Binomialverteilung I · Wahrscheinlichkeiten

Ein konkretes Beispiel

Ein fairer Würfel wird 5-mal geworfen. Als Treffer gilt eine 6 — Wahrscheinlichkeit $p = \dfrac{1}{6}$. Wie wahrscheinlich sind genau 2 Treffer?

Es gibt $\dbinom{5}{2} = 10$ Möglichkeiten, genau 2 Treffer auf 5 Würfe zu verteilen. Jede einzelne Anordnung (z. B. TNTNN) hat die Wahrscheinlichkeit $\left(\dfrac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^3$.

$$P(X = 2) = \binom{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776} \approx 0{,}1608$$
Das ist das Grundprinzip der Binomialverteilung: Zähle Treffer bei wiederholten, unabhängigen Versuchen mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit.

Bernoulli-Kette

Voraussetzungen für eine Bernoulli-Kette der Länge $n$:

  • Jeder Versuch hat genau zwei Ausgänge: Treffer (T) oder Niete (N).
  • Die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ ist bei jedem Versuch gleich.
  • Die Versuche sind unabhängig voneinander.

Die Anzahl $X$ der Treffer in $n$ Versuchen heißt dann binomialverteilt.

Merkhilfe: Bei Ziehen mit Zurücklegen bleibt $p$ konstant → Bernoulli-Kette anwendbar. Bei Ziehen ohne Zurücklegen aus kleinen Mengen ist $p$ nicht konstant — Binomialverteilung nur näherungsweise gültig (Faustregel: $n \le 5\,\%$ der Grundgesamtheit).

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße $X$ heißt binomialverteilt, wenn sie bei einer Bernoulli-Kette die Anzahl der Treffer zählt. Man schreibt:

$$X \sim B(n,\, p)$$
$n$: Anzahl der Versuche
$p$: Trefferwahrscheinlichkeit
$X$: Anzahl der Treffer

Formel für genau $k$ Treffer

$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n$$

Bedeutung der drei Faktoren

$\dbinom{n}{k}$ Anzahl der Pfade mit genau $k$ Treffern unter $n$ Versuchen $p^k$ Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Treffer in einer festen Reihenfolge $(1-p)^{n-k}$ Wahrscheinlichkeit für die restlichen $n-k$ Nieten
Beispiel — Freiwurf: $n = 8$, $p = 0{,}70$, gesucht $P(X=5)$:
$P(X=5) = \dbinom{8}{5} \cdot 0{,}70^5 \cdot 0{,}30^3 = 56 \cdot 0{,}16807 \cdot 0{,}027 \approx 0{,}2541$

Ein konkretes Beispiel

Beim Freiwurf-Szenario ($n = 8$, $p = 0{,}70$): Wie wahrscheinlich ist es, höchstens 2 Treffer zu erzielen?

„Höchstens 2" bedeutet: 0 Treffer oder 1 Treffer oder 2 Treffer. Da sich diese Ereignisse gegenseitig ausschließen, dürfen wir addieren. Die Formel $P(X=k)$ wird dreimal berechnet und summiert:

$$P(X \le 2) \;=\; P(X = 0) \;+\; P(X = 1) \;+\; P(X = 2)$$

Jedes der drei Glieder einzeln:

$$P(X=0) = \binom{8}{0} \cdot 0{,}70^0 \cdot 0{,}30^8 = 0{,}30^8 = 0{,}00006561 \approx 0{,}0001$$
$$P(X=1) = \binom{8}{1} \cdot 0{,}70^1 \cdot 0{,}30^7 = 8 \cdot 0{,}70 \cdot 0{,}0002187 \approx 0{,}0012$$
$$P(X=2) = \binom{8}{2} \cdot 0{,}70^2 \cdot 0{,}30^6 = 28 \cdot 0{,}49 \cdot 0{,}000729 = 0{,}01000188 \approx 0{,}0100$$
$$P(X \le 2) \approx 0{,}0001 + 0{,}0012 + 0{,}0100 = 0{,}0113$$
Es ist also sehr unwahrscheinlich (ca. 1 %), dass ein Spieler mit 70 % Trefferquote von 8 Würfen höchstens 2 trifft.

Kumulierte Wahrscheinlichkeit

Allgemein gilt für $X \sim B(n, p)$ — ausgeschrieben:

$$P(X \le k) = P(X=0) + P(X=1) + \cdots + P(X=k-1) + P(X=k)$$

Das Zeichen $\sum$ (Sigma) ist die Kurzschreibweise für genau diese Addition — es summiert alle Glieder von $i = 0$ bis $i = k$:

$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}$$
Im Abitur (Sachsen) steht die Tabelle der kumulierten Binomialverteilung zur Verfügung. Dort liest man $P(X \le k)$ direkt ab — das erspart die Berechnung aller Summanden.

Gegenereignis nutzen

Manche Formulierungen lassen sich über das Gegenereignis erheblich einfacher berechnen — statt viele Glieder zu summieren, rechnet man nur einen Term.

Grundprinzip: $P(A) = 1 - P(\overline{A})$

$$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n$$

Statt $n$ Glieder zu addieren: einfach das eine Gegenereignis „keinmal" berechnen.

Weiteres Beispiel

$X \sim B(10;\, 0{,}3)$, gesucht $P(X \ge 3)$:

$$P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) = 1 - \bigl[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\bigr] \approx 1 - 0{,}3828 = 0{,}6172$$

Sprachformen sicher übersetzen

Bei Aufgaben ist oft nicht die Formel schwierig, sondern die Sprache.

Sprache im Text Mathematisch Anzahl Treffer Wie rechnen?
genau $k$ $P(X=k)$ exakt $k$ GTR: binomPdf(n,p,k) oder Formel
höchstens $k$ $P(X \le k)$ $0, 1, \ldots, k$ GTR: binomCdf(n,p,k) oder Tabelle
mindestens $k$ $P(X \ge k)$ $k, k{+}1, \ldots, n$ $1 - P(X \le k-1)$
weniger als $k$ $P(X < k)$ $0, 1, \ldots, k{-}1$ $P(X \le k-1)$
mehr als $k$ $P(X > k)$ $k{+}1, k{+}2, \ldots, n$ $1 - P(X \le k)$
von $a$ bis $b$ $P(a \le X \le b)$ $a, a{+}1, \ldots, b$ $P(X \le b) - P(X \le a-1)$
Strategie: Erst klären — Was ist der „Treffer"? Wie groß sind $n$ und $p$? Welches Ungleichungszeichen steckt im Text?

Kumulierte Verteilung rückwärts lesen

Manchmal ist in der Abiturtabelle die kumulierte Wahrscheinlichkeit $F(k) = P(X \le k)$ gegeben — gesucht ist aber ein einzelner Wert $P(X = k)$. Die Umkehrung ist einfach:

$$P(X = k) = P(X \le k) - P(X \le k-1) = F(k) - F(k-1)$$

Für $k = 0$ gilt dabei $P(X \le -1) = 0$, also $P(X=0) = F(0)$.

Beispiel — Tabelle auslesen

Gegeben: $X \sim B(10;\, 0{,}3)$, Ausschnitt aus der Tabelle:

$k$$F(k) = P(X \le k)$$P(X = k) = F(k) - F(k-1)$
$0$$0{,}0282$$0{,}0282 - 0 = 0{,}0282$
$1$$0{,}1493$$0{,}1493 - 0{,}0282 = 0{,}1211$
$2$$0{,}3828$$0{,}3828 - 0{,}1493 = 0{,}2335$
$3$$0{,}6496$$0{,}6496 - 0{,}3828 = 0{,}2668$
$4$$0{,}8497$$0{,}8497 - 0{,}6496 = 0{,}2001$
Der größte Wert in der rechten Spalte ($0{,}2668$ bei $k=3$) ist der Modus — die wahrscheinlichste Trefferzahl. Das ist nah am Erwartungswert $\mu = 10 \cdot 0{,}3 = 3$.

Interaktives Diagramm

Verändere $n$, $p$ und die gesuchte Bedingung. Die passenden Balken werden lila markiert.

Sprachform unten wählen.
Verteilung
B(20; 0,35)
Markierte Balken
13
Gesuchte Wahrscheinlichkeit

Diagramm lesen

Die Höhe eines Balkens zeigt $P(X=k)$. Die lila Balken gehören zur ausgewählten Bedingung — ihre Gesamtfläche entspricht der gesuchten Wahrscheinlichkeit.

Wenn viele Balken markiert sind, ist das eine Summe aus vielen Einzelwahrscheinlichkeiten. Das ist der Unterschied zwischen „genau" und „mindestens/höchstens".

Formel → Sachtext

Im Abitur muss man häufig einen gegebenen Binomialterm im Sachkontext interpretieren — also rückwärts lesen: von der Formel zum Satz.

Vorgehen: (1) $n$ ablesen — Anzahl der Versuche.
(2) $p$ ablesen — Trefferwahrscheinlichkeit.
(3) Exponent bei $p^k$ ablesen — Anzahl der Treffer.
(4) Schlüsselwort aus Binomialkoeffizient oder Summe erkennen (genau / mindestens / …).

Beispiele

Formel
$$\binom{10}{3} \cdot 0{,}2^3 \cdot 0{,}8^7$$
Sachtext

Bei 10 unabhängigen Versuchen mit Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0{,}2$ treten genau 3 Treffer auf.

Formel
$$1 - 0{,}8^{10}$$
Sachtext

Bei 10 unabhängigen Versuchen mit Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0{,}2$ tritt mindestens einmal ein Treffer auf. ($1 - P(X=0) = 1 - 0{,}8^{10}$)

Formel
$$\binom{20}{3} \cdot 0{,}15^3 \cdot 0{,}85^{17}$$
Sachtext (Qualitätskontrolle)

Von 20 geprüften Schrauben (Fehlerrate $15\,\%$) sind genau 3 fehlerhaft.

Tipp für das Abitur: Enthält der Term $\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ keinen Binomialkoeffizienten, sondern einen Kettenterm wie $p^a \cdot (1-p)^b$, ist es ein Pfad — eine feste Reihenfolge von Treffern und Nieten.

Aufgabe 1 · Freiwürfe

Eine Basketballspielerin trifft jeden Freiwurf mit Wahrscheinlichkeit $p = 0{,}75$. In einem Spiel hat sie 12 Freiwürfe. Die Zufallsgröße $X$ zählt die Treffer.

a) Begründe, warum $X \sim B(12;\, 0{,}75)$ gilt.

Jeder Freiwurf ist unabhängig von den anderen, hat genau zwei Ausgänge (Treffer / Niete) und die Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0{,}75$ ist bei jedem Wurf gleich → Bernoulli-Kette der Länge $n = 12$.

b) Berechne $P(X = 9)$.

$P(X=9) = \binom{12}{9}\cdot 0{,}75^9 \cdot 0{,}25^3 = 220 \cdot 0{,}07508 \cdot 0{,}015625 \approx 0{,}2581$

c) Berechne $P(X \le 7)$.

$P(X \le 7) = \sum_{k=0}^{7}\binom{12}{k}(0{,}75)^k(0{,}25)^{12-k} \approx 0{,}1576$

d) Berechne $P(X \ge 10)$ mithilfe des Gegenereignisses.

$P(X \ge 10) = 1 - P(X \le 9) \approx 1 - 0{,}6093 = 0{,}3907$

Aufgabe 2 · Qualitätskontrolle

In einer Fabrik sind 15 % aller Schrauben fehlerhaft. Eine Stichprobe von 20 Schrauben wird geprüft. $X$ zählt die fehlerhaften Schrauben.

a) Rechtfertige, warum $X \sim B(20;\, 0{,}15)$ gilt.

Jede Schraube ist unabhängig entweder fehlerhaft ($p=0{,}15$) oder einwandfrei. Bei großer Grundgesamtheit bleibt $p$ näherungsweise konstant → Bernoulli-Kette der Länge $n=20$.

b) Berechne $P(X = 3)$.

$P(X=3) = \binom{20}{3}\cdot 0{,}15^3 \cdot 0{,}85^{17} = 1140 \cdot 0{,}003375 \cdot 0{,}0631 \approx 0{,}2428$

c) Berechne $P(X \le 2)$.

$P(X \le 2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$
$\approx 0{,}0388 + 0{,}1368 + 0{,}2293 = 0{,}4049$

d) Wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens 5 Schrauben fehlerhaft sind?

$P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4) \approx 1 - 0{,}8298 = 0{,}1702$

Aufgabe 4 · Kleinstes $n$ bestimmen

Ein Impfstoff wirkt bei jeder Impfung mit Wahrscheinlichkeit $p = 0{,}85$. Wie viele Personen müssen mindestens geimpft werden, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 10 Impfungen wirken, größer als $99\,\%$ ist?

Gesucht: kleinstes $n$ mit $P(X \ge 10) \ge 0{,}99$, wobei $X \sim B(n;\, 0{,}85)$.

Strategie:
$P(X \ge 10) = 1 - P(X \le 9) \ge 0{,}99$
$\Leftrightarrow P(X \le 9) \le 0{,}01$

Schrittweise suchen (GTR oder Tabelle):
$n = 10$: $P(X \le 9) = P(X \le n-1) \approx 0{,}8031 \not\le 0{,}01$
$n = 12$: $P(X \le 9) \approx 0{,}3772 \not\le 0{,}01$
$n = 14$: $P(X \le 9) \approx 0{,}0692 \not\le 0{,}01$
$n = 15$: $P(X \le 9) \approx 0{,}0168 \not\le 0{,}01$
$n = 16$: $P(X \le 9) \approx 0{,}0036 \le 0{,}01$ ✓

Prüfung: $n = 15$ reicht nicht ($0{,}0168 > 0{,}01$), $n = 16$ reicht.

$\Rightarrow$ Es müssen mindestens $\boldsymbol{n = 16}$ Personen geimpft werden.

Mit und ohne Zurücklegen

Bei manchen Zufallsexperimenten bleibt $p$ bei jedem Zug konstant — dann ist Bernoulli anwendbar. Bei anderen verändert sich $p$ von Zug zu Zug. Der Vergleich beider Fälle ist eine häufige Prüfungsaufgabe.

Musteraufgabe · Pokémon-Karten

Ein Stapel enthält 20 Pokémon-Karten, davon sind 5 selten (Rare). Es werden zufällig 4 Karten gezogen. $X$ zählt die seltenen Karten. Berechne jeweils $P(X=2)$ für beide Fälle und vergleiche die Ergebnisse: (1) mit Zurücklegen, (2) ohne Zurücklegen.

Herangehensweise: Zuerst fragen — bleibt $p$ bei jedem Zug gleich? Mit Zurücklegen: ja → Bernoulli anwendbar. Ohne Zurücklegen: nein → Bernoulli nur näherungsweise (Faustregel: $n \le 5\%$ der Grundgesamtheit).
Fall 1 — Mit Zurücklegen

Nach jedem Zug wird die Karte zurückgelegt → $p = \frac{5}{20} = 0{,}25$ bleibt konstant.
$X \sim B(4;\, 0{,}25)$

$$P(X=2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^2 = 6 \cdot 0{,}0625 \cdot 0{,}5625 \approx 0{,}2109$$
Fall 2 — Ohne Zurücklegen · Pfad-Methode

$p$ verändert sich nach jedem Zug — kein exaktes Bernoulli-Modell.
Wir berechnen stattdessen direkt über Pfade.

Ein konkreter Pfad mit genau 2 seltenen Karten (s) und 2 normalen (n), z. B. s, s, n, n:

$$\frac{5}{20} \cdot \frac{4}{19} \cdot \frac{15}{18} \cdot \frac{14}{17} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 15 \cdot 14}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17} = \frac{4200}{116280} \approx 0{,}03612$$

Wie viele solche Anordnungen gibt es? $\binom{4}{2} = 6$ — alle gleich wahrscheinlich.

$$P(X=2) = 6 \cdot \frac{4200}{116280} \approx 6 \cdot 0{,}03612 \approx 0{,}2167$$
Fall 2 — Ohne Zurücklegen · Hypergeometrische Methode

Wir fragen: Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, 4 Karten aus 20 zu ziehen? Und wie viele davon enthalten genau 2 seltene?

Günstige Fälle: 2 seltene aus 5 wählen und 2 normale aus 15 wählen:
$\dbinom{5}{2} \cdot \dbinom{15}{2} = 10 \cdot 105 = 1050$

Alle Fälle: 4 Karten aus 20 wählen:
$\dbinom{20}{4} = 4845$
$$P(X=2) = \frac{\dbinom{5}{2} \cdot \dbinom{15}{2}}{\dbinom{20}{4}} = \frac{10 \cdot 105}{4845} = \frac{1050}{4845} \approx 0{,}2167$$
Beide Methoden liefern dasselbe Ergebnis. Zum Vergleich: Bernoulli-Näherung ergab 0,2109 — der Unterschied zeigt, dass Bernoulli bei kleiner Grundgesamtheit nur näherungsweise gilt.
Deine Aufgabe · Spielkarten

Aus einem Skatspiel mit 32 Karten (davon 12 Bildkarten) werden zufällig 5 Karten gezogen. $X$ zählt die Bildkarten. Berechne jeweils $P(X=2)$ für beide Fälle und vergleiche die Ergebnisse: (1) mit Zurücklegen, (2) ohne Zurücklegen.

Hinweis: Überprüfe bei Fall 2 die Faustregel. Vergleiche die Ergebnisse.

Fall 1 — Mit Zurücklegen:
$p = \frac{12}{32} = 0{,}375$, konstant. $X \sim B(5;\, 0{,}375)$
$P(X=2) = \binom{5}{2} \cdot 0{,}375^2 \cdot 0{,}625^3 = 10 \cdot 0{,}1406 \cdot 0{,}2441 \approx 0{,}3433$

Fall 2 — Ohne Zurücklegen · Pfad-Methode:
Ein Pfad z. B. B, B, n, n, n (B = Bildkarte, n = normal):
$\dfrac{12}{32} \cdot \dfrac{11}{31} \cdot \dfrac{20}{30} \cdot \dfrac{19}{29} \cdot \dfrac{18}{28} = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18}{32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28} \approx 0{,}03735$
Anzahl Anordnungen: $\binom{5}{2} = 10$
$P(X=2) = 10 \cdot 0{,}03735 \approx 0{,}3735$

Fall 2 — Ohne Zurücklegen · Hypergeometrisch:
Günstige Fälle: $\dbinom{12}{2} \cdot \dbinom{20}{3} = 66 \cdot 1140 = 75240$
Alle Fälle: $\dbinom{32}{5} = 201376$
$P(X=2) = \dfrac{75240}{201376} \approx 0{,}3736$

Bernoulli-Näherung (0,3433) weicht merklich ab — Grundgesamtheit zu klein.