällt für $0\lt x\le 1$ und steigt für $x\ge 1$.

Bei $x=1$ Wechsel von $-$ nach $+$ $\;\Rightarrow\;$ Tiefpunkt, $\;f(1)=1-0=1$ $\;\Rightarrow\; T(1\,|\,1)$

Kontrolle mit $f''(x)=\dfrac1{x^2}$: $\;f''(1)=1\gt 0$ ✓

b) Links von $1$ fällt $f$ bis zum Wert $1$, rechts von $1$ steigt $f$ ab dem Wert $1$. Also ist $1$ das globale Minimum und $f(x)\ge 1$ für alle $x\gt 0$.

Übung 6 · Trigonometrische Funktion

MittelExtrempunkte im Intervall

Bestimme die lokalen Extrempunkte des Graphen von $f(x)=x+2\cos(x)$ für $0\lt x\lt 2\pi$.

$f'(x)=1-2\sin(x)=0 \;\Leftrightarrow\; \sin(x)=\tfrac12 \;\Rightarrow\; x_1=\tfrac{\pi}{6},\; x_2=\tfrac{5\pi}{6}$

$f''(x)=-2\cos(x)$

$f''\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=-\sqrt3\lt 0 \;\Rightarrow\;$ Hochpunkt, $\;f\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{\pi}{6}+\sqrt3\approx 2{,}26$

$f''\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right)=\sqrt3\gt 0 \;\Rightarrow\;$ Tiefpunkt, $\;f\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right)=\tfrac{5\pi}{6}-\sqrt3\approx 0{,}89$

$H\!\left(\tfrac{\pi}{6}\,\middle|\,2{,}26\right)$, $\;T\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\,\middle|\,0{,}89\right)$

Übung 7 · Gewächshaus

AnspruchsvollHöchste und niedrigste Temperatur

In einem Gewächshaus wird die Lufttemperatur zwischen 6 und 20 Uhr beschrieben durch $T(t)=-0{,}02t^3+0{,}6t^2-4{,}5t+30$ ($t$ Uhrzeit in Stunden, $T(t)$ in °C).

Bestimme die höchste und die niedrigste Temperatur in diesem Zeitraum und gib an, wann sie auftreten.

$T'(t)=-0{,}06t^2+1{,}2t-4{,}5=-0{,}06(t^2-20t+75)=-0{,}06(t-5)(t-15)$

$T'(t)=0 \;\Rightarrow\; t=5$ oder $t=15$. Nur $t=15$ liegt im Intervall $[6;20]$.

$T''(t)=-0{,}12t+1{,}2$, $\;T''(15)=-0{,}6\lt 0 \;\Rightarrow\;$ Maximum, $\;T(15)=30$

Randwerte: $\;T(6)=20{,}28$, $\;T(20)=20$

Höchste Temperatur 30 °C um 15 Uhr, niedrigste Temperatur 20 °C um 20 Uhr (am Rand).

Übung 8 · Graph von f′

AnspruchsvollVom Graphen der Ableitung auf die Funktion schließen

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitung $f'$ einer Funktion $f$.

a) Gib die Monotonieintervalle von $f$ an.

b) Gib Lage und Art der Extremstellen von $f$ an.

c) An welcher Stelle nimmt $f$ im Intervall $[-1;3]$ seinen kleinsten Wert an? Begründe.

a) $f'(x)\gt 0$ für $x\lt -1$ und für $1\lt x\lt 3$ $\;\Rightarrow\;$ $f$ steigt für $x\le -1$ und für $1\le x\le 3$.

$f'(x)\lt 0$ für $-1\lt x\lt 1$ und für $x\gt 3$ $\;\Rightarrow\;$ $f$ fällt für $-1\le x\le 1$ und für $x\ge 3$.

b) $x=-1$: Wechsel von $+$ nach $-$ $\;\Rightarrow\;$ Hochstelle

$x=1$: Wechsel von $-$ nach $+$ $\;\Rightarrow\;$ Tiefstelle

$x=3$: Wechsel von $+$ nach $-$ $\;\Rightarrow\;$ Hochstelle

c) Auf $[-1;1]$ fällt $f$, auf $[1;3]$ steigt $f$.

Der kleinste Wert im Intervall $[-1;3]$ wird bei $x=1$ angenommen.

Übung 9 · Parameter bestimmen

ParameterParameter aus einer Extremstelle

Die Funktion $f_k(x)=x^3+kx^2$ hat an der Stelle $x=-2$ eine Extremstelle.

Bestimme $k$ sowie Art und Lage aller Extrempunkte des Graphen von $f_k$.

$f_k'(x)=3x^2+2kx$

$f_k'(-2)=12-4k=0 \;\Rightarrow\; k=3$

$f_3'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) \;\Rightarrow\; x_1=-2,\; x_2=0$

$f_3''(x)=6x+6$

$f_3''(-2)=-6\lt 0 \;\Rightarrow\;$ Hochpunkt, $\;f_3(-2)=-8+12=4$

$f_3''(0)=6\gt 0 \;\Rightarrow\;$ Tiefpunkt, $\;f_3(0)=0$

$k=3$; $\;H(-2\,|\,4)$, $\;T(0\,|\,0)$

Übung 10 · Parameter und Anzahl der Extrema

ParameterFallunterscheidung

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a(x)=x^4-ax^2$ mit $a\in\mathbb{R}$.

Untersuche in Abhängigkeit von $a$, wie viele Extrempunkte der Graph von $f_a$ hat, und gib ihre Koordinaten an.

$f_a'(x)=4x^3-2ax=2x(2x^2-a)$, $\;f_a''(x)=12x^2-2a$

Fall $a\gt 0$: $\;f_a'(x)=0 \;\Rightarrow\; x=0$ oder $x=\pm\sqrt{\tfrac a2}$

$f_a''(0)=-2a\lt 0 \;\Rightarrow\;$ Hochpunkt $H(0\,|\,0)$

$f_a''\!\left(\pm\sqrt{\tfrac a2}\right)=6a-2a=4a\gt 0 \;\Rightarrow\;$ Tiefpunkte, $\;f_a\!\left(\pm\sqrt{\tfrac a2}\right)=\tfrac{a^2}{4}-\tfrac{a^2}{2}=-\tfrac{a^2}{4}$

$\Rightarrow\;$ drei Extrempunkte: $\;H(0\,|\,0)$, $\;T_{1,2}\!\left(\pm\sqrt{\tfrac a2}\,\middle|\,-\tfrac{a^2}{4}\right)$

Fall $a=0$: $\;f_0(x)=x^4$, einzige Nullstelle von $f_0'$ ist $x=0$, aber $f_0''(0)=0$.

Vorzeichenwechsel von $f_0'(x)=4x^3$ von $-$ nach $+$ $\;\Rightarrow\;$ Tiefpunkt $T(0\,|\,0)$

Fall $a\lt 0$: $\;2x^2-a\gt 0$ für alle $x$, also ist $x=0$ die einzige Nullstelle von $f_a'$.

$f_a''(0)=-2a\gt 0 \;\Rightarrow\;$ Tiefpunkt $T(0\,|\,0)$

Für $a\gt 0$ drei Extrempunkte, für $a\le 0$ genau einen, den Tiefpunkt $T(0\,|\,0)$.