Münze

$Münze mit Kopf- und Zahlseite$

Ausgangssituation

Eine Münze wird geworfen. Sie kann auf zwei Seiten landen: Kopf oder Zahl.

Das ist ein einfacher Zufallsversuch: Man kennt die möglichen Ergebnisse, aber man kann das einzelne Ergebnis nicht sicher vorhersagen.

Erste Begriffe

Begriff	Bedeutung bei einer Münze
Zufallsversuch	Ein Vorgang, dessen Ergebnis nicht sicher vorhersagbar ist. Beispiel: Eine Münze wird einmal geworfen.
Ergebnis	Ein einzelner möglicher Ausgang des Zufallsversuchs. Beim Münzwurf: $K$ oder $Z$.
Ergebnismenge	Die Menge aller möglichen Ergebnisse.

$$\Omega=\{K,Z\}$$

Dabei steht $K$ für Kopf und $Z$ für Zahl.

Laplace-Versuch

Ein Laplace-Versuch ist ein Zufallsversuch mit endlich vielen Ergebnissen, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

$$P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}$$

Eine faire Münze ist ein Laplace-Versuch, weil Kopf und Zahl gleich wahrscheinlich sind. Eine gezinkte oder unfaire Münze wäre kein Laplace-Versuch.

Ereignis

Ein Ereignis ist eine Menge von Ergebnissen.

Ereignis	Bedeutung
$A=\{K\}$	Es fällt Kopf.
$B=\{Z\}$	Es fällt Zahl.
$C=\{K,Z\}$	Es fällt Kopf oder Zahl. Das ist das sichere Ereignis.
$D=\varnothing$	Es fällt weder Kopf noch Zahl. Das ist das unmögliche Ereignis.

Ein Ergebnis ist ein einzelner Ausgang. Ein Ereignis kann aus einem oder mehreren Ergebnissen bestehen.

Wahrscheinlichkeit

Bei einer fairen Münze sind Kopf und Zahl gleich wahrscheinlich.

$$P(K)=\frac12,\qquad P(Z)=\frac12$$

Das bedeutet nicht, dass bei zwei Würfen garantiert einmal Kopf und einmal Zahl fällt. Es bedeutet: Auf lange Sicht erwartet man ungefähr gleich viele Köpfe wie Zahlen.

Gegenereignis

Zum Ereignis $A=\{K\}$ gehört das Gegenereignis $\overline{A}=\{Z\}$.

$$P(A)+P(\overline{A})=1$$

Beim Münzwurf heißt das:

$$P(K)+P(Z)=1$$

Sicheres und unmögliches Ereignis

Ereignis	Wahrscheinlichkeit	Bedeutung
$\Omega$	$P(\Omega)=1$	Ein Ergebnis aus der Ergebnismenge tritt sicher ein.
$\varnothing$	$P(\varnothing)=0$	Ein unmögliches Ereignis tritt nie ein.

Zweimal werfen

Jetzt wird die Münze zweimal geworfen. Dann besteht ein Ergebnis aus zwei Zeichen, weil jeder Wurf ein Ergebnis liefert.

$$\Omega=\{KK,KZ,ZK,ZZ\}$$

Bei einer fairen Münze hat jedes dieser vier Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit $\frac14$.

Wichtige Unterscheidung: „einmal Kopf“ ist kein einzelnes Ergebnis, sondern ein Ereignis. Es besteht aus den beiden Ergebnissen $KZ$ und $ZK$.

Ereignisse beim zweimaligen Münzwurf

Beschreibung	Ereignis	Rechnung
genau einmal Kopf	$\{KZ,ZK\}$	$P(KZ)+P(ZK)=\frac14+\frac14=\frac12$
mindestens einmal Kopf	$\{KK,KZ,ZK\}$	$P(KK)+P(KZ)+P(ZK)=\frac14+\frac14+\frac14=\frac34$
höchstens einmal Kopf	$\{KZ,ZK,ZZ\}$	$P(KZ)+P(ZK)+P(ZZ)=\frac14+\frac14+\frac14=\frac34$
kein Kopf	$\{ZZ\}$	$P(ZZ)=\frac14$
zweimal Kopf	$\{KK\}$	$P(KK)=\frac14$

Zentrale Sprachbegriffe

Ausdruck	Bedeutung beim zweimaligen Münzwurf
genau einmal Kopf	$KZ$ oder $ZK$
mindestens einmal Kopf	$KK$, $KZ$ oder $ZK$
höchstens einmal Kopf	$KZ$, $ZK$ oder $ZZ$
kein Kopf	$ZZ$
zweimal Kopf	$KK$

Um Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Versuchen systematisch zu berechnen, verwendet man ein Baumdiagramm. Es zeigt alle möglichen Abläufe und macht die Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang der Äste sichtbar.

Baumdiagramm

Situation

Eine faire Münze wird zweimal geworfen. Der Zufallsversuch besteht also aus zwei Schritten: erster Wurf und zweiter Wurf.

Ein Baumdiagramm zeigt alle möglichen Abläufe geordnet von links nach rechts.

Elemente des Baumdiagramms

Startknoten

Hier beginnt der Zufallsversuch. Von diesem Punkt aus verzweigt sich der Baum in die möglichen Ergebnisse des ersten Wurfes.

Stufe

Eine Stufe gehört zu einem Schritt des Zufallsversuchs. Hier gibt es zwei Stufen: den ersten Wurf und den zweiten Wurf.

Ast

Ein Ast verbindet zwei Knoten. Er zeigt, wie der Versuch weitergehen kann. Die Beschriftung der Ergebnisse steht hier in den Knoten, nicht auf den Ästen.

Astwahrscheinlichkeit

Unter einem Ast steht die Wahrscheinlichkeit für diese Fortsetzung. Bei einer fairen Münze ist sie bei jedem Wurf $\frac12$.

Knoten

Ein Knoten markiert einen Zustand nach einem Schritt. Nach dem ersten Wurf steht dort $K$ oder $Z$; nach dem zweiten Wurf wieder $K$ oder $Z$.

Pfad

Ein Pfad ist ein vollständiger Weg vom Start bis zum Ende. Zum Beispiel beschreibt der Pfad $KZ$: zuerst Kopf, danach Zahl.

Ergebnis

Das Ergebnis eines zweistufigen Versuchs besteht aus beiden Würfen. Deshalb entstehen $KK$, $KZ$, $ZK$ und $ZZ$.

Günstiger Pfad

Ein günstiger Pfad gehört zum gesuchten Ereignis. Für „genau einmal Kopf“ sind $KZ$ und $ZK$ günstig.

Pfadwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit eines vollständigen Pfades berechnet man, indem man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multipliziert.

Baumdiagramm

Ereignis auswählen

Klicke auf eine Zeile. Die günstigen Pfade werden im Baumdiagramm markiert.

Beschreibung	Ereignis	Günstige Pfade
genau einmal Kopf	$\{KZ,ZK\}$	$KZ$, $ZK$
mindestens einmal Kopf	$\{KK,KZ,ZK\}$	$KK$, $KZ$, $ZK$
höchstens einmal Kopf	$\{KZ,ZK,ZZ\}$	$KZ$, $ZK$, $ZZ$
kein Kopf	$\{ZZ\}$	$ZZ$
zweimal Kopf	$\{KK\}$	$KK$

Pfadregeln

1. Pfadregel · multiplizieren

Entlang eines einzelnen Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten der Äste multipliziert.

$$P(KZ)=\frac12\cdot\frac12=\frac14$$

2. Pfadregel · addieren

Gehören mehrere Pfade zu einem Ereignis, dann werden die Wahrscheinlichkeiten dieser günstigen Pfade addiert.

$$P(\{KZ,ZK\})=P(KZ)+P(ZK)$$

Berechnung zur Auswahl

Gegenereignis im Baumdiagramm

Manchmal ist es einfacher, das Gegenereignis zu berechnen. Das Gegenereignis besteht aus allen Pfaden, die nicht zum gesuchten Ereignis gehören.

Beispiel: „mindestens einmal Kopf" ist das Gegenereignis von „kein Kopf".

$$P(\text{mindestens einmal Kopf})=1-P(\text{kein Kopf})=1-\frac14=\frac34$$

Die Gegenereignis-Regel lohnt sich immer dann, wenn das Gegenereignis aus weniger günstigen Pfaden besteht als das Ereignis selbst.

Pfadregeln

Experiment

Eine Urne enthält rote, grüne und blaue Kugeln. Es wird zwei- oder dreimal gezogen.

Bei mit Zurücklegen kommt die gezogene Kugel nach jedem Zug zurück in die Urne. Bei ohne Zurücklegen bleibt sie draußen.

Entlang eines Pfades wird multipliziert. Mehrere günstige Pfade werden addiert.

Wie werden hier Pfadregeln angewendet?

Ein Pfad ist eine konkrete Reihenfolge von Ziehungen, zum Beispiel $RB$: zuerst rot, danach blau.

Die Pfadregeln sagen, wie man aus solchen Pfaden die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet.

Wir bezeichnen die Anzahl der roten Kugeln mit $r$, die Anzahl der grünen Kugeln mit $g$, die Anzahl der blauen Kugeln mit $b$ und die Gesamtzahl aller Kugeln mit $n$.

$$n=r+g+b$$

1. Pfadregel · multiplizieren

Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades berechnet man, indem man die Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades multipliziert.

$$P(RB)=P(R)\cdot P(B\text{ nach }R)$$

Mit Zurücklegen bleiben die Anzahlen in der Urne gleich:

$$P(RB)=\frac{r}{n}\cdot\frac{b}{n}$$

Ohne Zurücklegen ändert sich die Urne nach der ersten Ziehung:

$$P(RB)=\frac{r}{n}\cdot\frac{b}{n-1}$$

2. Pfadregel · addieren

Wenn ein Ereignis aus mehreren günstigen Pfaden besteht, werden die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade addiert.

Beispiel: Bei zwei Ziehungen bedeutet „genau eine rote Kugel“:

$$\{RG,RB,GR,BR\}$$

          $$\begin{aligned}
          P(\text{genau eine rote})\\
          =P(RG)+P(RB)\\
          \quad +P(GR)+P(BR)
          \end{aligned}$$
        

Steuerelemente

Rote Kugeln 3

Grüne Kugeln 2

Blaue Kugeln 1

Ziehungen

Zurücklegen

Ereignis

Baumdiagramm

Dynamische Berechnung

Günstige Pfade

Pfad	Pfadwahrscheinlichkeit

Übungen

Aufgabe 1 · Münze dreimal werfen

Eine faire Münze wird dreimal geworfen.

a) Wie viele Ergebnisse hat der Zufallsversuch? Schreibe die Ergebnismenge $\Omega$ auf.

b) Berechne $P(\text{genau zweimal Kopf})$ mithilfe eines Baumdiagramms.

c) Berechne $P(\text{mindestens einmal Kopf})$ mithilfe des Gegenereignisses.

d) Berechne $P(\text{mindestens zweimal Zahl})$.

Lösung anzeigen

a) $|\Omega|=2^3=8$.
$\Omega=\{KKK,\,KKZ,\,KZK,\,KZZ,\,ZKK,\,ZKZ,\,ZZK,\,ZZZ\}$

b) Günstige Ergebnisse: $KKZ$, $KZK$, $ZKK$. Jedes hat Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$.
$P(\text{genau zweimal Kopf})=3\cdot\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$

c) Gegenereignis „kein Kopf" $=\{ZZZ\}$, $P(ZZZ)=\frac{1}{8}$.
$P(\text{mindestens einmal Kopf})=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$

d) Günstige Ergebnisse: $KZZ$, $ZKZ$, $ZZK$, $ZZZ$ — also 4 Ergebnisse.
$P(\text{mindestens zweimal Zahl})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

Aufgabe 2 · Glücksrad

Ein Glücksrad ist in vier Sektoren eingeteilt. Es wird zweimal gedreht.

Sektor	Farbe	Anteil	Wahrscheinlichkeit
A	rot	$\frac{1}{4}$ des Rades	$P(A)=\frac{1}{4}$
B	blau	$\frac{1}{4}$ des Rades	$P(B)=\frac{1}{4}$
C	grün	$\frac{1}{4}$ des Rades	$P(C)=\frac{1}{4}$
D	grün	$\frac{1}{4}$ des Rades	$P(D)=\frac{1}{4}$

a) Ist dies ein Laplace-Versuch? Begründe.

b) Berechne $P(\text{beim ersten Drehen grün})$.

c) Das Rad wird zweimal gedreht. Berechne $P(\text{beide Male grün})$.

d) Berechne $P(\text{mindestens einmal grün bei zwei Drehungen})$ mithilfe des Gegenereignisses.

e) Berechne $P(\text{beide Male dieselbe Farbe})$.

Lösung anzeigen

a) Ja, es ist ein Laplace-Versuch — alle vier Sektoren sind gleich groß, also gleich wahrscheinlich.

b) Grün sind C und D, also zwei von vier Sektoren.
$P(\text{grün})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

c) Die Drehungen sind unabhängig voneinander (mit Zurücklegen).
$P(\text{beide grün})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

d) Gegenereignis „kein Grün": beide Male A oder B.
$P(\text{kein Grün})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
$P(\text{mindestens einmal grün})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

e) Günstige Paare: $AA$, $BB$, $CC$, $DD$, $CD$, $DC$ (C und D sind beide grün, also gilt auch grün+grün).
Exakter: gleiche Farbe bedeutet rot+rot, blau+blau oder grün+grün.
$P(\text{rot+rot})=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$
$P(\text{blau+blau})=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$
$P(\text{grün+grün})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{4}{16}$
$P(\text{gleiche Farbe})=\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{4}{16}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$

Aufgabe 3 · Urne ohne Zurücklegen

Eine Urne enthält 4 rote, 3 blaue und 2 grüne Kugeln. Es wird dreimal ohne Zurücklegen gezogen.

a) Wie viele Kugeln sind insgesamt in der Urne?

b) Berechne $P(\text{erste Kugel rot})$.

c) Berechne $P(\text{erste rot, zweite blau, dritte grün})$.

d) Berechne $P(\text{mindestens eine grüne Kugel})$ mithilfe des Gegenereignisses.

Lösung anzeigen

a) $n=4+3+2=9$ Kugeln.

b) $P(\text{rot})=\frac{4}{9}$

c) Nach Ziehen einer roten Kugel: 8 Kugeln übrig, davon 3 blau.
Nach Ziehen einer blauen Kugel: 7 Kugeln übrig, davon 2 grün.
$P(RBG)=\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{24}{504}=\frac{1}{21}$

d) Gegenereignis „keine grüne Kugel": alle drei Züge aus den 7 nicht-grünen Kugeln.
$P(\text{keine grüne})=\frac{7}{9}\cdot\frac{6}{8}\cdot\frac{5}{7}=\frac{210}{504}=\frac{5}{12}$
$P(\text{mindestens eine grüne})=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$

Aufgabe 4 · Urne mit zwei Farben

Eine Urne enthält 3 rote und 2 blaue Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen.

a) Zeichne ein Baumdiagramm und trage alle Astwahrscheinlichkeiten ein.

b) Berechne $P(\text{beide Kugeln gleiche Farbe})$.

c) Berechne $P(\text{mindestens eine rote Kugel})$ mithilfe des Gegenereignisses.

Lösung anzeigen

b) Günstige Pfade: $RR$ und $BB$.
$P(RR)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$
$P(BB)=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$
$P(\text{gleiche Farbe})=\frac{3}{10}+\frac{1}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$

c) Gegenereignis „keine rote" $=BB$.
$P(\text{mindestens eine rote})=1-P(BB)=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$

Aufgabe 5 · Würfel

Ein fairer Würfel wird zweimal geworfen. Berechne $P(\text{mindestens eine }6)$.

Hinweis: Nutze das Gegenereignis.

Lösung anzeigen

Gegenereignis: „keine 6 in beiden Würfen".
$P(\text{keine 6})=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}$
$P(\text{mindestens eine 6})=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$

Aufgabe 6 · Drehtrommel

Eine Drehtrommel hat 8 gleich große Felder: 3 rote, 2 blaue und 3 gelbe. Sie wird zweimal gedreht.

a) Gib die Wahrscheinlichkeiten $P(R)$, $P(B)$ und $P(G)$ an.

b) Ist dies ein Laplace-Versuch? Begründe.

c) Die Trommel wird zweimal gedreht. Berechne $P(\text{beide Male rot})$.

d) Berechne $P(\text{mindestens einmal gelb})$ mithilfe des Gegenereignisses.

e) Berechne $P(\text{erste Drehung rot, zweite Drehung blau oder gelb})$.

Lösung anzeigen

a) $P(R)=\frac{3}{8}$, $P(B)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$, $P(G)=\frac{3}{8}$

b) Nein — die Felder sind zwar gleich groß, aber die drei Farben haben unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten ($\frac{3}{8}\neq\frac{1}{4}$). Ein Laplace-Versuch läge vor, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich wären.

c) $P(\text{beide rot})=\frac{3}{8}\cdot\frac{3}{8}=\frac{9}{64}$

d) Gegenereignis „kein Gelb": beide Male rot oder blau, $P(\text{nicht G})=\frac{5}{8}$.
$P(\text{kein Gelb})=\frac{5}{8}\cdot\frac{5}{8}=\frac{25}{64}$
$P(\text{mindestens einmal gelb})=1-\frac{25}{64}=\frac{39}{64}$

e) „Blau oder Gelb" beim zweiten Drehen: $P(B\cup G)=\frac{2}{8}+\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$.
$P(\text{erst rot, dann B oder G})=\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{8}=\frac{15}{64}$