Ausgangssituation
Gegeben sind zwei Punkte $A(x_1 \mid y_1 \mid z_1)$ und $B(x_2 \mid y_2 \mid z_2)$ im Raum.
Gesucht ist der Abstand $d(A,B)$.
Idee: Verbindungsvektor
Der Abstand entspricht der Länge des Verbindungsvektors $\overrightarrow{AB}$,
der sich aus den Ortsvektoren ergibt:
$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \pmat{x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \\ z_2 - z_1}$$
Formel
$$d(A,B) = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
Vorgehen
1Verbindungsvektor berechnen: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$
2Quadrate der Komponenten addieren: $(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$
3Wurzel ziehen. Bei nicht ganzzahligem Ergebnis: $\approx$ verwenden.
Beispiel 1 — ganzzahliges Ergebnis
$A(1 \mid 3 \mid {-2})$, $B(3 \mid 9 \mid 1)$
$$\overrightarrow{AB} = \pmat{3-1 \\ 9-3 \\ 1-(-2)} = \pmat{2 \\ 6 \\ 3}$$
$$d(A,B) = \sqrt{2^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{4+36+9} = \sqrt{49} = 7$$
Beispiel 2 — Kommazahl
$P(1 \mid 0 \mid 2)$, $Q(4 \mid 3 \mid 5)$
$$\overrightarrow{PQ} = \pmat{4-1 \\ 3-0 \\ 5-2} = \pmat{3 \\ 3 \\ 3}$$
$$d(P,Q) = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{9+9+9} = \sqrt{27} \approx 5{,}20$$