Binomialverteilung II · Kennzahlen und Anwendungen

Was erwartet man?

Bei 10 Freiwürfen mit Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0{,}60$: In manchen Runden trifft man 5-mal, in anderen 7-mal. Der Erwartungswert $\mu$ gibt an, was man im Durchschnitt erwartet.

$$\mu = E(X) = 10 \cdot 0{,}60 = 6$$
Das bedeutet nicht, dass man immer genau 6 trifft — sondern dass der langfristige Mittelwert bei 6 liegt.

Formel und Visualisierung

Für $X \sim B(n,\,p)$ gilt:

$$\boxed{\mu = E(X) = n \cdot p}$$
Verteilung
B(15; 0,40)
Berechnung

— — Die orange gestrichelte Linie markiert $\mu = n \cdot p$. Beobachte: Sie liegt immer beim Schwerpunkt der Verteilung.

Parameter rückwärts bestimmen

Manchmal ist $\mu$ bekannt — gesucht ist $n$ oder $p$.

$n$ gesucht
$n = \dfrac{\mu}{p}$
$\mu=12,\;p=0{,}5 \;\Rightarrow\; n=24$
$p$ gesucht
$p = \dfrac{\mu}{n}$
$\mu=15,\;n=50 \;\Rightarrow\; p=0{,}30$

Maximum einer Binomialverteilung

Die höchste Säule liegt meistens sehr nah am Erwartungswert $\mu$, aber nicht immer exakt auf diesem Punkt.

Warum das so ist

  • Erwartungswert $\mu = n \cdot p$ ist das theoretische Mittel — ergibt häufig eine Dezimalzahl (z. B. 7,4).
  • Anzahl der Treffer $k$ sind nur ganze Zahlen ($k = 0, 1, 2, \ldots, n$). Eine Säule bei 7,4 existiert nicht.
  • Die höchste Säule zeigt den wahrscheinlichsten ganzzahligen Wert, der gerundet nah an $\mu$ liegt.

Die mathematische Regel

Der Wert $k$ der höchsten Säule liegt immer in diesem Intervall:

$$(n+1)\cdot p - 1 \;\le\; k \;\le\; (n+1)\cdot p$$
Einzelfall: Sind die Grenzen Dezimalzahlen → genau eine höchste Säule.
Doppelfall: Sind die Grenzen exakt ganze Zahlen → zwei gleich hohe Säulen.

Zwei Beispiele

Beispiel 1 — $\mu$ keine ganze Zahl
$n=10$, $p=0{,}35$
$\mu = 10 \cdot 0{,}35 = 3{,}5$
$(10{+}1)\cdot0{,}35 = 3{,}85$
Intervall: $2{,}85 \le k \le 3{,}85$
Einzige ganze Zahl: $\boldsymbol{k = 3}$
→ höchste Säule bei 3, obwohl $\mu = 3{,}5$
Beispiel 2 — Doppelmaximum
$n=11$, $p=0{,}25$
$\mu = 11 \cdot 0{,}25 = 2{,}75$
$(11{+}1)\cdot0{,}25 = 3$
Intervall: $2 \le k \le 3$
Zwei ganze Zahlen: $\boldsymbol{k = 2}$ und $\boldsymbol{k = 3}$
→ zwei gleich hohe Säulen

Was bedeutet Streuung?

Zwei Spieler werfen je 20 Freiwürfe: Spieler A trifft mit $p = 0{,}50$, Spieler B mit $p = 0{,}90$. Beide haben gleich viele Versuche — aber ihre Verteilungen sehen sehr unterschiedlich aus.

Spieler A: $\mu = 10$, die Ergebnisse streuen weit um 10. Spieler B: $\mu = 18$, die Ergebnisse liegen eng beieinander nahe 18.

Die Standardabweichung $\sigma$ misst, wie stark die Treffer-Anzahl im Durchschnitt vom Erwartungswert $\mu$ abweicht. Ein kleines $\sigma$ bedeutet: die Ergebnisse liegen eng um $\mu$.

Formel und Visualisierung

Für $X \sim B(n,\,p)$ mit $q = 1-p$:

$$\sigma^2 = \mathrm{Var}(X) = n \cdot p \cdot q$$
$$\boxed{\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}}$$
Erwartungswert
Standardabweichung
Ein-Sigma-Umgebung
Verteilung
B(20; 0,50)
— — orange gestrichelt: Erwartungswert $\mu$  |  blaues Band: Ein-Sigma-Umgebung $[\mu-\sigma,\,\mu+\sigma]$

Parameter rückwärts bestimmen

Wenn $\mu$ und $\sigma$ bekannt sind, lassen sich $n$ und $p$ bestimmen. Man nutzt beide Gleichungen:

$$\mu = n \cdot p \qquad \text{und} \qquad \sigma^2 = n \cdot p \cdot q$$

Division $\sigma^2 \div \mu$ liefert $q$, daraus folgt $p$, dann $n$:

$$q = \frac{\sigma^2}{\mu}, \qquad p = 1-q, \qquad n = \frac{\mu}{p}$$

Beispiel

$\mu = 6$, $\sigma = \sqrt{4{,}2} \approx 2{,}05$, also $\sigma^2 = 4{,}2$:

$$q = \dfrac{\sigma^2}{\mu} = \dfrac{4{,}2}{6} = 0{,}7 \;\Rightarrow\; p = 0{,}3 \;\Rightarrow\; n = \dfrac{\mu}{p} = \dfrac{6}{0{,}3} = 20$$
Also $X \sim B(20;\; 0{,}3)$.

Aufgabe 1 · Freiwürfe — Kennzahlen

Basketballspielerin, $X \sim B(12;\, 0{,}75)$. Berechne $\mu$ und $\sigma$. Interpretiere $\mu$ im Sachkontext.

$\mu = 12 \cdot 0{,}75 = 9$ |  $\sigma = \sqrt{12 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}25} = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5$

Interpretation: Im Durchschnitt trifft die Spielerin von 12 Freiwürfen genau 9. Die Ergebnisse streuen typischerweise um ±1,5 um diesen Wert.

Aufgabe 2 · Qualitätskontrolle — Kennzahlen

Schraubenfabrik, $X \sim B(20;\, 0{,}15)$. Berechne $\mu$ und $\sigma$. Interpretiere beide Werte im Sachkontext.

$\mu = 20 \cdot 0{,}15 = 3$ |  $\sigma = \sqrt{20 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}85} = \sqrt{2{,}55} \approx 1{,}60$

μ: Im Durchschnitt sind in einer 20er-Stichprobe 3 Schrauben fehlerhaft.
σ: Die Anzahl fehlerhafter Schrauben schwankt typischerweise um etwa ±1,6 um diesen Wert.

Aufgabe 3 · Parameter bestimmen

Eine binomialverteilte Zufallsgröße $X \sim B(n;\, p)$ hat Erwartungswert $\mu = 8$ und Varianz $\sigma^2 = 4{,}8$.

a) Bestimme $q$, $p$ und $n$.

$q = \dfrac{\sigma^2}{\mu} = \dfrac{4{,}8}{8} = 0{,}6 \;\Rightarrow\; p = 0{,}4 \;\Rightarrow\; n = \dfrac{8}{0{,}4} = 20$
Also $X \sim B(20;\; 0{,}4)$.

b) Berechne $P(X = 8)$ für die gefundene Verteilung.

$P(X=8) = \binom{20}{8}\cdot 0{,}4^8 \cdot 0{,}6^{12} = 125970 \cdot 0{,}000655 \cdot 0{,}002177 \approx 0{,}1797$

c) Berechne $P(X \ge 10)$.

$P(X \ge 10) = 1 - P(X \le 9) \approx 1 - 0{,}7553 = 0{,}2447$

d) Bestimme das kleinste $k$ mit $P(X \ge k) < 5\,\%$.

Gesucht: kleinstes $k$ mit $P(X \ge k) < 0{,}05$.
$P(X \ge 12) \approx 0{,}0565 > 0{,}05$
$P(X \ge 13) \approx 0{,}0210 < 0{,}05$
$\Rightarrow$ Das kleinste $\boldsymbol{k = 13}$.

e) Berechne $\sigma$ und gib die Einsigma-Umgebung $[\mu-\sigma,\,\mu+\sigma]$ an.

$\sigma = \sqrt{4{,}8} \approx 2{,}19$
Einsigma-Umgebung: $[8 - 2{,}19;\; 8 + 2{,}19] = [5{,}81;\; 10{,}19]$

Verschachtelter Bernoulli

Manchmal ist ein einzelner „Versuch" selbst schon ein Zufallsexperiment. Dann berechnet man zuerst $p_0$ für den Einzelversuch — und verwendet diesen Wert dann in der Binomialformel für die Gesamtserie.

Musteraufgabe · LED-Leisten

Eine LED-Leiste besteht aus 8 LEDs. Jede LED funktioniert mit Wahrscheinlichkeit $p = 0{,}998$ einwandfrei. Eine Leiste gilt als einwandfrei, wenn alle 8 LEDs funktionieren. Eine Box enthält 10 Leisten und ist verkaufsfähig, wenn höchstens 1 Leiste defekt ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Box verkaufsfähig? Berechne außerdem $\mu$ und $\sigma$ für die Anzahl defekter Leisten pro Box.

Herangehensweise: Zwei Stufen. Stufe 1 → $p_0$ für eine Leiste berechnen. Stufe 2 → $p_0$ als neues $p$ in die Binomialformel einsetzen.
Stufe 1 — Wahrscheinlichkeit für eine einwandfreie Leiste
$$p_0 = 0{,}998^8 \approx 0{,}9841 \qquad q_0 = 1 - p_0 \approx 0{,}0159$$

Eine Leiste ist mit ca. 98,4% einwandfrei, mit ca. 1,6% defekt.

Stufe 2 — Binomialverteilung für die Box

$Y$ = Anzahl defekter Leisten pro Box. $Y \sim B(10;\, 0{,}0159)$
Box verkaufsfähig: $P(Y \le 1) = P(Y=0) + P(Y=1)$

$$P(Y=0) = 0{,}9841^{10} \approx 0{,}8522$$ $$P(Y=1) = \binom{10}{1} \cdot 0{,}0159 \cdot 0{,}9841^9 \approx 10 \cdot 0{,}0159 \cdot 0{,}8659 \approx 0{,}1377$$ $$P(Y \le 1) \approx 0{,}8522 + 0{,}1377 = 0{,}9899$$
Ca. 99% der Boxen sind verkaufsfähig — realistisch für ein Industrieprodukt mit hoher Qualität.
Erwartungswert und Standardabweichung
$$\mu = 10 \cdot 0{,}0159 \approx 0{,}16 \qquad \sigma = \sqrt{10 \cdot 0{,}0159 \cdot 0{,}9841} \approx 0{,}40$$

Im Schnitt ist weniger als 1 Leiste pro Box defekt.

Deine Aufgabe · Elfmeterschießen

Im Elfmeterschießen schießt jede Mannschaft 5 Elfmeter. Ein Spieler trifft jeden Elfmeter mit Wahrscheinlichkeit $p = 0{,}75$. In einem Turnier gibt es 6 Elfmeterschießen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es in diesem Turnier genau 3-mal vorkommt, dass eine Mannschaft genau 2 von 5 Elfmetern verschießt.

Hinweis: $X$ = Anzahl Treffer, $X \sim B(5;\, 0{,}75)$. Stufe 1 — 2 verschossen = 3 getroffen: $p_0 = P(X=3)$. Stufe 2 — $Y \sim B(6;\, p_0)$, gesucht $P(Y=3)$.

Stufe 1:
$X$ = Anzahl der Treffer, $X \sim B(5;\, 0{,}75)$
Genau 2 verschossen = genau 3 getroffen, also gesucht $P(X=3)$:
$p_0 = P(X=3) = \binom{5}{3} \cdot 0{,}75^3 \cdot 0{,}25^2 = 10 \cdot 0{,}4219 \cdot 0{,}0625 \approx 0{,}2637$

Stufe 2:
$Y \sim B(6;\, 0{,}2637)$, gesucht $P(Y=3)$
$P(Y=3) = \binom{6}{3} \cdot 0{,}2637^3 \cdot 0{,}7363^3$
$= 20 \cdot 0{,}01835 \cdot 0{,}3987 \approx 0{,}1464$

Mit ca. 14,6% Wahrscheinlichkeit passiert es genau 3-mal.

Lange Serie und verschachtelte Pfade

Bei langen Bernoulli-Ketten interessieren nicht nur kumulative Wahrscheinlichkeiten, sondern auch Ereignisse die eine bestimmte Position oder Reihenfolge von Treffern und Nieten beschreiben. Diese werden über einzelne Pfade berechnet — ohne Summenformel.

Musteraufgabe · Impfung

Eine Klasse mit 28 Schülern wird geimpft. Der Impfstoff wirkt bei 95% der Schüler ($p = 0{,}95$). $X$ zählt die Schüler bei denen die Impfung wirkt. Beantworte die folgenden Teilfragen.

Herangehensweise: Zuerst klären — ist es eine Binomialformel (Anzahl Treffer egal wo) oder ein Pfad (bestimmte Position)? Pfad-Ereignisse werden als Produkt berechnet: jede Position einzeln.
a) Bernoulli begründen

Jede Impfung ist unabhängig, hat zwei Ausgänge (wirkt / wirkt nicht), $p = 0{,}95$ konstant. Also $X \sim B(28;\, 0{,}95)$.

b) $P(X = 27)$ — genau 27 wirken
$$P(X=27) = \binom{28}{27} \cdot 0{,}95^{27} \cdot 0{,}05^1 = 28 \cdot 0{,}2503 \cdot 0{,}05 \approx 0{,}3505$$
c) $P(X \ge 26)$ — mindestens 26 wirken
$$P(X \ge 26) = P(X=26)+P(X=27)+P(X=28) \approx 0{,}2490+0{,}3505+0{,}2378 = 0{,}8373$$
d) Pfad — genau der 3. Schüler ist der erste, bei dem die Impfung nicht wirkt

Position 1: wirkt ($0{,}95$) · Position 2: wirkt ($0{,}95$) · Position 3: wirkt nicht ($0{,}05$)

$$P = 0{,}95^2 \cdot 0{,}05 = 0{,}9025 \cdot 0{,}05 \approx 0{,}0451$$
Kein Binomialkoeffizient! Die Reihenfolge ist fest vorgegeben — es gibt nur diesen einen Pfad.
e) Pfad — erste Hälfte alle 14 wirken, zweite Hälfte genau 2 wirken nicht

Erste Hälfte (Schüler 1–14): alle 14 wirken → $0{,}95^{14}$
Zweite Hälfte (Schüler 15–28): genau 2 von 14 wirken nicht → $\binom{14}{2} \cdot 0{,}95^{12} \cdot 0{,}05^2$

$$P = 0{,}95^{14} \cdot \binom{14}{2} \cdot 0{,}95^{12} \cdot 0{,}05^2 \approx 0{,}4877 \cdot 91 \cdot 0{,}5404 \cdot 0{,}0025 \approx 0{,}0599$$
f) $\mu$, $\sigma$ und Einsigma-Umgebung
$$\mu = 28 \cdot 0{,}95 = 26{,}6 \qquad \sigma = \sqrt{28 \cdot 0{,}95 \cdot 0{,}05} \approx 1{,}15$$ $$[\mu-\sigma,\, \mu+\sigma] = [25{,}45;\; 27{,}75]$$

Der Arzt sagt „zwischen 25 und 28" — das entspricht eher der Zweisigma-Umgebung.

Deine Aufgabe · Datenpakete

Ein Router überträgt 25 Datenpakete nacheinander. Jedes Paket kommt mit Wahrscheinlichkeit $p = 0{,}92$ korrekt an. $X$ zählt die korrekt übertragenen Pakete.

a) Begründe Bernoulli. Gib $X \sim B(n;\, p)$ an.

Jedes Paket wird unabhängig übertragen, hat zwei Ausgänge (korrekt / fehlerhaft), $p = 0{,}92$ ist konstant. Also $X \sim B(25;\, 0{,}92)$.

b) Berechne $P(X = 23)$.

$P(X=23) = \binom{25}{23} \cdot 0{,}92^{23} \cdot 0{,}08^2 = 300 \cdot 0{,}1469 \cdot 0{,}0064 \approx 0{,}2821$

c) Berechne $P(X \ge 23)$.

$P(X \ge 23) = P(X=23)+P(X=24)+P(X=25)$
$P(X=24) = \binom{25}{24} \cdot 0{,}92^{24} \cdot 0{,}08^1 \approx 0{,}2704$
$P(X=25) = 0{,}92^{25} \approx 0{,}1244$
$P(X \ge 23) \approx 0{,}2821 + 0{,}2704 + 0{,}1244 = 0{,}6768$

d) Genau das 4. Paket ist das erste fehlerhafte. Berechne diese Wahrscheinlichkeit.

Positionen 1–3 korrekt, Position 4 fehlerhaft — fester Pfad, kein Binomialkoeffizient:
$P = 0{,}92^3 \cdot 0{,}08 = 0{,}7787 \cdot 0{,}08 \approx 0{,}0623$

e) In den ersten 12 Paketen gibt es genau 1 Fehler, in den letzten 13 Paketen genau 2 Fehler.

Erste Hälfte: $\binom{12}{1} \cdot 0{,}92^{11} \cdot 0{,}08^1 = 12 \cdot 0{,}3996 \cdot 0{,}08 \approx 0{,}3836$
Zweite Hälfte: $\binom{13}{2} \cdot 0{,}92^{11} \cdot 0{,}08^2 = 78 \cdot 0{,}3996 \cdot 0{,}0064 \approx 0{,}1994$
Beide unabhängig: $P = 0{,}3836 \cdot 0{,}1994 \approx 0{,}0765$

f) Berechne $\mu$ und $\sigma$. Interpretiere im Kontext.

$\mu = 25 \cdot 0{,}92 = 23$ — im Schnitt kommen 23 von 25 Paketen korrekt an.
$\sigma = \sqrt{25 \cdot 0{,}92 \cdot 0{,}08} = \sqrt{1{,}84} \approx 1{,}36$
Einsigma-Umgebung: $[23 - 1{,}36;\; 23 + 1{,}36] = [21{,}64;\; 24{,}36]$
Typischerweise kommen also zwischen 22 und 24 Pakete korrekt an.