Aufgabenkatalog · Analytische Geometrie

0 Aufgaben

8 Kategorien

Gleichungen aufstellen

Lösung ▾

1 Gerade durch zwei Punkte

Bestimme die Gleichung der Geraden $g$ durch $A(1|3|{-2})$ und $B(4|1|5)$.

Richtungsvektor: $\vv{AB} = \vv{OB} - \vv{OA} = \pmat{4\\1\\5} - \pmat{1\\3\\-2} = \pmat{3\\-2\\7}$

Stützpunkt: $A(1|3|{-2})$

$g\colon \vec{x} = \pmat{1\\3\\-2} + t \cdot \pmat{3\\-2\\7}, \quad t \in \mathbb{R}$

Lösung ▾

2 Gerade durch Punkt + Richtungsvektor

Gegeben $P(2|0|{-1})$ und $\vec{v} = \pmat{1\\4\\-3}$. Stelle die Geradengleichung auf.

Stützpunkt und Richtungsvektor direkt übernehmen:

$g\colon \vec{x} = \pmat{2\\0\\-1} + t \cdot \pmat{1\\4\\-3}, \quad t \in \mathbb{R}$

Lösung ▾

3 Gerade als Schnitt zweier Ebenen

$E_1\colon 2x + y - z = 5$ und $E_2\colon x - y + 2z = 1$.

Eine Variable wird frei, wir setzen $z = t$ und erhalten ein LGS mit drei Gleichungen:

$$\left(\begin{array}{l} 2x + y - z = 5 \\ x - y + 2z = 1 \\ z = t \end{array}\right)$$

(III) in (I) und (II) einsetzen:

$$\left(\begin{array}{l} 2x + y = 5 + t \\ x - y = 1 - 2t \\ z = t \end{array}\right)$$

Addition (I) + (II) eliminiert $y$ — das Ergebnis ersetzt (I):

$$\left(\begin{array}{l} 3x = 6 - t \\ x - y = 1 - 2t \\ z = t \end{array}\right)$$

(I) nach $x$ umstellen, (II) nach $y$ umstellen:

$$\left(\begin{array}{l} x = 2 - \tfrac{1}{3}\,t \\ y = x - 1 + 2t \\ z = t \end{array}\right)$$

(I) in (II) einsetzen: $y = \left(2 - \tfrac{1}{3}t\right) - 1 + 2t = 1 + \tfrac{5}{3}\,t$

$$\left(\begin{array}{l} x = 2 - \tfrac{1}{3}\,t \\ y = 1 + \tfrac{5}{3}\,t \\ z = t \end{array}\right)$$

Parameterform ablesen — Stützpunkt (konstanter Teil): $S(2|1|0)$. Richtungsvektor (Koeffizienten bei $t$): $\pmat{-1/3\\5/3\\1}$

Richtungsvektor ganzzahlig skalieren (mit $3$ multiplizieren, ändert die Richtung nicht): $\pmat{-1\\5\\3}$

$g\colon \vec{x} = \pmat{2\\1\\0} + t \cdot \pmat{-1\\5\\3}$

Lösung ▾

4 Ebene durch drei Punkte

$A(1|0|2)$, $B(3|1|{-1})$ und $C(0|4|1)$.

Spannvektoren: $\vv{AB} = \pmat{2\\1\\-3}$, $\quad \vv{AC} = \pmat{-1\\4\\-1}$

Normalenvektor: $\vec{n} = \vv{AB} \times \vv{AC} = \pmat{1 \cdot(-1)-(-3)\cdot 4\\(-3)\cdot(-1)-2\cdot(-1)\\2 \cdot 4-1\cdot(-1)} = \pmat{11\\5\\9}$

$d = \vec{n} \cdot \vv{OA} = 11 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 9 \cdot 2 = 29$

$E\colon 11x + 5y + 9z = 29$

Lösung ▾

5 Ebene durch Punkt und Gerade

$P(5|1|0)$ und $g\colon \vec{x} = \pmat{1\\2\\3} + t \cdot \pmat{2\\-1\\1}$.

Stützpunkt der Geraden: $A(1|2|3)$. Erster Spannvektor: $\vec{u} = \pmat{2\\-1\\1}$

Zweiter Spannvektor: $\vv{AP} = \pmat{5\\1\\0} - \pmat{1\\2\\3} = \pmat{4\\-1\\-3}$

$E\colon \vec{x} = \pmat{1\\2\\3} + t \cdot \pmat{2\\-1\\1} + s \cdot \pmat{4\\-1\\-3}$

Lösung ▾

6 Ebene durch zwei Geraden

$g_1\colon \vec{x} = \pmat{1\\0\\2} + t \cdot \pmat{1\\1\\0}$ und $g_2\colon \vec{x} = \pmat{1\\0\\2} + s \cdot \pmat{0\\2\\-1}$ mit gemeinsamem Punkt $S(1|0|2)$.

Beide Richtungsvektoren spannen die Ebene auf, Stützpunkt ist $S$:

Normalenvektor: $\vec{n} = \pmat{1\\1\\0} \times \pmat{0\\2\\-1} = \pmat{1\cdot(-1)-0\cdot 2\\0\cdot 0-1\cdot(-1)\\1\cdot 2-1\cdot 0} = \pmat{-1\\1\\2}$

$d = -1\cdot 1 + 1\cdot 0 + 2\cdot 2 = 3$

Koordinatenform: $-x + y + 2z = 3$

Lösung ▾

7 Parallelebene durch Punkt

$P(3|{-1}|4)$, parallel zu $E\colon 2x - y + 3z = 7$.

Parallele Ebenen haben denselben Normalenvektor $\Rightarrow$ Ansatz: $2x - y + 3z = d$

Punkt $P$ einsetzen: $d = 2\cdot 3 - (-1) + 3\cdot 4 = 6 + 1 + 12 = 19$

$E'\colon 2x - y + 3z = 19$

Lösung ▾

8 Ebene durch Punkt + Normalenvektor

$P(2|{-3}|1)$ mit $\vec{n} = \pmat{1\\2\\-2}$.

Ansatz: $x + 2y - 2z = d$

$P$ einsetzen: $2 + 2\cdot(-3) - 2\cdot 1 = 2 - 6 - 2 = -6$

$E\colon x + 2y - 2z = -6$

Lösung ▾

9 Ebene in Achsenabschnittsform

Bestimme die Achsenabschnittsform der Ebene $E\colon 2x + 3y + 4z = 12$ und lies die Spurpunkte auf den Koordinatenachsen direkt ab.

Die Achsenabschnittsform hat die Gestalt $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$, wobei $a$, $b$, $c$ die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen sind.

Beide Seiten der Koordinatenform durch die rechte Seite teilen (hier $12$):

$\dfrac{2x}{12} + \dfrac{3y}{12} + \dfrac{4z}{12} = 1$

Brüche kürzen und in Achsenabschnittsform umschreiben:

$E\colon \dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{4} + \dfrac{z}{3} = 1$

Spurpunkte direkt ablesen — die Nenner sind die Achsenabschnitte:

$S_x(6|0|0)$, $\quad S_y(0|4|0)$, $\quad S_z(0|0|3)$

Lagebeziehungen bestimmen

Lösung ▾

10 Punkt – Gerade

Untersuche, ob der Punkt auf der Geraden liegt.

a)$P(4|1|8)$, $\quad g\colon \vec{x} = \pmat{1\\-1\\2} + t \cdot \pmat{1\\1\\3}$

b)$Q(3|1|5)$, $\quad g\colon \vec{x} = \pmat{1\\-1\\1} + t \cdot \pmat{2\\2\\4}$

Ansatz $\pmat{4\\1\\8} = \pmat{1\\-1\\2} + t \cdot \pmat{1\\1\\3}$ liefert das LGS:

$$\left(\begin{array}{l} 1 + t = 4 \\ -1 + t = 1 \\ 2 + 3t = 8 \end{array}\right)$$

Jede Gleichung nach $t$ auflösen:

$$\left(\begin{array}{l} t = 3 \\ t = 2 \\ t = 2 \end{array}\right)$$

Widerspruch: $t=3$ aus (I) passt nicht zu $t=2$ aus (II), (III). $\Rightarrow$ $P$ liegt nicht auf $g$

Ansatz $\pmat{3\\1\\5} = \pmat{1\\-1\\1} + t \cdot \pmat{2\\2\\4}$ liefert das LGS:

$$\left(\begin{array}{l} 1 + 2t = 3 \\ -1 + 2t = 1 \\ 1 + 4t = 5 \end{array}\right)$$

Jede Gleichung nach $t$ auflösen:

$$\left(\begin{array}{l} t = 1 \\ t = 1 \\ t = 1 \end{array}\right)$$

Alle drei Werte identisch. $\Rightarrow$ $Q$ liegt auf $g$ ($t = 1$)

Lösung ▾

11 Punkt – Ebene

Untersuche, ob der Punkt auf der Ebene liegt.

a)$Q(2|1|{-1})$, $\quad E\colon 3x - y + 2z = 3$

b)$R(1|2|3)$, $\quad E\colon x + 2y - z = 3$

Einsetzen: $3\cdot 2 - 1 + 2\cdot(-1) = 6 - 1 - 2 = 3$ ✓ $\Rightarrow$ $Q$ liegt auf $E$

Einsetzen: $1 + 2\cdot 2 - 3 = 1 + 4 - 3 = 2 \neq 3$ $\Rightarrow$ $R$ liegt nicht auf $E$

Lösung ▾

12 Gerade – Gerade

Bestimme die gegenseitige Lage (identisch / parallel / schneidend / windschief).

a)$g_1\colon \vec{x} = \pmat{1\\2\\3} + t\pmat{1\\-1\\2}$, $\quad g_2\colon \vec{x} = \pmat{3\\0\\7} + s\pmat{2\\-2\\4}$

b)$g_1\colon \vec{x} = \pmat{0\\1\\2} + t\pmat{1\\0\\1}$, $\quad g_2\colon \vec{x} = \pmat{2\\3\\4} + s\pmat{2\\0\\2}$

c)$g_1\colon \vec{x} = \pmat{1\\0\\2} + t\pmat{1\\1\\0}$, $\quad g_2\colon \vec{x} = \pmat{3\\2\\2} + s\pmat{0\\1\\0}$

d)$g_1\colon \vec{x} = \pmat{0\\0\\0} + t\pmat{1\\0\\0}$, $\quad g_2\colon \vec{x} = \pmat{0\\1\\0} + s\pmat{0\\0\\1}$

a) identisch

Schritt 1 – Richtungen: $\pmat{2\\-2\\4} = 2\cdot\pmat{1\\-1\\2}$ $\Rightarrow$ kollinear $\Rightarrow$ parallel oder identisch.

Schritt 2 – Stützpunkt von $g_2$ auf $g_1$? $t=2$: $\pmat{3\\0\\7}$ ✓ $\Rightarrow$ identisch

b) echt parallel

Schritt 1: $\pmat{2\\0\\2} = 2\cdot\pmat{1\\0\\1}$ $\Rightarrow$ kollinear.

Schritt 2 – Stützpunkt $(2|3|4)$ auf $g_1$? Zeile 2: $1 + 0 = 1 \neq 3$ $\Rightarrow$ echt parallel

c) schneidend

Schritt 1: Richtungen $\pmat{1\\1\\0}$ und $\pmat{0\\1\\0}$ sind nicht kollinear $\Rightarrow$ nicht parallel.

Schritt 2 – Gleichsetzen $\pmat{1\\0\\2} + t\pmat{1\\1\\0} = \pmat{3\\2\\2} + s\pmat{0\\1\\0}$ liefert das LGS:

$$\left(\begin{array}{l} 1 + t = 3 \\ t = 2 + s \\ 2 = 2 \end{array}\right)$$

(I) nach $t$: $t = 2$. In (II) einsetzen: $2 = 2 + s \Rightarrow s = 0$.

$$\left(\begin{array}{l} t = 2 \\ s = 0 \\ 2 = 2 \checkmark \end{array}\right)$$

Alle drei Gleichungen konsistent. Einsetzen von $t=2$ in $g_1$: $\vec{x} = \pmat{1\\0\\2} + 2\pmat{1\\1\\0} = \pmat{3\\2\\2}$

$\Rightarrow$ Schnittpunkt $S(3|2|2)$

d) windschief

Schritt 1: Richtungen $\pmat{1\\0\\0}$ und $\pmat{0\\0\\1}$ sind nicht kollinear $\Rightarrow$ nicht parallel.

Schritt 2 – Gleichsetzen $\pmat{0\\0\\0} + t\pmat{1\\0\\0} = \pmat{0\\1\\0} + s\pmat{0\\0\\1}$ liefert das LGS:

$$\left(\begin{array}{l} t = 0 \\ 0 = 1 \\ 0 = s \end{array}\right)$$

Gleichung (II) ist eine widersprüchliche Aussage: $0 = 1$ ist falsch.

$\Rightarrow$ kein Schnittpunkt $\Rightarrow$ windschief

Lösung ▾

13 Gerade – Ebene

Bestimme die gegenseitige Lage (schneidend / parallel / in Ebene).

a)$g\colon \vec{x} = \pmat{0\\1\\2} + t\pmat{1\\2\\-1}$, $\quad E\colon x+y+z=5$

b)$g\colon \vec{x} = \pmat{1\\0\\0} + t\pmat{1\\-1\\0}$, $\quad E\colon x+y+z=2$

c)$g\colon \vec{x} = \pmat{2\\1\\-1} + t\pmat{1\\-1\\0}$, $\quad E\colon x+y+z=2$

a) schneidend

Schritt 1: $\vec{v}\cdot\vec{n} = \pmat{1\\2\\-1}\cdot\pmat{1\\1\\1} = 1+2-1 = 2 \neq 0$ $\Rightarrow$ schneidend.

Schritt 2: $(0+t)+(1+2t)+(2-t)=5 \Rightarrow 3+2t=5 \Rightarrow t=1$ $\Rightarrow$ $S(1|3|1)$

b) echt parallel

Schritt 1: $\pmat{1\\-1\\0}\cdot\pmat{1\\1\\1} = 1-1+0 = 0$ $\Rightarrow$ $g \parallel E$ oder $g \subset E$.

Schritt 2 – Stützpunkt in $E$: $1+0+0=1\neq 2$ $\Rightarrow$ $g \parallel E$ (echt parallel)

c) $g$ liegt in $E$

Schritt 1: $\pmat{1\\-1\\0}\cdot\pmat{1\\1\\1} = 0$ $\Rightarrow$ $g \parallel E$ oder $g \subset E$.

Schritt 2 – Stützpunkt in $E$: $2+1-1=2$ ✓ $\Rightarrow$ $g$ liegt vollständig in $E$

Lösung ▾

14 Ebene – Ebene

Bestimme die gegenseitige Lage (identisch / parallel / schneidend).

a)$E_1\colon 2x+y-z=4$, $\quad E_2\colon 4x+2y-2z=9$

b)$E_1\colon x+y+z=3$, $\quad E_2\colon 2x+2y+2z=6$

c)$E_1\colon x+y+z=3$, $\quad E_2\colon 2x-y+z=0$

a) echt parallel

Schritt 1: $\pmat{4\\2\\-2} = 2\cdot\pmat{2\\1\\-1}$ $\Rightarrow$ Normalenvektoren kollinear.

Schritt 2: $E_1 \cdot 2$ ergibt rechte Seite $8 \neq 9$ $\Rightarrow$ echt parallel

b) identisch

Schritt 1: $\pmat{2\\2\\2} = 2\cdot\pmat{1\\1\\1}$ $\Rightarrow$ kollinear.

Schritt 2: $E_1 \cdot 2$ ergibt rechte Seite $6 = 6$ ✓ $\Rightarrow$ identisch

c) schneidend

Schritt 1: $\pmat{2\\-1\\1}$ ist kein Vielfaches von $\pmat{1\\1\\1}$ $\Rightarrow$ nicht kollinear $\Rightarrow$ Schnittgerade existiert

Schnitte bestimmen

Lösung ▾

15 Gerade – Gerade (Schnittpunkt)

$g_1\colon \vec{x} = \pmat{1\\0\\2} + t\pmat{1\\1\\0}$ und $g_2\colon \vec{x} = \pmat{3\\2\\2} + s\pmat{0\\1\\0}$.

Komponentenweises Gleichsetzen $\pmat{1\\0\\2} + t\pmat{1\\1\\0} = \pmat{3\\2\\2} + s\pmat{0\\1\\0}$ liefert das LGS:

$$\left(\begin{array}{l} 1 + t = 3 \\ t = 2 + s \\ 2 = 2 \end{array}\right)$$

(I) nach $t$ auflösen: $t = 2$. In (II) einsetzen: $2 = 2 + s \Rightarrow s = 0$. (III) ist bereits wahr.

$$\left(\begin{array}{l} t = 2 \\ s = 0 \\ 2 = 2 \checkmark \end{array}\right)$$

Einsetzen von $t=2$ in $g_1$: $\vec{x} = \pmat{1\\0\\2} + 2\pmat{1\\1\\0} = \pmat{3\\2\\2}$

Schnittpunkt: $S(3|2|2)$

Lösung ▾

16 Gerade – Ebene (Schnittpunkt / Durchstoßpunkt)

$g\colon \vec{x} = \pmat{1\\0\\2} + t\pmat{2\\-1\\1}$ und $E\colon x + y + 2z = 8$.

Parameterdarstellung in $E$ einsetzen:

$(1 + 2t) + (-t) + 2(2 + t) = 8$

$1 + 2t - t + 4 + 2t = 8 \Rightarrow 5 + 3t = 8 \Rightarrow t = 1$

$t = 1$ in $g$ einsetzen: $\vec{x} = \pmat{1\\0\\2} + 1 \cdot \pmat{2\\-1\\1} = \pmat{3\\-1\\3}$

Schnittpunkt: $S(3|{-1}|3)$

Lösung ▾

17 Ebene – Ebene (Schnittgerade)

$E_1\colon x + y + z = 3$ und $E_2\colon 2x - y + z = 0$.

Wir setzen $z = t$ frei und erhalten ein LGS mit drei Gleichungen:

$$\left(\begin{array}{l} x + y + z = 3 \\ 2x - y + z = 0 \\ z = t \end{array}\right)$$

$z = t$ in (I) und (II) einsetzen:

$$\left(\begin{array}{l} x + y = 3 - t \\ 2x - y = -t \\ z = t \end{array}\right)$$

Addition (I) + (II) eliminiert $y$ — das Ergebnis ersetzt (I):

$$\left(\begin{array}{l} 3x = 3 - 2t \\ 2x - y = -t \\ z = t \end{array}\right)$$

(I) nach $x$ umstellen, (II) nach $y$ umstellen:

$$\left(\begin{array}{l} x = 1 - \tfrac{2}{3}\,t \\ y = 2x + t \\ z = t \end{array}\right)$$

(I) in (II) einsetzen: $y = 2\left(1 - \tfrac{2}{3}t\right) + t = 2 - \tfrac{4}{3}t + t = 2 - \tfrac{1}{3}\,t$

$$\left(\begin{array}{l} x = 1 - \tfrac{2}{3}\,t \\ y = 2 - \tfrac{1}{3}\,t \\ z = t \end{array}\right)$$

Parameterform ablesen — Stützpunkt (konstanter Teil): $S(1|2|0)$. Richtungsvektor (Koeffizienten bei $t$): $\pmat{-2/3\\-1/3\\1}$

Richtungsvektor ganzzahlig skalieren (mit $3$ multiplizieren): $\pmat{-2\\-1\\3}$

Schnittgerade: $\vec{x} = \pmat{1\\2\\0} + t\pmat{-2\\-1\\3}$

Lösung ▾

18 Lotfußpunkt auf Gerade

$P(4|5|{-1})$ auf $g\colon \vec{x} = \pmat{1\\1\\1} + t\pmat{1\\-1\\2}$.

Allgemeiner Punkt auf $g$: $F(1{+}t\;|\;1{-}t\;|\;1{+}2t)$

$\vv{PF} = \pmat{t-3\\-t-4\\2t+2}$

Lotbedingung $\vv{PF}\cdot\vec{v}=0$: $(t-3)\cdot 1 + (-t-4)\cdot(-1) + (2t+2)\cdot 2 = 0$

$t-3+t+4+4t+4=0 \Rightarrow 6t+5=0 \Rightarrow t=-\tfrac{5}{6}$

Lotfußpunkt: $F\!\left(\tfrac{1}{6}\,\Big|\,\tfrac{11}{6}\,\Big|\,-\tfrac{2}{3}\right)$

Lösung ▾

19 Lotfußpunkt auf Ebene

$P(2|4|1)$ auf $E\colon x - 2y + 2z = 5$.

Normalenvektor: $\vec{n} = \pmat{1\\-2\\2}$

Lotgerade: $\vec{x} = \pmat{2\\4\\1} + t\pmat{1\\-2\\2}$

In $E$ einsetzen: $(2+t) - 2(4-2t) + 2(1+2t) = 5 \Rightarrow 9t-4=5 \Rightarrow t=1$

Lotfußpunkt: $F(3|2|3)$

Lösung ▾

20 Spiegelpunkt an Ebene

$P(2|0|4)$ an $E\colon x + y - z = -1$.

Schritt 1 – Lotgerade: $\vec{x} = \pmat{2\\0\\4} + t\pmat{1\\1\\-1}$

Schritt 2 – Lotfuß: $(2+t)+t-(4-t)=-1 \Rightarrow 3t-2=-1 \Rightarrow t=\tfrac{1}{3}$

Lotfuß: $F\!\left(\tfrac{7}{3}\,\Big|\,\tfrac{1}{3}\,\Big|\,\tfrac{11}{3}\right)$

Schritt 3 – Ortsvektor des Spiegelpunkts: $\vv{OP'} = 2\cdot\vv{OF} - \vv{OP} = 2\cdot\pmat{7/3\\1/3\\11/3} - \pmat{2\\0\\4} = \pmat{14/3-6/3\\2/3-0\\22/3-12/3} = \pmat{8/3\\2/3\\10/3}$

Spiegelpunkt: $P'\!\left(\tfrac{8}{3}\,\Big|\,\tfrac{2}{3}\,\Big|\,\tfrac{10}{3}\right)$

Lösung ▾

21 Spiegelpunkt an Gerade

$P(3|0|4)$ an $g\colon \vec{x} = \pmat{1\\1\\1} + t\pmat{0\\1\\1}$.

Schritt 1 – Allgemeiner Punkt: $F(1\;|\;1{+}t\;|\;1{+}t)$

Schritt 2 – $\vv{FP} = \pmat{2\\-1-t\\3-t}$. Lotbedingung: $(-1-t)+(3-t)=0 \Rightarrow 2-2t=0 \Rightarrow t=1$

Lotfuß: $F(1|2|2)$

Schritt 3 – Ortsvektor des Spiegelpunkts: $\vv{OP'} = 2\cdot\vv{OF} - \vv{OP} = 2\cdot\pmat{1\\2\\2} - \pmat{3\\0\\4} = \pmat{2-3\\4-0\\4-4} = \pmat{-1\\4\\0}$

Spiegelpunkt: $P'(-1|4|0)$

Spuren

Lösung ▾

22 Spurpunkte einer Geraden

Bestimme die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen) der Geraden $g\colon \vec{x} = \pmat{2\\-1\\4} + t\pmat{1\\2\\-2}$.

Ein Spurpunkt liegt in einer Koordinatenebene genau dann, wenn die zugehörige Koordinate Null ist. Parametergleichungen:

$$\left(\begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 4 - 2t \end{array}\right)$$

Spurpunkt $S_{xy}$ in der $xy$-Ebene ($z=0$):

$4 - 2t = 0 \Rightarrow t = 2$

In $g$ einsetzen: $\vec{x} = \pmat{2\\-1\\4} + 2\pmat{1\\2\\-2} = \pmat{4\\3\\0}$

$S_{xy}(4|3|0)$

Spurpunkt $S_{xz}$ in der $xz$-Ebene ($y=0$):

$-1 + 2t = 0 \Rightarrow t = \tfrac{1}{2}$

In $g$ einsetzen: $\vec{x} = \pmat{2\\-1\\4} + \tfrac{1}{2}\pmat{1\\2\\-2} = \pmat{5/2\\0\\3}$

$S_{xz}\!\left(\tfrac{5}{2}\,\Big|\,0\,\Big|\,3\right)$

Spurpunkt $S_{yz}$ in der $yz$-Ebene ($x=0$):

$2 + t = 0 \Rightarrow t = -2$

In $g$ einsetzen: $\vec{x} = \pmat{2\\-1\\4} + (-2)\pmat{1\\2\\-2} = \pmat{0\\-5\\8}$

$S_{yz}(0|{-5}|8)$

Lösung ▾

23 Spurpunkte einer Ebene

Bestimme die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) der Ebene $E\colon 2x + 3y + 4z = 12$.

Ein Punkt liegt auf einer Koordinatenachse genau dann, wenn die beiden anderen Koordinaten Null sind.

Spurpunkt $S_x$ auf der $x$-Achse ($y=0$, $z=0$):

$2x + 0 + 0 = 12 \Rightarrow x = 6$

$S_x(6|0|0)$

Spurpunkt $S_y$ auf der $y$-Achse ($x=0$, $z=0$):

$0 + 3y + 0 = 12 \Rightarrow y = 4$

$S_y(0|4|0)$

Spurpunkt $S_z$ auf der $z$-Achse ($x=0$, $y=0$):

$0 + 0 + 4z = 12 \Rightarrow z = 3$

$S_z(0|0|3)$

Lösung ▾

24 Spurgeraden einer Ebene

Bestimme die Spurgeraden (Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen) der Ebene $E\colon 2x + 3y + 4z = 12$.

Eine Spurgerade ist der Schnitt von $E$ mit einer Koordinatenebene. Sie verbindet die beiden zugehörigen Spurpunkte (aus Aufg. 23): $S_x(6|0|0)$, $S_y(0|4|0)$, $S_z(0|0|3)$.

Spurgerade $s_{xy}$ in der $xy$-Ebene ($z=0$):

Verbindet $S_x(6|0|0)$ und $S_y(0|4|0)$. Richtungsvektor: $\vv{S_xS_y} = \pmat{0\\4\\0} - \pmat{6\\0\\0} = \pmat{-6\\4\\0}$

Ganzzahlig skalieren (durch $2$ teilen): $\pmat{-3\\2\\0}$

$s_{xy}\colon \vec{x} = \pmat{6\\0\\0} + t\pmat{-3\\2\\0}$

Spurgerade $s_{xz}$ in der $xz$-Ebene ($y=0$):

Verbindet $S_x(6|0|0)$ und $S_z(0|0|3)$. Richtungsvektor: $\vv{S_xS_z} = \pmat{0\\0\\3} - \pmat{6\\0\\0} = \pmat{-6\\0\\3}$

Ganzzahlig skalieren (durch $3$ teilen): $\pmat{-2\\0\\1}$

$s_{xz}\colon \vec{x} = \pmat{6\\0\\0} + t\pmat{-2\\0\\1}$

Spurgerade $s_{yz}$ in der $yz$-Ebene ($x=0$):

Verbindet $S_y(0|4|0)$ und $S_z(0|0|3)$. Richtungsvektor: $\vv{S_yS_z} = \pmat{0\\0\\3} - \pmat{0\\4\\0} = \pmat{0\\-4\\3}$

$s_{yz}\colon \vec{x} = \pmat{0\\4\\0} + t\pmat{0\\-4\\3}$

Konstruktionen

Lösung ▾

25 Mittelpunkt einer Strecke

$A(2|4|{-1})$ und $B(6|0|3)$.

Mittelpunkt = Stützpunkt + $\tfrac{1}{2}$ · Verbindungsvektor:

$\vv{OM} = \tfrac{1}{2}\!\left(\vv{OA}+\vv{OB}\right) = \tfrac{1}{2}\pmat{8\\4\\2} = \pmat{4\\2\\1}$

Mittelpunkt: $M(4|2|1)$

Lösung ▾

26 Teilpunkt einer Strecke

$A(1|0|2)$, $B(4|3|{-1})$, Verhältnis $2:1$ von $A$ aus.

Verhältnis $AT:TB = 2:1$ $\Rightarrow$ $t = \tfrac{2}{2+1} = \tfrac{2}{3}$

$\vv{AB} = \pmat{3\\3\\-3}$

$\vv{OT} = \pmat{1\\0\\2} + \tfrac{2}{3}\cdot\pmat{3\\3\\-3} = \pmat{3\\2\\0}$

Teilpunkt: $T(3|2|0)$

Lösung ▾

27 Lotgerade von Punkt auf Ebene

$P(3|2|1)$ auf $E\colon 2x - y + 2z = 4$.

Die Lotgerade verläuft durch $P$ in Richtung des Normalenvektors von $E$.

Normalenvektor ablesen: $\vec{n} = \pmat{2\\-1\\2}$

Lotgerade: $\vec{x} = \pmat{3\\2\\1} + t\pmat{2\\-1\\2}$

Lösung ▾

28 Projektion Gerade auf Ebene

$g\colon \vec{x} = \pmat{1\\3\\5} + t\pmat{2\\0\\-1}$ auf $E\colon x+y+z=0$.

Idee: Zwei Punkte von $g$ auf $E$ projizieren, dann Gerade durch die Lotfüße.

$P_1 = g(0) = (1|3|5)$. Lot: $s = -(1+3+5)/3 = -3$. Lotfuß: $F_1(-2|0|2)$

$P_2 = g(1) = (3|3|4)$. Lot: $s = -(3+3+4)/3 = -\tfrac{10}{3}$. Lotfuß: $F_2\!\left(-\tfrac{1}{3}\,|\,-\tfrac{1}{3}\,|\,\tfrac{2}{3}\right)$

Richtungsvektor: $\vv{F_1F_2} = \pmat{5/3\\-1/3\\-4/3}$, ganzzahlig: $\pmat{5\\-1\\-4}$

Projektionsgerade: $g'\colon \vec{x} = \pmat{-2\\0\\2} + t\pmat{5\\-1\\-4}$

Abstände

Lösung ▾

29 Abstand Punkt – Punkt

$A(1|{-2}|4)$ und $B(3|1|0)$.

$\vv{AB} = \pmat{3-1\\1+2\\0-4} = \pmat{2\\3\\-4}$

$d = |\vv{AB}| = \sqrt{2^2+3^2+4^2} = \sqrt{4+9+16} = \sqrt{29} \approx 5{,}39$

Lösung ▾

30 Abstand Punkt – Gerade

$P(4|5|{-1})$ zur Geraden $g\colon \vec{x} = \pmat{1\\1\\1} + t\pmat{1\\-1\\2}$.

Methode 1 – Lotfußpunkt

Lotfuß (wie Aufg. 18): $t=-\tfrac{5}{6}$ $\Rightarrow$ $F\!\left(\tfrac{1}{6}\,|\,\tfrac{11}{6}\,|\,-\tfrac{2}{3}\right)$

$\vv{PF} = \pmat{1/6-4\\11/6-5\\-2/3+1} = \pmat{-23/6\\-19/6\\1/3}$

$d = \sqrt{\left(\tfrac{23}{6}\right)^2+\left(\tfrac{19}{6}\right)^2+\left(\tfrac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{529+361+4}{36}} = \sqrt{\tfrac{894}{36}} \approx 4{,}99$

Methode 2 – Kreuzproduktformel

$d = \dfrac{|\vv{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ mit $A(1|1|1)$ (Stützpunkt von $g$)

$\vv{AP} = \pmat{4-1\\5-1\\-1-1} = \pmat{3\\4\\-2}$, $\quad \vec{v} = \pmat{1\\-1\\2}$

$\vv{AP}\times\vec{v} = \pmat{4\cdot 2-(-2)\cdot(-1)\\(-2)\cdot 1-3\cdot 2\\3\cdot(-1)-4\cdot 1} = \pmat{8-2\\-2-6\\-3-4} = \pmat{6\\-8\\-7}$

$|\vv{AP}\times\vec{v}| = \sqrt{36+64+49} = \sqrt{149}$, $\quad |\vec{v}| = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$

$d = \dfrac{\sqrt{149}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\tfrac{149}{6}} \approx 4{,}99$

Lösung ▾

31 Abstand Punkt – Ebene

$P(1|{-1}|3)$ zur Ebene $E\colon 2x+2y-z=5$.

Hessesche Normalenform: $d = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0-d|}{|\vec{n}|}$

$|\vec{n}| = \sqrt{4+4+1} = 3$

$d = \dfrac{|2\cdot 1+2\cdot(-1)-1\cdot 3-5|}{3} = \dfrac{|2-2-3-5|}{3} = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67$

Lösung ▾

32 Abstand windschiefer Geraden

$g_1\colon \vec{x} = \pmat{1\\0\\0} + t\pmat{1\\0\\1}$ und $g_2\colon \vec{x} = \pmat{0\\1\\0} + s\pmat{0\\1\\-1}$.

Gemeinsamer Normalenvektor: $\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v} = \pmat{0\cdot(-1)-1\cdot 1\\1\cdot 0-1\cdot(-1)\\1\cdot 1-0\cdot 0} = \pmat{-1\\1\\1}$

Verbindungsvektor der Stützpunkte: $\vec{w} = \pmat{0-1\\1-0\\0-0} = \pmat{-1\\1\\0}$

$d = \dfrac{|\vec{w}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|} = \dfrac{|1+1+0|}{\sqrt{3}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}15$

Lösung ▾

33 Abstand Gerade – Ebene (parallel)

$g\colon \vec{x} = \pmat{1\\2\\3} + t\pmat{1\\1\\0}$ und $E\colon x-y+z=10$.

Prüfung: $\pmat{1\\1\\0}\cdot\pmat{1\\-1\\1} = 1-1+0 = 0$ ✓ $\Rightarrow$ $g \parallel E$

Abstand = Abstand des Stützpunkts $(1|2|3)$ von $E$:

$d = \dfrac{|1-2+3-10|}{\sqrt{3}} = \dfrac{8}{\sqrt{3}} = \dfrac{8\sqrt{3}}{3} \approx 4{,}62$

Lösung ▾

34 Abstand paralleler Ebenen

$E_1\colon 3x-6y+2z=14$ und $E_2\colon 3x-6y+2z=0$.

Gleicher Normalenvektor $\Rightarrow$ parallel. $|\vec{n}| = \sqrt{9+36+4} = \sqrt{49} = 7$

$d = \dfrac{|d_1-d_2|}{|\vec{n}|} = \dfrac{|14-0|}{7} = 2$

Winkel

Lösung ▾

35 Winkel zwischen zwei Geraden

Berechne den Schnittwinkel der Geraden.

a)$\vec{u} = \pmat{1\\2\\-2}$, $\quad \vec{v} = \pmat{2\\1\\2}$

b)$\vec{u} = \pmat{1\\0\\1}$, $\quad \vec{v} = \pmat{0\\1\\2}$

Formel: $\cos\alpha = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$

a) orthogonal

$\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\cdot 2+2\cdot 1+(-2)\cdot 2 = 2+2-4 = 0$

$\cos\alpha = 0 \Rightarrow$ $\alpha = 90°$ (Geraden orthogonal)

b) nicht orthogonal

$\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\cdot 0+0\cdot 1+1\cdot 2 = 2$

$|\vec{u}| = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$, $\quad |\vec{v}| = \sqrt{0+1+4} = \sqrt{5}$

$\cos\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{10}}$

$\alpha = \arccos\!\left(\dfrac{2}{\sqrt{10}}\right) \approx \arccos(0{,}632) \approx$ $50{,}8°$

Lösung ▾

36 Winkel Gerade – Ebene

$\vec{v} = \pmat{1\\1\\1}$ und $E\colon x+2y+2z=7$.

Formel: $\sin\alpha = \dfrac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\cdot|\vec{n}|}$

$\vec{n} = \pmat{1\\2\\2}$. Skalarprodukt: $1+2+2=5$

$|\vec{v}| = \sqrt{3}$, $\quad |\vec{n}| = \sqrt{1+4+4} = 3$

$\sin\alpha = \dfrac{5}{3\sqrt{3}} = \dfrac{5}{3\sqrt{3}}$

$\alpha = \arcsin\!\left(\dfrac{5}{3\sqrt{3}}\right) \approx \arcsin(0{,}962) \approx$ $74{,}2°$

Lösung ▾

37 Winkel zwischen zwei Ebenen

Berechne den Schnittwinkel der Ebenen.

a)$E_1\colon x+y-z=2$, $\quad E_2\colon 2x-y+z=5$

b)$E_1\colon x+y+z=1$, $\quad E_2\colon 2x-y+z=3$

Formel: $\cos\alpha = \dfrac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\cdot|\vec{n}_2|}$

a) orthogonal

$\vec{n}_1 = \pmat{1\\1\\-1}$, $\quad \vec{n}_2 = \pmat{2\\-1\\1}$

$\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2 = 2-1-1 = 0$

$\cos\alpha = 0 \Rightarrow$ $\alpha = 90°$ (Ebenen orthogonal)

b) nicht orthogonal

$\vec{n}_1 = \pmat{1\\1\\1}$, $\quad \vec{n}_2 = \pmat{2\\-1\\1}$

$\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2 = 2-1+1 = 2$

$|\vec{n}_1| = \sqrt{3}$, $\quad |\vec{n}_2| = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$

$\cos\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}} = \dfrac{2}{\sqrt{18}} = \dfrac{2}{3\sqrt{2}}$

$\alpha = \arccos\!\left(\dfrac{2}{3\sqrt{2}}\right) \approx \arccos(0{,}471) \approx$ $61{,}9°$

Volumen des Spats

Lösung ▾

38 Volumen eines Spats

Berechne das Volumen des Spats, der von $\vec{a}=\pmat{2\\0\\0}$, $\vec{b}=\pmat{1\\3\\0}$, $\vec{c}=\pmat{0\\1\\4}$ aufgespannt wird.

Formel: $V = |(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|$

Schritt 1 – Kreuzprodukt: $\vec{a}\times\vec{b} = \pmat{0\cdot 0-0\cdot 3\\0\cdot 1-2\cdot 0\\2\cdot 3-0\cdot 1} = \pmat{0\\0\\6}$

Schritt 2 – Skalarprodukt: $\pmat{0\\0\\6}\cdot\pmat{0\\1\\4} = 0+0+24 = 24$

$V = |24| =$ $24$

Lösung ▾

39 Volumen eines Spats (allgemein)

$\vec{a}=\pmat{1\\2\\3}$, $\vec{b}=\pmat{0\\1\\-1}$, $\vec{c}=\pmat{2\\0\\1}$.

Formel: $V = |(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|$

Schritt 1 – Kreuzprodukt: $\vec{a}\times\vec{b} = \pmat{2\cdot(-1)-3\cdot 1\\3\cdot 0-1\cdot(-1)\\1\cdot 1-2\cdot 0} = \pmat{-5\\1\\1}$

Schritt 2 – Skalarprodukt: $\pmat{-5\\1\\1}\cdot\pmat{2\\0\\1} = -10+0+1 = -9$

$V = |-9| =$ $9$

Lösung ▾

40 Volumen eines Tetraeders (Dreieckspyramide)

$A(0|0|0)$, $B(3|0|0)$, $C(0|4|0)$, $D(0|0|2)$.

Kantenvektoren von $A$: $\vv{AB}=\pmat{3\\0\\0}$, $\vv{AC}=\pmat{0\\4\\0}$, $\vv{AD}=\pmat{0\\0\\2}$

Schritt 1 – Kreuzprodukt: $\vv{AB}\times\vv{AC} = \pmat{0\cdot 0-0\cdot 4\\0\cdot 0-3\cdot 0\\3\cdot 4-0\cdot 0} = \pmat{0\\0\\12}$

Schritt 2 – Skalarprodukt: $\pmat{0\\0\\12}\cdot\pmat{0\\0\\2} = 24$

$V_{\text{Tetraeder}} = \tfrac{1}{6}\cdot|(\vv{AB}\times\vv{AC})\cdot\vv{AD}| = \tfrac{1}{6}\cdot 24 =$ $4$

Lösung ▾

41 Komplanare Vektoren prüfen

$\vec{a}=\pmat{1\\2\\3}$, $\vec{b}=\pmat{0\\1\\1}$, $\vec{c}=\pmat{2\\3\\5}$. Liegen alle drei in einer Ebene?

Drei Vektoren sind komplanar $\Longleftrightarrow$ $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} = 0$.

Schritt 1 – Kreuzprodukt: $\vec{a}\times\vec{b} = \pmat{2\cdot 1-3\cdot 1\\3\cdot 0-1\cdot 1\\1\cdot 1-2\cdot 0} = \pmat{-1\\-1\\1}$

Schritt 2 – Skalarprodukt: $\pmat{-1\\-1\\1}\cdot\pmat{2\\3\\5} = -2-3+5 = 0$

$\Rightarrow$ $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} = 0$ $\Rightarrow$ komplanar

Lösung ▾

42 Volumen einer Viereckspyramide

Grundfläche: Parallelogramm $A(1|0|0)$, $B(3|0|0)$, $C(3|2|0)$, $D(1|2|0)$. Spitze: $S(2|1|6)$.

$\vv{AB}=\pmat{2\\0\\0}$, $\vv{AD}=\pmat{0\\2\\0}$, Höhenvektor: $\vv{AS}=\pmat{1\\1\\6}$

Schritt 1 – Kreuzprodukt: $\vv{AB}\times\vv{AD} = \pmat{0\cdot 0-0\cdot 2\\0\cdot 0-2\cdot 0\\2\cdot 2-0\cdot 0} = \pmat{0\\0\\4}$

Schritt 2 – Skalarprodukt mit $\vv{AS}$: $\pmat{0\\0\\4}\cdot\pmat{1\\1\\6} = 0+0+24 = 24$

$V_{\text{Pyramide}} = \tfrac{1}{3}\cdot|(\vv{AB}\times\vv{AD})\cdot\vv{AS}| = \tfrac{1}{3}\cdot 24 =$ $8$