Binomialkoeffizient

Fakultät

Die Fakultät einer natürlichen Zahl $n$ ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von $1$ bis $n$.

$$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n \qquad \text{mit } 0! = 1$$

Rechner

! =

Verhältnisse von Fakultäten

Viele kombinatorische Formeln enthalten Quotienten von Fakultäten. Diese kürzen sich stark:

$$\frac{7!}{5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!}}{\cancel{5!}} = 7 \cdot 6 = 42$$

Im Zähler stehen genau $n - m$ absteigende Faktoren ab $n$:

$$\frac{n!}{m!} = n \cdot (n-1) \cdots (m+1) \qquad (n > m)$$

Interaktiv

Zähler $n$ 7
Nenner $m$ 5

Podium-Beispiel

Wartende Sportlerinnen
Podium

Rechnung

Allgemeine Formel

Bei $n$ verschiedenen Objekten, die alle in einer Reihe angeordnet werden:

$$P(n) = n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1$$

Jede neue Position hat eine Möglichkeit weniger, weil eine Person schon platziert ist.

Kanu-Beispiel

Anna, Bina, Cora, Dora und Ella bewerben sich um 3 Sitzplätze im Kanu. Die Reihenfolge spielt eine Rolle — Platz 1 (vorne) ist nicht gleich Platz 3 (hinten).

Wartende Sportlerinnen
Kanu

Rechnung

Allgemeine Formel

$$V(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)$$

„$k$ aus $n$ auswählen, Reihenfolge zählt, kein Zurücklegen."

Team-Beispiel

Aus Anna, Bina, Cora, Dora und Ella werden 3 für ein Team ausgewählt — die Reihenfolge innerhalb des Teams ist egal. Wie viele verschiedene Teams gibt es?

Alle Sportlerinnen — klicke zum Auswählen
Ausgewähltes Team

Rechnung

Allgemeine Formel — Kombinationen ohne Wiederholung

$$\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$$

„$k$ aus $n$ auswählen, Reihenfolge egal, kein Zurücklegen."

Weiteres Beispiel — Komitee aus 25 Schülern

Aus einem Kurs von $25$ Schülerinnen und Schülern sollen $4$ für ein Komitee gewählt werden.

$$\binom{25}{4} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22}{4!} = \frac{303600}{24} = 12650$$

Es gibt $12\,650$ verschiedene Komitees.

Symmetrieregel: $\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$. Man kann entweder $4$ wählen oder $21$ weglassen.

Bernoulli-Ketten — Definition

Ein Bernoulli-Experiment hat genau zwei Ausgänge:

— Treffer (T) mit Wahrscheinlichkeit $p$

— Niete (N) mit Wahrscheinlichkeit $1-p$

Eine Bernoulli-Kette der Länge $n$ besteht aus $n$ unabhängigen, identischen Bernoulli-Experimenten. Die Zufallsgröße $X$ zählt die Anzahl der Treffer.

Symbol Bedeutung
$n$ Anzahl der Versuche (Kettenlänge)
$k$ Gesuchte Anzahl der Treffer
$p$ Wahrscheinlichkeit eines Treffers (T)
$1-p$ Wahrscheinlichkeit einer Niete (N)

Glücksrad — 5 Mal drehen

Das Glücksrad hat vier gleich große Segmente. Das grüne Segment steht für Treffer (T), die grauen für Niete (N).

Das Rad wird 5 Mal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler genau 2 Mal gewinnt?

Beispielkette: T-T-N-N-N

Formalisierung

$n = 5$, $\quad k = 2$, $\quad p = 0{,}25$, $\quad 1-p = 0{,}75$

$X$ = Anzahl der Gewinne. Gesucht: $P(X = 2)$

Berechnung

Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfades mit genau 2 Treffern (z.B. T-T-N-N-N):

$$0{,}25 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}75 = 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^3 = 0{,}0625 \cdot 0{,}4219 \approx 0{,}02637$$

Oder wenn man $p$ und $1-p$ verwendet:

$$p^2 \cdot (1-p)^3$$

Alle Pfade mit genau 2 Treffern sind gleich wahrscheinlich und davon gibt es $\dbinom{n}{k} = \dbinom{5}{2} = 10$, deswegen:

$$P(X=2) = \dbinom{5}{2} \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^3 = 10 \cdot 0{,}02637 \approx 0{,}2637$$
Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Treffer bei 5 Drehungen beträgt etwas mehr als 26 %.

Glücksrad — Baumdiagramm

Das Baumdiagramm besteht aus $2^5 = 32$ Pfaden. Die $\dbinom{5}{2} = 10$ Pfade mit genau 2 Treffern sind hervorgehoben.

Treffer-Knoten
Nieten-Knoten
✓ günstiger Pfad (genau 2 Treffer)

Allgemeine Formel — Binomialverteilung

Für eine Bernoulli-Kette der Länge $n$ mit Trefferwahrscheinlichkeit $p$:

$$P(X=k) = \dbinom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$

Man schreibt $X \sim B(n,p)$ und sagt: $X$ ist binomialverteilt.

Interaktiv

$n$ (Versuche) 5
$k$ (Treffer) 2
$p$ (Wahrsch. des Treffers) 0.3

Weiteres Beispiel — Klassenarbeit

Eine Arbeit hat $10$ Fragen mit je $4$ Antwortmöglichkeiten (nur eine richtig). Ein Schüler rät jede Frage zufällig. Zum Bestehen braucht er mindestens 4 richtige Antworten. Wie stehen die Chancen?

Formalisierung

$n = 10$, $\quad p = 0{,}25$, $\quad 1-p = 0{,}75$, $\quad X$ = Anzahl richtiger Antworten

Gesucht: $P(X \geq 4)$

Mit Gegenereignis — viel einfacher

Das Gegenereignis von „mindestens 4 richtig" ist „höchstens 3 richtig" — nur 4 Terme statt 7:

$$P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3)$$
$k$ $\dbinom{10}{k}$ $P(X=k)$
01$\approx 0{,}0563$
110$\approx 0{,}1877$
245$\approx 0{,}2816$
3120$\approx 0{,}2503$
$$P(X \leq 3) \approx 0{,}0563 + 0{,}1877 + 0{,}2816 + 0{,}2503 = 0{,}7759$$
$$P(X \geq 4) = 1 - 0{,}7759 = 0{,}2241$$
Durch reines Raten besteht der Schüler die Arbeit mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 22,4 %.

Lotto „6 aus 49"

Beim Lotto werden $6$ Zahlen aus $49$ gezogen (ohne Zurücklegen, Reihenfolge egal).

$$\binom{49}{6} = \frac{49!}{6!\cdot43!} = 13\,983\,816 \text{ mögliche Tipps}$$
$$P(\text{Hauptgewinn}) = \frac{1}{13\,983\,816} \approx 7{,}15 \cdot 10^{-8}$$

Genau 3 Richtige

Günstige Fälle: $3$ der $6$ Richtigen getippt und $3$ der $43$ Falschen gewählt:

$$\binom{6}{3} \cdot \binom{43}{3} = 20 \cdot 12\,341 = 246\,820$$
$$P(\text{3 Richtige}) = \frac{246\,820}{13\,983\,816} \approx 0{,}01765 \approx 1{,}76\,\%$$