Definition · Algebraisch
Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ im $\mathbb{R}^3$ ist definiert als:
$$\vec{a} \circ \vec{b} = \pmat{a_1\\a_2\\a_3} \circ \pmat{b_1\\b_2\\b_3} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$$
Das Ergebnis ist eine Zahl (Skalar), kein Vektor — daher der Name.
Definition · Geometrisch
Das Skalarprodukt lässt sich über die Beträge und den eingeschlossenen Winkel ausdrücken:
$$\vec{a} \circ \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\varphi$$
Dabei ist $\varphi$ der Winkel zwischen den beiden Vektoren mit $0° \le \varphi \le 180°$.
Winkel zwischen zwei Vektoren
Aus der geometrischen Definition folgt die Winkelformel durch Umstellen:
$$\cos\varphi = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$
Voraussetzung: $\vec{a} \neq \vec{0}$ und $\vec{b} \neq \vec{0}$.
Orthogonalitätsprüfung
$$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \circ \vec{b} = 0$$
Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.
Vorzeichenregel
- $\vec{a} \circ \vec{b} > 0 \Rightarrow$ spitzer Winkel ($\varphi < 90°$)
- $\vec{a} \circ \vec{b} = 0 \Rightarrow$ rechter Winkel ($\varphi = 90°$)
- $\vec{a} \circ \vec{b} < 0 \Rightarrow$ stumpfer Winkel ($\varphi > 90°$)
Betrag eines Vektors
Der Betrag eines Vektors lässt sich über das Skalarprodukt mit sich selbst berechnen:
$$|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \circ \vec{a}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$$
Rechengesetze
- Kommutativgesetz: $\vec{a} \circ \vec{b} = \vec{b} \circ \vec{a}$
- Distributivgesetz: $\vec{a} \circ (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \circ \vec{b} + \vec{a} \circ \vec{c}$
- Skalarer Faktor: $(r\,\vec{a}) \circ \vec{b} = r \cdot (\vec{a} \circ \vec{b})$
Vektor a
Vektor b
Vektor a
Vektor b
WINKEL φ
Vektor a
Vektor b
Lot
Projektion
Fläche = Skalarprodukt
Aufgabe 1 · Skalarprodukt berechnen
$\vec{a}\circ\vec{b}$ =
Aufgabe 2 · Orthogonalität prüfen
Senkrecht?
Aufgabe 3 · Vorzeichen deuten
φ ist
Aufgabe 4 · Fehlende Komponente
t =
Aufgabe 5 · Winkel berechnen
φ ≈
°