Theorie
Definition
Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ im $\mathbb{R}^3$ ergibt einen neuen Vektor:
$$\vec{a} \times \vec{b} = \pmat{a_1 \\ a_2 \\ a_3} \times \pmat{b_1 \\ b_2 \\ b_3} = \pmat{a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1}$$Merkregel
Die Komponenten des Kreuzprodukts berechnet man komponentenweise:
$$c_1 = a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \qquad \text{Zeilen 2, 3 — N-Typ}$$ $$c_2 = a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \qquad \text{Zeilen 1, 3 — Z-Typ}$$ $$c_3 = a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \qquad \text{Zeilen 1, 2 — N-Typ}$$
Eselsbrücke: Man „streicht" jeweils die Zeile der gesuchten Komponente und bildet die Kreuzformel aus den verbleibenden zwei Zeilen. Die Reihenfolge der Indizes alterniert: N-Typ (natürlich), Z-Typ (zyklisch vertauscht), N-Typ.
Beispiel
$$\vec{a} = \pmat{1 \\ 3 \\ -2}, \quad \vec{b} = \pmat{4 \\ 0 \\ 5}$$
$$\vec{a} \times \vec{b} = \pmat{3 \cdot 5 - (-2) \cdot 0 \\ (-2) \cdot 4 - 1 \cdot 5 \\ 1 \cdot 0 - 3 \cdot 4} = \pmat{15 \\ -13 \\ -12}$$
Interaktive Visualisierung
Vektor $\vec{a}$
Vektor $\vec{b}$
Hinweis: $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ steht senkrecht auf $\vec{a}$, $\vec{b}$ und dem Parallelogramm. In der Kavalierperspektive ist dieser rechte Winkel nicht immer direkt erkennbar.
Geometrische Bedeutung
Orthogonalität: $\vec{a} \times \vec{b}$ steht senkrecht auf $\vec{a}$ und $\vec{b}$:
$$(\vec{a} \times \vec{b}) \circ \vec{a} = 0 \qquad \text{und} \qquad (\vec{a} \times \vec{b}) \circ \vec{b} = 0$$
Betrag: Der Betrag entspricht der Fläche des aufgespannten Parallelogramms:
$$A_{\text{Parallelogramm}} = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin\varphi$$
Rechte-Hand-Regel
Zeigefinger in Richtung $\vec{a}$, Mittelfinger in Richtung $\vec{b}$, Daumen zeigt in Richtung $\vec{a} \times \vec{b}$
Daraus folgt die Antikommutativität:
$$\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$$Theorie
Eigenschaften
$$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a}) \qquad \text{(Antikommutativität)}$$
$$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}\,) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \qquad \text{(Distributivität)}$$
$$(r \cdot \vec{a}) \times \vec{b} = r \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) \qquad \text{(Skalarmultiplikation)}$$
Spezialfälle
Das Kreuzprodukt ist der Nullvektor genau dann, wenn die Vektoren kollinear sind:
$$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \quad \Longleftrightarrow \quad \vec{a} \parallel \vec{b} \quad \text{(kollinear)}$$Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst:
$$\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$$Kreuzprodukte der Einheitsvektoren:
$$\vec{e}_1 \times \vec{e}_2 = \vec{e}_3, \qquad \vec{e}_2 \times \vec{e}_3 = \vec{e}_1, \qquad \vec{e}_3 \times \vec{e}_1 = \vec{e}_2$$Theorie
Anwendungen
Flächenberechnung — Parallelogramm $ABCD$
$$A_{\text{Parallelogramm}} = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}|$$Flächenberechnung — Dreieck $ABC$
$$A_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$$Volumenberechnung — Pyramide $ABCS$
$$V_{\text{Pyramide}} = \frac{1}{6} \cdot \left|(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \circ \overrightarrow{AS}\right|$$Normalenvektor einer Ebene
Gegeben ist eine Ebene in Parameterform:
$$E: \vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v}$$Der Normalenvektor ist $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$. Damit ergibt sich die Normalenform:
$$\vec{x} \circ \vec{n} = \vec{p} \circ \vec{n}$$Beispiel
Gegeben: $A(1 \mid 0 \mid 2)$, $\; B(3 \mid 1 \mid -1)$, $\; C(0 \mid 4 \mid 1)$
$$\overrightarrow{AB} = \pmat{2 \\ 1 \\ -3}, \qquad \overrightarrow{AC} = \pmat{-1 \\ 4 \\ -1}$$ $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \pmat{1 \cdot (-1) - (-3) \cdot 4 \\ (-3) \cdot (-1) - 2 \cdot (-1) \\ 2 \cdot 4 - 1 \cdot (-1)} = \pmat{11 \\ 5 \\ 9}$$ $$\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| = \sqrt{11^2 + 5^2 + 9^2} = \sqrt{121 + 25 + 81} = \sqrt{227}$$ $$A_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{227} \approx 7{,}53 \text{ FE}$$Übung
Kreuzprodukt berechnen
$\vec{a} \times \vec{b}$ =
(
)
Dreiecksfläche berechnen
$A_{\triangle}$ =
FE