Ortsvektor
x-Komponente
y-Komponente
z-Komponente
Punkt im Raum
Im dreidimensionalen Koordinatensystem wird ein Punkt durch drei Koordinaten eindeutig festgelegt. Man schreibt:
$$P(x_P \mid y_P \mid z_P)$$
Die drei Koordinaten geben die Abstände von den Koordinatenebenen an. Die x-Koordinate beschreibt den Abstand von der $yz$-Ebene, die y-Koordinate den Abstand von der $xz$-Ebene, und die z-Koordinate den Abstand von der $xy$-Ebene.
Definition: Ortsvektor
Der Ortsvektor $\overrightarrow{OP}$ eines Punktes $P$ ist der Vektor vom Ursprung $O(0\mid 0\mid 0)$ zum Punkt $P$. Er hat dieselben Komponenten wie die Koordinaten von $P$:
$$\overrightarrow{OP} = \pmat{x_P \\ y_P \\ z_P}$$
Koordinatenachsen und Kavalierperspektive
In der Kavalierperspektive wird das 3D-Koordinatensystem so dargestellt:
x-Achse — schräg nach links/unten
y-Achse — waagrecht nach rechts
z-Achse — senkrecht nach oben
y-Achse — waagrecht nach rechts
z-Achse — senkrecht nach oben
Die x-Achse wird zur Hälfte verkürzt dargestellt ($\frac{\sqrt{2}}{2}$-Faktor), um die Tiefenwirkung zu erzeugen.
Koordinatenprojektionen
Um einen Punkt $P$ in der Kavalierperspektive zu zeichnen, geht man entlang der Achsen vor:
$$\begin{aligned}
&O \xrightarrow{+x_P \text{ in x-Richtung}} A(x_P \mid 0 \mid 0)\\[4pt]
&A \xrightarrow{+y_P \text{ in y-Richtung}} B(x_P \mid y_P \mid 0)\\[4pt]
&B \xrightarrow{+z_P \text{ in z-Richtung}} P(x_P \mid y_P \mid z_P)
\end{aligned}$$
Die farbigen Pfeile im interaktiven Bild zeigen genau diesen Weg.
Merke: Punkt und Ortsvektor beschreiben dasselbe Objekt in verschiedenen Sprachen — der Punkt $P(3\mid{-1}\mid 4)$ hat den Ortsvektor $\overrightarrow{OP} = \pmat{3\\{-1}\\4}$.
Notation
Punkt: $P(x_P \mid y_P \mid z_P)$ — Koordinaten durch $\mid$ getrennt
Ortsvektor: $\overrightarrow{OP} = \pmat{x_P \\ y_P \\ z_P}$ — Spaltenvektor mit runden Klammern
Nullvektor: $\vec{0} = \pmat{0\\0\\0}$ — entspricht einer Verschiebung, die einen Punkt in sich selbst überführt
Ortsvektor: $\overrightarrow{OP} = \pmat{x_P \\ y_P \\ z_P}$ — Spaltenvektor mit runden Klammern
Nullvektor: $\vec{0} = \pmat{0\\0\\0}$ — entspricht einer Verschiebung, die einen Punkt in sich selbst überführt
Aufgabe 1
Ortsvektor ablesen
Aufgabe
Gib den Ortsvektor des Punktes $A(3 \mid {-2} \mid 5)$ als Spaltenvektor an.
Deine Antwort
$\overrightarrow{OA} =$
$\Bigg($
$\Bigg)$
Aufgabe 2
Punkt aus Ortsvektor
Aufgabe
Welcher Punkt $B$ hat den Ortsvektor $\overrightarrow{OB} = \pmat{{-4}\\7\\0}$? Gib die Koordinaten an.
Deine Antwort
$B($
$\mid$
$\mid$
$)$
Aufgabe 3
Koordinaten identifizieren
Aufgabe
Der Punkt $C$ liegt in der $xz$-Ebene bei $x = 6$ und $z = {-3}$. Gib den Ortsvektor $\overrightarrow{OC}$ an.
Hinweis
„In der $xz$-Ebene" bedeutet: die $y$-Koordinate ist gleich…
Deine Antwort
$\overrightarrow{OC} =$
$\Bigg($
$\Bigg)$
Aufgabe 4
Reflexion an einer Ebene
Aufgabe
Der Punkt $D(2 \mid {-3} \mid 4)$ wird an der $xy$-Ebene gespiegelt. Gib den Bildpunkt $D'$ an.
Deine Antwort
$D'($
$\mid$
$\mid$
$)$