Binomialverteilung

Ein konkretes Beispiel

Ein fairer Würfel wird 5-mal geworfen. Als Treffer gilt eine 6 — Wahrscheinlichkeit $p = \dfrac{1}{6}$. Wie wahrscheinlich sind genau 2 Treffer?

Es gibt $\dbinom{5}{2} = 10$ Möglichkeiten, genau 2 Treffer auf 5 Würfe zu verteilen. Jede einzelne Anordnung (z. B. TNTNN) hat die Wahrscheinlichkeit $\left(\dfrac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^3$.

$$P(X = 2) = \binom{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776} \approx 0{,}1608$$
Das ist das Grundprinzip der Binomialverteilung: Zähle Treffer bei wiederholten, unabhängigen Versuchen mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit.

Bernoulli-Kette

Voraussetzungen für eine Bernoulli-Kette der Länge $n$:

  • Jeder Versuch hat genau zwei Ausgänge: Treffer (T) oder Niete (N).
  • Die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ ist bei jedem Versuch gleich.
  • Die Versuche sind unabhängig voneinander.

Die Anzahl $X$ der Treffer in $n$ Versuchen heißt dann binomialverteilt.

Merkhilfe: Bei Ziehen mit Zurücklegen bleibt $p$ konstant → Bernoulli-Kette anwendbar. Bei Ziehen ohne Zurücklegen aus kleinen Mengen ist $p$ nicht konstant — Binomialverteilung nur näherungsweise gültig (Faustregel: $n \le 5\,\%$ der Grundgesamtheit).

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße $X$ heißt binomialverteilt, wenn sie bei einer Bernoulli-Kette die Anzahl der Treffer zählt. Man schreibt:

$$X \sim B(n,\, p)$$
$n$: Anzahl der Versuche
$p$: Trefferwahrscheinlichkeit
$X$: Anzahl der Treffer

Formel für genau $k$ Treffer

$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n$$

Bedeutung der drei Faktoren

$\dbinom{n}{k}$ Anzahl der Pfade mit genau $k$ Treffern unter $n$ Versuchen $p^k$ Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Treffer in einer festen Reihenfolge $(1-p)^{n-k}$ Wahrscheinlichkeit für die restlichen $n-k$ Nieten
Beispiel — Freiwurf: $n = 8$, $p = 0{,}70$, gesucht $P(X=5)$:
$P(X=5) = \dbinom{8}{5} \cdot 0{,}70^5 \cdot 0{,}30^3 = 56 \cdot 0{,}16807 \cdot 0{,}027 \approx 0{,}2541$

Ein konkretes Beispiel

Beim Freiwurf-Szenario ($n = 8$, $p = 0{,}70$): Wie wahrscheinlich ist es, höchstens 2 Treffer zu erzielen?

„Höchstens 2" bedeutet: 0 Treffer oder 1 Treffer oder 2 Treffer. Da sich diese Ereignisse gegenseitig ausschließen, dürfen wir addieren. Die Formel $P(X=k)$ wird dreimal berechnet und summiert:

$$P(X \le 2) \;=\; P(X = 0) \;+\; P(X = 1) \;+\; P(X = 2)$$

Jedes der drei Glieder einzeln:

$$P(X=0) = \binom{8}{0} \cdot 0{,}70^0 \cdot 0{,}30^8 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}000066 \approx 0{,}0001$$
$$P(X=1) = \binom{8}{1} \cdot 0{,}70^1 \cdot 0{,}30^7 = 8 \cdot 0{,}70 \cdot 0{,}000219 \approx 0{,}0012$$
$$P(X=2) = \binom{8}{2} \cdot 0{,}70^2 \cdot 0{,}30^6 = 28 \cdot 0{,}49 \cdot 0{,}000729 \approx 0{,}0100$$
$$P(X \le 2) \approx 0{,}0001 + 0{,}0012 + 0{,}0100 = 0{,}0113$$
Es ist also sehr unwahrscheinlich (ca. 1 %), dass ein Spieler mit 70 % Trefferquote von 8 Würfen höchstens 2 trifft.

Kumulierte Wahrscheinlichkeit

Allgemein gilt für $X \sim B(n, p)$ — ausgeschrieben:

$$P(X \le k) = P(X=0) + P(X=1) + \cdots + P(X=k-1) + P(X=k)$$

Das Zeichen $\sum$ (Sigma) ist die Kurzschreibweise für genau diese Addition — es summiert alle Glieder von $i = 0$ bis $i = k$:

$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}$$
Im Abitur (Sachsen) steht die Tabelle der kumulierten Binomialverteilung zur Verfügung. Dort liest man $P(X \le k)$ direkt ab — das erspart die Berechnung aller Summanden.

Gegenereignis nutzen

Manche Formulierungen lassen sich über das Gegenereignis erheblich einfacher berechnen — statt viele Glieder zu summieren, rechnet man nur einen Term.

Grundprinzip: $P(A) = 1 - P(\overline{A})$

$$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n$$

Statt $n$ Glieder zu addieren: einfach das eine Gegenereignis „keinmal" berechnen.

Weiteres Beispiel

$X \sim B(10;\, 0{,}3)$, gesucht $P(X \ge 3)$:

$$P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) = 1 - \bigl[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\bigr] \approx 1 - 0{,}3828 = 0{,}6172$$

Sprachformen sicher übersetzen

Bei Aufgaben ist oft nicht die Formel schwierig, sondern die Sprache.

Sprache im Text Mathematisch Anzahl Treffer Wie rechnen?
genau $k$ $P(X=k)$ exakt $k$ GTR: binomPdf(n,p,k) oder Formel
höchstens $k$ $P(X \le k)$ $0, 1, \ldots, k$ GTR: binomCdf(n,p,k) oder Tabelle
mindestens $k$ $P(X \ge k)$ $k, k{+}1, \ldots, n$ $1 - P(X \le k-1)$
weniger als $k$ $P(X < k)$ $0, 1, \ldots, k{-}1$ $P(X \le k-1)$
mehr als $k$ $P(X > k)$ $k{+}1, k{+}2, \ldots, n$ $1 - P(X \le k)$
von $a$ bis $b$ $P(a \le X \le b)$ $a, a{+}1, \ldots, b$ $P(X \le b) - P(X \le a-1)$
Strategie: Erst klären — Was ist der „Treffer"? Wie groß sind $n$ und $p$? Welches Ungleichungszeichen steckt im Text?

Interaktives Diagramm

Verändere $n$, $p$ und die gesuchte Bedingung. Die passenden Balken werden lila markiert.

Sprachform unten wählen.
Verteilung
B(20; 0,35)
Markierte Balken
13
Gesuchte Wahrscheinlichkeit

Diagramm lesen

Die Höhe eines Balkens zeigt $P(X=k)$. Die lila Balken gehören zur ausgewählten Bedingung — ihre Gesamtfläche entspricht der gesuchten Wahrscheinlichkeit.

Wenn viele Balken markiert sind, ist das eine Summe aus vielen Einzelwahrscheinlichkeiten. Das ist der Unterschied zwischen „genau" und „mindestens/höchstens".

Was erwartet man?

Bei 10 Freiwürfen mit Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0{,}60$: In manchen Runden trifft man 5-mal, in anderen 7-mal. Der Erwartungswert $\mu$ gibt an, was man im Durchschnitt erwartet.

$$\mu = E(X) = 10 \cdot 0{,}60 = 6$$
Das bedeutet nicht, dass man immer genau 6 trifft — sondern dass der langfristige Mittelwert bei 6 liegt.

Formel und Visualisierung

Für $X \sim B(n,\,p)$ gilt:

$$\boxed{\mu = E(X) = n \cdot p}$$
Verteilung
B(15; 0,40)
Berechnung

— — Die orange gestrichelte Linie markiert $\mu = n \cdot p$. Beobachte: Sie liegt immer beim Schwerpunkt der Verteilung.

Parameter rückwärts bestimmen

Manchmal ist $\mu$ bekannt — gesucht ist $n$ oder $p$.

$n$ gesucht
$n = \dfrac{\mu}{p}$
$\mu=12,\;p=0{,}5 \;\Rightarrow\; n=24$
$p$ gesucht
$p = \dfrac{\mu}{n}$
$\mu=15,\;n=50 \;\Rightarrow\; p=0{,}30$

Maximum einer Binomialverteilung

Die höchste Säule liegt meistens sehr nah am Erwartungswert $\mu$, aber nicht immer exakt auf diesem Punkt.

Warum das so ist

  • Erwartungswert $\mu = n \cdot p$ ist das theoretische Mittel — ergibt häufig eine Dezimalzahl (z. B. 7,4).
  • Anzahl der Treffer $k$ sind nur ganze Zahlen ($k = 0, 1, 2, \ldots, n$). Eine Säule bei 7,4 existiert nicht.
  • Die höchste Säule zeigt den wahrscheinlichsten ganzzahligen Wert, der gerundet nah an $\mu$ liegt.

Die mathematische Regel

Der Wert $k$ der höchsten Säule liegt immer in diesem Intervall:

$$(n+1)\cdot p - 1 \;\le\; k \;\le\; (n+1)\cdot p$$
Einzelfall: Sind die Grenzen Dezimalzahlen → genau eine höchste Säule.
Doppelfall: Sind die Grenzen exakt ganze Zahlen → zwei gleich hohe Säulen.

Zwei Beispiele

Beispiel 1 — $\mu$ keine ganze Zahl
$n=10$, $p=0{,}35$
$\mu = 10 \cdot 0{,}35 = 3{,}5$
$(10{+}1)\cdot0{,}35 = 3{,}85$
Intervall: $2{,}85 \le k \le 3{,}85$
Einzige ganze Zahl: $\boldsymbol{k = 3}$
→ höchste Säule bei 3, obwohl $\mu = 3{,}5$
Beispiel 2 — Doppelmaximum
$n=11$, $p=0{,}25$
$\mu = 11 \cdot 0{,}25 = 2{,}75$
$(11{+}1)\cdot0{,}25 = 3$
Intervall: $2 \le k \le 3$
Zwei ganze Zahlen: $\boldsymbol{k = 2}$ und $\boldsymbol{k = 3}$
→ zwei gleich hohe Säulen

Was bedeutet Streuung?

Zwei Spieler werfen je 20 Freiwürfe: Spieler A trifft mit $p = 0{,}50$, Spieler B mit $p = 0{,}90$. Beide haben gleich viele Versuche — aber ihre Verteilungen sehen sehr unterschiedlich aus.

Spieler A: $\mu = 10$, die Ergebnisse streuen weit um 10. Spieler B: $\mu = 18$, die Ergebnisse liegen eng beieinander nahe 18.

Die Standardabweichung $\sigma$ misst, wie stark die Treffer-Anzahl im Durchschnitt vom Erwartungswert $\mu$ abweicht. Ein kleines $\sigma$ bedeutet: die Ergebnisse liegen eng um $\mu$.

Formel und Visualisierung

Für $X \sim B(n,\,p)$ mit $q = 1-p$:

$$\sigma^2 = \mathrm{Var}(X) = n \cdot p \cdot q$$
$$\boxed{\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}}$$
Erwartungswert
Standardabweichung
Ein-Sigma-Umgebung
Verteilung
B(20; 0,50)
— — orange gestrichelt: Erwartungswert $\mu$  |  blaues Band: Ein-Sigma-Umgebung $[\mu-\sigma,\,\mu+\sigma]$

Parameter rückwärts bestimmen

Wenn $\mu$ und $\sigma$ bekannt sind, lassen sich $n$ und $p$ bestimmen. Man nutzt beide Gleichungen:

$$\mu = n \cdot p \qquad \text{und} \qquad \sigma^2 = n \cdot p \cdot q$$

Division $\sigma^2 \div \mu$ liefert $q$, daraus folgt $p$, dann $n$:

$$q = \frac{\sigma^2}{\mu}, \qquad p = 1-q, \qquad n = \frac{\mu}{p}$$

Beispiel

$\mu = 6$, $\sigma = \sqrt{4{,}2} \approx 2{,}05$, also $\sigma^2 = 4{,}2$:

$$q = \dfrac{\sigma^2}{\mu} = \dfrac{4{,}2}{6} = 0{,}7 \;\Rightarrow\; p = 0{,}3 \;\Rightarrow\; n = \dfrac{\mu}{p} = \dfrac{6}{0{,}3} = 20$$
Also $X \sim B(20;\; 0{,}3)$.

Aufgabe 1 · Freiwürfe

Eine Basketballspielerin trifft jeden Freiwurf mit Wahrscheinlichkeit $p = 0{,}75$. In einem Spiel hat sie 12 Freiwürfe. Die Zufallsgröße $X$ zählt die Treffer.

a) Begründe, warum $X \sim B(12;\, 0{,}75)$ gilt.

Jeder Freiwurf ist unabhängig von den anderen, hat genau zwei Ausgänge (Treffer / Niete) und die Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0{,}75$ ist bei jedem Wurf gleich → Bernoulli-Kette der Länge $n = 12$.

b) Berechne $P(X = 9)$.

$P(X=9) = \binom{12}{9}\cdot 0{,}75^9 \cdot 0{,}25^3 = 220 \cdot 0{,}07508 \cdot 0{,}015625 \approx 0{,}2581$

c) Berechne $P(X \le 7)$.

$P(X \le 7) = \sum_{k=0}^{7}\binom{12}{k}(0{,}75)^k(0{,}25)^{12-k} \approx 0{,}1576$

d) Berechne $P(X \ge 10)$ mithilfe des Gegenereignisses.

$P(X \ge 10) = 1 - P(X \le 9) \approx 1 - 0{,}6488 = 0{,}3512$

e) Berechne $\mu$ und $\sigma$. Interpretiere $\mu$ im Sachkontext.

$\mu = 12 \cdot 0{,}75 = 9$ |  $\sigma = \sqrt{12 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}25} = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5$

Interpretation: Im Durchschnitt trifft die Spielerin von 12 Freiwürfen genau 9. Die Ergebnisse streuen typischerweise um ±1,5 um diesen Wert.

Aufgabe 2 · Qualitätskontrolle

In einer Fabrik sind 15 % aller Schrauben fehlerhaft. Eine Stichprobe von 20 Schrauben wird geprüft. $X$ zählt die fehlerhaften Schrauben.

a) Rechtfertige, warum $X \sim B(20;\, 0{,}15)$ gilt.

Jede Schraube ist unabhängig entweder fehlerhaft ($p=0{,}15$) oder einwandfrei. Bei großer Grundgesamtheit bleibt $p$ näherungsweise konstant → Bernoulli-Kette der Länge $n=20$.

b) Berechne $P(X = 3)$.

$P(X=3) = \binom{20}{3}\cdot 0{,}15^3 \cdot 0{,}85^{17} = 1140 \cdot 0{,}003375 \cdot 0{,}0631 \approx 0{,}2428$

c) Berechne $P(X \le 2)$.

$P(X \le 2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$
$\approx 0{,}0388 + 0{,}1368 + 0{,}2293 = 0{,}4049$

d) Wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens 5 Schrauben fehlerhaft sind?

$P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4) \approx 1 - 0{,}8298 = 0{,}1702$

e) Berechne $\mu$ und $\sigma$. Interpretiere beide Werte im Sachkontext.

$\mu = 20 \cdot 0{,}15 = 3$ |  $\sigma = \sqrt{20 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}85} = \sqrt{2{,}55} \approx 1{,}60$

μ: Im Durchschnitt sind in einer 20er-Stichprobe 3 Schrauben fehlerhaft.
σ: Die Anzahl fehlerhafter Schrauben schwankt typischerweise um etwa ±1,6 um diesen Wert.

Aufgabe 3 · Parameter bestimmen

Eine binomialverteilte Zufallsgröße $X \sim B(n;\, p)$ hat Erwartungswert $\mu = 8$ und Varianz $\sigma^2 = 4{,}8$.

a) Bestimme $q$, $p$ und $n$.

$q = \dfrac{\sigma^2}{\mu} = \dfrac{4{,}8}{8} = 0{,}6 \;\Rightarrow\; p = 0{,}4 \;\Rightarrow\; n = \dfrac{8}{0{,}4} = 20$
Also $X \sim B(20;\; 0{,}4)$.

b) Berechne $P(X = 8)$ für die gefundene Verteilung.

$P(X=8) = \binom{20}{8}\cdot 0{,}4^8 \cdot 0{,}6^{12} = 125970 \cdot 0{,}000655 \cdot 0{,}002177 \approx 0{,}1797$

c) Berechne $P(X \ge 10)$.

$P(X \ge 10) = 1 - P(X \le 9) \approx 1 - 0{,}7553 = 0{,}2447$

d) Bestimme das kleinste $k$ mit $P(X \ge k) < 5\,\%$.

Gesucht: kleinstes $k$ mit $P(X \le k-1) > 0{,}95$.
Tabelle: $F(13) \approx 0{,}9500$, $F(14) \approx 0{,}9786 > 0{,}95$.
$\Rightarrow k-1 = 13$, also $\boldsymbol{k = 14}$.

e) Berechne $\sigma$ und gib die Einsigma-Umgebung $[\mu-\sigma,\,\mu+\sigma]$ an.

$\sigma = \sqrt{4{,}8} \approx 2{,}19$
Einsigma-Umgebung: $[8 - 2{,}19;\; 8 + 2{,}19] = [5{,}81;\; 10{,}19]$