Ebene im Raum · Lernmodul

Stützpunkt A z. B.

$A(1\,|\,2\,|\,1)$

Spannvektor (Richtungsvektor) $\vec{u}$

u₁-2

u₂-4

u₃3

Spannvektor (Richtungsvektor) $\vec{v}$

v₁0

v₂4

v₃1

Stützpunkt $A$ Spannvektor $\vec{u}$ Spannvektor $\vec{v}$ Ebene $E$

Stützpunkt A z. B.

$A(1\,|\,2\,|\,1)$

Normalenvektor $\vec{n}$

n₁-1

n₂1

n₃5

Stützpunkt $A$ Normalenvektor $\vec{n}$ Ebene $E$

Koordinatenform

Aus der Normalenform $\vec{n} \circ (\vec{x} - \overrightarrow{OA}) = 0$ erhält man durch Umstellen und Ausmultiplizieren die Koordinatenform:

$$\vec{n} \circ \vec{x} = \vec{n} \circ \overrightarrow{OA}$$

$$E:\; n_1\,x + n_2\,y + n_3\,z = d \qquad \text{mit } d = \vec{n} \circ \overrightarrow{OA}$$

Die Koordinatenform ist die kompakteste Schreibweise und besonders praktisch für Schnitt- und Lagebeziehungen mit Geraden.

Umrechnung · Normalenform → Koordinatenform

Gegeben: $\vec{n} = \begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$, $A(1\,|\,2\,|\,1)$.

Schritt 1. Normalenform aufstellen:

$$\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix} \circ \left(\vec{x} - \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\right) = 0$$

Schritt 2. Umstellen zu $\vec{n}\circ\vec{x} = \vec{n}\circ\overrightarrow{OA}$ und ausmultiplizieren:

$$2x + y + 3z = 2\cdot 1 + 1\cdot 2 + 3\cdot 1$$

Ergebnis:

$$E:\; 2x + y + 3z = 7$$

Probe · Punkt einsetzen

Beispiel 1. Liegt der Punkt $P(2\,|\,1\,|\,1)$ in der Ebene $E:\; 2x + y + 3z = 7$?

$$2\cdot 2 + 1 + 3\cdot 1 = 4 + 1 + 3 = 8 \neq 7$$

$\Rightarrow$ P liegt nicht in E.

Beispiel 2. Liegt der Punkt $Q(1\,|\,2\,|\,1)$ in derselben Ebene?

$$2\cdot 1 + 2 + 3\cdot 1 = 2 + 2 + 3 = 7 \;\checkmark$$

$\Rightarrow$ Q liegt in E.

Vorteile der Koordinatenform

Punkt-Probe direkt durch Einsetzen
Normalenvektor sofort ablesbar: $\vec{n} = \begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}$
Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Achsen) leicht berechenbar
Lagebeziehungen mit Geraden in einem Schritt lösbar

Achsenabschnitte

a (x-Achse)6

b (y-Achse)5

c (z-Achse)4

Spurpunkt $S_x(a\,|\,0\,|\,0)$ Spurpunkt $S_y(0\,|\,b\,|\,0)$ Spurpunkt $S_z(0\,|\,0\,|\,c)$ Spurdreieck in $E$

Besondere Lagen

Eine Ebene $E:\; n_1 x + n_2 y + n_3 z = d$ liegt besonders, wenn einzelne Koeffizienten verschwinden:

Konfiguration wählen

Ebene $E$ Normalenvektor $\vec{n}$

Regel · Koeffizient = 0

$n_i = 0$: Die Ebene ist parallel zur i-Achse
$n_i = n_j = 0$: Die Ebene ist parallel zur i-j-Achsenebene
$d = 0$: Die Ebene geht durch den Ursprung

Aufgabe 1 · Punkt liegt in Ebene?

P liegt in E?

Aufgabe 2 · Normalenform → Koordinatenform

d =

Aufgabe 3 · Parameterform → Koordinatenform

$\vec{n} =$

$d =$

Aufgabe 4 · Spurpunkte berechnen

$S_x$ ( $\,|\,0\,|\,0$ ) $S_y$ ( $0\,|\,$ $\,|\,0$ ) $S_z$ ( $0\,|\,0\,|$ )

Aufgabe 5 · Besondere Lage erkennen

Lage: