Binomialverteilung

Ein konkretes Beispiel

Ein fairer Würfel wird 5-mal geworfen. Als Treffer gilt eine 6 — Wahrscheinlichkeit $p = \dfrac{1}{6}$. Wie wahrscheinlich sind genau 2 Treffer?

Es gibt $\dbinom{5}{2} = 10$ Möglichkeiten, genau 2 Treffer auf 5 Würfe zu verteilen. Jede einzelne Anordnung (z. B. TNTNN) hat die Wahrscheinlichkeit $\left(\dfrac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^3$.

$$P(X = 2) = \binom{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776} \approx 0{,}1608$$

Das ist das Grundprinzip der Binomialverteilung: Zähle Treffer bei wiederholten, unabhängigen Versuchen mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit.

Bernoulli-Kette

Voraussetzungen für eine Bernoulli-Kette der Länge $n$:

Jeder Versuch hat genau zwei Ausgänge: Treffer (T) oder Niete (N).
Die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ ist bei jedem Versuch gleich.
Die Versuche sind unabhängig voneinander.

Die Anzahl $X$ der Treffer in $n$ Versuchen heißt dann binomialverteilt.

Merkhilfe: Bei Ziehen mit Zurücklegen bleibt $p$ konstant → Bernoulli-Kette anwendbar. Bei Ziehen ohne Zurücklegen aus kleinen Mengen ist $p$ nicht konstant — Binomialverteilung nur näherungsweise gültig (Faustregel: $n \le 5\,\%$ der Grundgesamtheit).

Binomialverteilung

Eine Zufallsgröße $X$ heißt binomialverteilt, wenn sie bei einer Bernoulli-Kette die Anzahl der Treffer zählt. Man schreibt:

$$X \sim B(n,\, p)$$

$n$: Anzahl der Versuche

$p$: Trefferwahrscheinlichkeit

$X$: Anzahl der Treffer

Formel für genau $k$ Treffer

$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n$$

Bedeutung der drei Faktoren

$\dbinom{n}{k}$ Anzahl der Pfade mit genau $k$ Treffern unter $n$ Versuchen $p^k$ Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Treffer in einer festen Reihenfolge $(1-p)^{n-k}$ Wahrscheinlichkeit für die restlichen $n-k$ Nieten

Beispiel — Freiwurf: $n = 8$, $p = 0{,}70$, gesucht $P(X=5)$:
$P(X=5) = \dbinom{8}{5} \cdot 0{,}70^5 \cdot 0{,}30^3 = 56 \cdot 0{,}16807 \cdot 0{,}027 \approx 0{,}2541$

Ein konkretes Beispiel

Beim Freiwurf-Szenario ($n = 8$, $p = 0{,}70$): Wie wahrscheinlich ist es, höchstens 2 Treffer zu erzielen?

„Höchstens 2" bedeutet: 0 Treffer oder 1 Treffer oder 2 Treffer. Da sich diese Ereignisse gegenseitig ausschließen, dürfen wir addieren. Die Formel $P(X=k)$ wird dreimal berechnet und summiert:

$$P(X \le 2) \;=\; P(X = 0) \;+\; P(X = 1) \;+\; P(X = 2)$$

Jedes der drei Glieder einzeln:

$$P(X=0) = \binom{8}{0} \cdot 0{,}70^0 \cdot 0{,}30^8 = 0{,}30^8 = 0{,}00006561 \approx 0{,}0001$$

$$P(X=1) = \binom{8}{1} \cdot 0{,}70^1 \cdot 0{,}30^7 = 8 \cdot 0{,}70 \cdot 0{,}0002187 \approx 0{,}0012$$

$$P(X=2) = \binom{8}{2} \cdot 0{,}70^2 \cdot 0{,}30^6 = 28 \cdot 0{,}49 \cdot 0{,}000729 = 0{,}01000188 \approx 0{,}0100$$

$$P(X \le 2) \approx 0{,}0001 + 0{,}0012 + 0{,}0100 = 0{,}0113$$

Es ist also sehr unwahrscheinlich (ca. 1 %), dass ein Spieler mit 70 % Trefferquote von 8 Würfen höchstens 2 trifft.

Kumulierte Wahrscheinlichkeit

Allgemein gilt für $X \sim B(n, p)$ — ausgeschrieben:

$$P(X \le k) = P(X=0) + P(X=1) + \cdots + P(X=k-1) + P(X=k)$$

Das Zeichen $\sum$ (Sigma) ist die Kurzschreibweise für genau diese Addition — es summiert alle Glieder von $i = 0$ bis $i = k$:

$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}$$

Im Abitur (Sachsen) steht die Tabelle der kumulierten Binomialverteilung zur Verfügung. Dort liest man $P(X \le k)$ direkt ab — das erspart die Berechnung aller Summanden.

Gegenereignis nutzen

Manche Formulierungen lassen sich über das Gegenereignis erheblich einfacher berechnen — statt viele Glieder zu summieren, rechnet man nur einen Term.

Grundprinzip: $P(A) = 1 - P(\overline{A})$

$$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n$$

Statt $n$ Glieder zu addieren: einfach das eine Gegenereignis „keinmal" berechnen.

Weiteres Beispiel

$X \sim B(10;\, 0{,}3)$, gesucht $P(X \ge 3)$:

$$P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) = 1 - \bigl[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\bigr] \approx 1 - 0{,}3828 = 0{,}6172$$

Sprachformen sicher übersetzen

Bei Aufgaben ist oft nicht die Formel schwierig, sondern die Sprache.

Sprache im Text	Mathematisch	Anzahl Treffer	Wie rechnen?
genau $k$	$P(X=k)$	exakt $k$	GTR: `binomPdf(n,p,k)` oder Formel
höchstens $k$	$P(X \le k)$	$0, 1, \ldots, k$	GTR: `binomCdf(n,p,k)` oder Tabelle
mindestens $k$	$P(X \ge k)$	$k, k{+}1, \ldots, n$	$1 - P(X \le k-1)$
weniger als $k$	$P(X < k)$	$0, 1, \ldots, k{-}1$	$P(X \le k-1)$
mehr als $k$	$P(X > k)$	$k{+}1, k{+}2, \ldots, n$	$1 - P(X \le k)$
von $a$ bis $b$	$P(a \le X \le b)$	$a, a{+}1, \ldots, b$	$P(X \le b) - P(X \le a-1)$

Strategie: Erst klären — Was ist der „Treffer"? Wie groß sind $n$ und $p$? Welches Ungleichungszeichen steckt im Text?

Kumulierte Verteilung rückwärts lesen

Manchmal ist in der Abiturtabelle die kumulierte Wahrscheinlichkeit $F(k) = P(X \le k)$ gegeben — gesucht ist aber ein einzelner Wert $P(X = k)$. Die Umkehrung ist einfach:

$$P(X = k) = P(X \le k) - P(X \le k-1) = F(k) - F(k-1)$$

Für $k = 0$ gilt dabei $P(X \le -1) = 0$, also $P(X=0) = F(0)$.

Beispiel — Tabelle auslesen

Gegeben: $X \sim B(10;\, 0{,}3)$, Ausschnitt aus der Tabelle:

$k$	$F(k) = P(X \le k)$	$P(X = k) = F(k) - F(k-1)$
$0$	$0{,}0282$	$0{,}0282 - 0 = 0{,}0282$
$1$	$0{,}1493$	$0{,}1493 - 0{,}0282 = 0{,}1211$
$2$	$0{,}3828$	$0{,}3828 - 0{,}1493 = 0{,}2335$
$3$	$0{,}6496$	$0{,}6496 - 0{,}3828 = 0{,}2668$
$4$	$0{,}8497$	$0{,}8497 - 0{,}6496 = 0{,}2001$

Der größte Wert in der rechten Spalte ($0{,}2668$ bei $k=3$) ist der Modus — die wahrscheinlichste Trefferzahl. Das ist nah am Erwartungswert $\mu = 10 \cdot 0{,}3 = 3$.

Interaktives Diagramm

Verändere $n$, $p$ und die gesuchte Bedingung. Die passenden Balken werden lila markiert.

Versuche $n$ 20

Wahrsch. $p$ 0,35

Treffer $k$ 8

Abfrage höchstens

Sprachform unten wählen.

Verteilung

B(20; 0,35)

Markierte Balken

Gesuchte Wahrscheinlichkeit

Diagramm lesen

Die Höhe eines Balkens zeigt $P(X=k)$. Die lila Balken gehören zur ausgewählten Bedingung — ihre Gesamtfläche entspricht der gesuchten Wahrscheinlichkeit.

Wenn viele Balken markiert sind, ist das eine Summe aus vielen Einzelwahrscheinlichkeiten. Das ist der Unterschied zwischen „genau" und „mindestens/höchstens".

Formel → Sachtext

Im Abitur muss man häufig einen gegebenen Binomialterm im Sachkontext interpretieren — also rückwärts lesen: von der Formel zum Satz.

Vorgehen: (1) $n$ ablesen — Anzahl der Versuche.
(2) $p$ ablesen — Trefferwahrscheinlichkeit.
(3) Exponent bei $p^k$ ablesen — Anzahl der Treffer.
(4) Schlüsselwort aus Binomialkoeffizient oder Summe erkennen (genau / mindestens / …).

Beispiele

Formel

$$\binom{10}{3} \cdot 0{,}2^3 \cdot 0{,}8^7$$

Sachtext

Bei 10 unabhängigen Versuchen mit Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0{,}2$ treten genau 3 Treffer auf.

Formel

$$1 - 0{,}8^{10}$$

Sachtext

Bei 10 unabhängigen Versuchen mit Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0{,}2$ tritt mindestens einmal ein Treffer auf. ($1 - P(X=0) = 1 - 0{,}8^{10}$)

Formel

$$\binom{20}{3} \cdot 0{,}15^3 \cdot 0{,}85^{17}$$

Sachtext (Qualitätskontrolle)

Von 20 geprüften Schrauben (Fehlerrate $15\,\%$) sind genau 3 fehlerhaft.

Tipp für das Abitur: Enthält der Term $\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ keinen Binomialkoeffizienten, sondern einen Kettenterm wie $p^a \cdot (1-p)^b$, ist es ein Pfad — eine feste Reihenfolge von Treffern und Nieten.

Aufgabe 1 · Freiwürfe

Eine Basketballspielerin trifft jeden Freiwurf mit Wahrscheinlichkeit $p = 0{,}75$. In einem Spiel hat sie 12 Freiwürfe. Die Zufallsgröße $X$ zählt die Treffer.

a) Begründe, warum $X \sim B(12;\, 0{,}75)$ gilt.

Jeder Freiwurf ist unabhängig von den anderen, hat genau zwei Ausgänge (Treffer / Niete) und die Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0{,}75$ ist bei jedem Wurf gleich → Bernoulli-Kette der Länge $n = 12$.

b) Berechne $P(X = 9)$.

$P(X=9) = \binom{12}{9}\cdot 0{,}75^9 \cdot 0{,}25^3 = 220 \cdot 0{,}07508 \cdot 0{,}015625 \approx 0{,}2581$

c) Berechne $P(X \le 7)$.

$P(X \le 7) = \sum_{k=0}^{7}\binom{12}{k}(0{,}75)^k(0{,}25)^{12-k} \approx 0{,}1576$

d) Berechne $P(X \ge 10)$ mithilfe des Gegenereignisses.

$P(X \ge 10) = 1 - P(X \le 9) \approx 1 - 0{,}6093 = 0{,}3907$

Aufgabe 2 · Qualitätskontrolle

In einer Fabrik sind 15 % aller Schrauben fehlerhaft. Eine Stichprobe von 20 Schrauben wird geprüft. $X$ zählt die fehlerhaften Schrauben.

a) Rechtfertige, warum $X \sim B(20;\, 0{,}15)$ gilt.

Jede Schraube ist unabhängig entweder fehlerhaft ($p=0{,}15$) oder einwandfrei. Bei großer Grundgesamtheit bleibt $p$ näherungsweise konstant → Bernoulli-Kette der Länge $n=20$.

b) Berechne $P(X = 3)$.

$P(X=3) = \binom{20}{3}\cdot 0{,}15^3 \cdot 0{,}85^{17} = 1140 \cdot 0{,}003375 \cdot 0{,}0631 \approx 0{,}2428$

c) Berechne $P(X \le 2)$.

$P(X \le 2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$
$\approx 0{,}0388 + 0{,}1368 + 0{,}2293 = 0{,}4049$

d) Wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens 5 Schrauben fehlerhaft sind?

$P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4) \approx 1 - 0{,}8298 = 0{,}1702$

Welcher Aufgabentyp liegt vor?

Bei der Binomialverteilung $X \sim B(n,\,p)$ gibt es vier Größen: $n$, $p$, $k$ und die resultierende Wahrscheinlichkeit $P$. In den Aufgaben 1–2 waren $n$, $p$ und $k$ fest — und $P$ war gesucht. Das muss aber nicht immer so sein:

Gegeben	Gesucht	Aufgabentyp
$n$, $p$, $k$	$P(X \ge k)$ oder $P(X \le k)$	Direkt rechnen (Aufg. 1–2)
$n$, $p$, Ziel-$P$	kleinstes oder größtes $k$	Grenzwert $k$ bestimmen (Aufg. 3)
$p$, $k$, Ziel-$P$	kleinstes $n$	Mindestversuchszahl bestimmen (Aufg. 4)

Aufgabe 3a · Kleinstes $k$ bestimmen

Ein professioneller Basketballspieler trifft einen Freiwurf mit Wahrscheinlichkeit $p = 0{,}80$. In einem Training wirft er 25-mal. Für eine besondere Prämie soll eine Trefferzahl festgelegt werden, die ein Spieler mit dieser Trefferquote nur in weniger als 5% der Trainings erreicht. Wie viele Treffer muss der Spieler mindestens erzielen, um die Prämie zu erhalten?

Strategie: Gesucht: kleinstes $k$ mit $P(X \ge k) < 0{,}05$. $k$ schrittweise erhöhen und $P(X \ge k)$ direkt auswerten, bis der Wert erstmals unter $0{,}05$ fällt.

TI-Nspire CX II-T CAS · Lists & Spreadsheet

Spalte A (Name: k): Werte 21, 22, 23, 24, 25 eintragen
Spalte B (Name: prob): in B1 eingeben:
=1 - binomCdf(25, 0.80, a1-1) → nach unten kopieren
Ersten Wert in Spalte B suchen, der kleiner als 0.05 ist → das ist das gesuchte $k$.

$X \sim B(25;\, 0{,}80)$. Gesucht: kleinstes $k$ mit $P(X \ge k) < 0{,}05$.

$P(X \ge 23) \approx 0{,}0982 \ge 0{,}05$ — Prämie noch zu häufig erreichbar.
$P(X \ge 24) \approx 0{,}0274 < 0{,}05$ ✓ — Prämie selten genug.

$\Rightarrow$ Prämiengrenze: $\boldsymbol{k = 24}$ Treffer.

Aufgabe 3b · Größtes $k$ bestimmen

An einem Urlaubsort scheint die Sonne an jedem Tag mit Wahrscheinlichkeit $p = 0{,}65$. Ein Reiseveranstalter bietet einen 30-tägigen Urlaub an und möchte seinen Kunden eine Mindestzahl an Sonnentagen garantieren. Wird diese Zahl unterschritten, erstattet er ein Drittel des Reisepreises. Der Veranstalter möchte die Garantie so hoch wie möglich ansetzen, dabei aber in weniger als 5% der Fälle eine Erstattung leisten müssen. Wie viele Sonnentage sollte er mindestens garantieren?

Strategie: Erstattung wenn $X < k$. Gesucht: größtes $k$ mit $P(X < k) < 0{,}05$. $k$ schrittweise erhöhen und $P(X < k)$ direkt auswerten, bis der Wert erstmals $\ge 0{,}05$ wird — dann war das vorherige $k$ die Antwort.

TI-Nspire CX II-T CAS · Lists & Spreadsheet

Spalte A (Name: k): Werte 14, 15, 16, 17, 18 eintragen
Spalte B (Name: prob): in B1 eingeben:
=binomCdf(30, 0.65, a1-1) → nach unten kopieren
Letzten Wert in Spalte B suchen, der noch kleiner als 0.05 ist → das zugehörige $k$ ist die Antwort.

$X \sim B(30;\, 0{,}65)$. Gesucht: größtes $k$ mit $P(X < k) < 0{,}05$.

$P(X < 16) \approx 0{,}0301 < 0{,}05$ ✓ — Garantie von 16 Tagen möglich.
$P(X < 17) \approx 0{,}0652 \ge 0{,}05$ — zu riskant, zu viele Erstattungen.

$\Rightarrow$ Der Veranstalter sollte $\boldsymbol{k = 16}$ Sonnentage garantieren.

Aufgabentyp: Kleinstes $n$ bei vorgegebener Mindestwahrscheinlichkeit
$p$ und $k$ fest, Ziel-$P$ gegeben → kleinstes $n$ gesucht, sodass $P(X \ge k) \ge P_{\min}$.
Strategie: Umformen zu $P(X \le k-1) \le 1-P_{\min}$, dann $n$ schrittweise erhöhen. Minimalitätsprüfung: $n-1$ reicht nicht, $n$ reicht.

Aufgabe 4a · Musteraufgabe — Kleinstes $n$

Eine Maschine produziert einwandfreie Teile mit Wahrscheinlichkeit $p = 0{,}9$. Wie viele Teile müssen mindestens produziert werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % wenigstens 10 einwandfreie Teile entstehen?

TI-Nspire CX II-T CAS · Lists & Spreadsheet

Spalte A (Name: n): Werte 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 eintragen
Spalte B (Name: prob): in B1 eingeben:
=binomCdf(a1, 0.9, 9) → nach unten kopieren
Ersten Wert in Spalte B suchen, der $\le 0{,}01$ ist → das zugehörige $n$ ist die Antwort.

Schritt 1 — Umformung:
$P(X \ge 10) = 1 - P(X \le 9) \ge 0{,}99 \;\Longleftrightarrow\; P(X \le 9) \le 0{,}01$

Schritt 2 — $n$ schrittweise suchen (GTR / Tabelle):
$n = 10$: $P(X \le 9) \approx 0{,}6513 \not\le 0{,}01$
$n = 12$: $P(X \le 9) \approx 0{,}1109 \not\le 0{,}01$
$n = 14$: $P(X \le 9) \approx 0{,}0113 \not\le 0{,}01$
$n = 15$: $P(X \le 9) \approx 0{,}0022 \le 0{,}01$ ✓

Schritt 3 — Minimalitätsprüfung:
$n = 14$: $0{,}0113 > 0{,}01$ — Bedingung nicht erfüllt.
$n = 15$: $0{,}0022 \le 0{,}01$ — Bedingung erfüllt. ✓

$\Rightarrow$ Es müssen mindestens $\boldsymbol{n = 15}$ Teile produziert werden.

Aufgabe 4b · Kleinstes $n$ bestimmen

Ein fairer Würfel wird $n$-mal geworfen. Wie oft muss er mindestens geworfen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % die Sechs mindestens 3-mal fällt?

TI-Nspire CX II-T CAS · Lists & Spreadsheet

Spalte A (Name: n): Werte 10, 12, 15, 17, 18, 19, 20, 21 eintragen
Spalte B (Name: prob): in B1 eingeben:
=binomCdf(a1, 1/6, 2) → nach unten kopieren
Ersten Wert in Spalte B suchen, der $\le 0{,}05$ ist → das zugehörige $n$ ist die Antwort.

Umformung:
$P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) \ge 0{,}95 \;\Leftrightarrow\; P(X \le 2) \le 0{,}05$

Schrittweise suchen (GTR oder Tabelle):
$n = 10$: $P(X \le 2) \approx 0{,}2753 \not\le 0{,}05$
$n = 20$: $P(X \le 2) \approx 0{,}0486 \le 0{,}05$ ✓
$n = 19$: $P(X \le 2) \approx 0{,}0591 \not\le 0{,}05$

Minimalitätsprüfung:
$n = 19$: $0{,}0591 > 0{,}05$ — nicht erfüllt.
$n = 20$: $0{,}0486 \le 0{,}05$ — erfüllt. ✓

$\Rightarrow$ Der Würfel muss mindestens $\boldsymbol{n = 20}$-mal geworfen werden.

Mit und ohne Zurücklegen

Bei manchen Zufallsexperimenten bleibt $p$ bei jedem Zug konstant — dann ist Bernoulli anwendbar. Bei anderen verändert sich $p$ von Zug zu Zug. Der Vergleich beider Fälle ist eine häufige Prüfungsaufgabe.

Musteraufgabe · Pokémon-Karten

Ein Stapel enthält 20 Pokémon-Karten, davon sind 5 selten (Rare). Es werden zufällig 4 Karten gezogen. $X$ zählt die seltenen Karten. Berechne jeweils $P(X=2)$ für beide Fälle und vergleiche die Ergebnisse: (1) mit Zurücklegen, (2) ohne Zurücklegen.

Herangehensweise: Zuerst fragen — bleibt $p$ bei jedem Zug gleich? Mit Zurücklegen: ja → Bernoulli anwendbar. Ohne Zurücklegen: nein → Bernoulli nur näherungsweise (Faustregel: $n \le 5\%$ der Grundgesamtheit).

Fall 1 — Mit Zurücklegen

Nach jedem Zug wird die Karte zurückgelegt → $p = \frac{5}{20} = 0{,}25$ bleibt konstant.
$X \sim B(4;\, 0{,}25)$

$$P(X=2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^2 = 6 \cdot 0{,}0625 \cdot 0{,}5625 \approx 0{,}2109$$

Fall 2 — Ohne Zurücklegen · Pfad-Methode

$p$ verändert sich nach jedem Zug — kein exaktes Bernoulli-Modell.
Wir berechnen stattdessen direkt über Pfade.

Ein konkreter Pfad mit genau 2 seltenen Karten (s) und 2 normalen (n), z. B. s, s, n, n:

$$\frac{5}{20} \cdot \frac{4}{19} \cdot \frac{15}{18} \cdot \frac{14}{17} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 15 \cdot 14}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17} = \frac{4200}{116280} \approx 0{,}03612$$

Wie viele solche Anordnungen gibt es? $\binom{4}{2} = 6$ — alle gleich wahrscheinlich.

$$P(X=2) = 6 \cdot \frac{4200}{116280} \approx 6 \cdot 0{,}03612 \approx 0{,}2167$$

Fall 2 — Ohne Zurücklegen · Hypergeometrische Methode

Wir fragen: Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, 4 Karten aus 20 zu ziehen? Und wie viele davon enthalten genau 2 seltene?

Günstige Fälle: 2 seltene aus 5 wählen und 2 normale aus 15 wählen:
$\dbinom{5}{2} \cdot \dbinom{15}{2} = 10 \cdot 105 = 1050$

Alle Fälle: 4 Karten aus 20 wählen:
$\dbinom{20}{4} = 4845$

$$P(X=2) = \frac{\dbinom{5}{2} \cdot \dbinom{15}{2}}{\dbinom{20}{4}} = \frac{10 \cdot 105}{4845} = \frac{1050}{4845} \approx 0{,}2167$$

Beide Methoden liefern dasselbe Ergebnis. Zum Vergleich: Bernoulli-Näherung ergab 0,2109 — der Unterschied zeigt, dass Bernoulli bei kleiner Grundgesamtheit nur näherungsweise gilt.

Deine Aufgabe · Spielkarten

Aus einem Skatspiel mit 32 Karten (davon 12 Bildkarten) werden zufällig 5 Karten gezogen. $X$ zählt die Bildkarten. Berechne jeweils $P(X=2)$ für beide Fälle und vergleiche die Ergebnisse: (1) mit Zurücklegen, (2) ohne Zurücklegen.

Hinweis: Überprüfe bei Fall 2 die Faustregel. Vergleiche die Ergebnisse.

Fall 1 — Mit Zurücklegen:
$p = \frac{12}{32} = 0{,}375$, konstant. $X \sim B(5;\, 0{,}375)$
$P(X=2) = \binom{5}{2} \cdot 0{,}375^2 \cdot 0{,}625^3 = 10 \cdot 0{,}1406 \cdot 0{,}2441 \approx 0{,}3433$

Fall 2 — Ohne Zurücklegen · Pfad-Methode:
Ein Pfad z. B. B, B, n, n, n (B = Bildkarte, n = normal):
$\dfrac{12}{32} \cdot \dfrac{11}{31} \cdot \dfrac{20}{30} \cdot \dfrac{19}{29} \cdot \dfrac{18}{28} = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18}{32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28} \approx 0{,}03735$
Anzahl Anordnungen: $\binom{5}{2} = 10$
$P(X=2) = 10 \cdot 0{,}03735 \approx 0{,}3735$

Fall 2 — Ohne Zurücklegen · Hypergeometrisch:
Günstige Fälle: $\dbinom{12}{2} \cdot \dbinom{20}{3} = 66 \cdot 1140 = 75240$
Alle Fälle: $\dbinom{32}{5} = 201376$
$P(X=2) = \dfrac{75240}{201376} \approx 0{,}3736$

Bernoulli-Näherung (0,3433) weicht merklich ab — Grundgesamtheit zu klein.