Kartenhand · Kombinatorik

Das Kartenspiel

Ein Standardkartenspiel hat 52 Karten — vier Farben mit je 13 Rängen:

♥ Herz · 13

♦ Karo · 13

♠ Pik · 13

♣ Kreuz · 13

Ränge: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, D, K, A · Rot = Herz + Karo (26) · Schwarz = Pik + Kreuz (26)

Es werden stets 5 Karten gezogen — ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge. Gesamtzahl aller möglichen Hände:

$$\dbinom{52}{5} = 2\,598\,960$$

Drei Lösungsstrategien

1. Direkt — Bedingung aufteilen in unabhängige Gruppen, Binomialkoeffizienten multiplizieren.

2. Gegenereignis — bei „mindestens …": alle Hände minus die unerwünschten Fälle. $$\text{günstig} = \dbinom{52}{5} - \text{ungünstig}$$

3. Inklusion-Exklusion — bei „mindestens A und mindestens B":
Schreibweise: $A^c$ bedeutet das Komplement von $A$ — also alle Hände, die nicht in $A$ liegen. Beispiel: $A$ = „enthält Herz" → $A^c$ = „enthält kein Herz". $$|A^c \cup B^c| = |A^c| + |B^c| - |A^c \cap B^c|$$ also: alle − (kein A) − (kein B) + (weder A noch B).

Beispiele

Stufe 1 · Nur Farbe

5 rote Karten
Alle 5 Karten sind rot (Herz oder Karo).

Aus 26 roten Karten 5 wählen:
$$\dbinom{26}{5} = 65\,780$$

Stufe 1 · Gemischt

Genau 3 Herz
3 Herz, 2 beliebige Nicht-Herz-Karten.

$$\dbinom{13}{3}\cdot\dbinom{39}{2} = 211\,926$$

Stufe 2 · Nur Rang

Genau 2 Damen
2 Damen, 3 beliebige Nicht-Damen.

$$\dbinom{4}{2}\cdot\dbinom{48}{3} = 103\,776$$

Stufe 3 · Farbe + Rang

2 rote Damen + 3 Pik

Es gibt genau 2 rote Damen (♥D, ♦D):
$$\dbinom{2}{2}\cdot\dbinom{13}{3} = 286$$

Stufe 3 · Gegenereignis

Mindestens 2 Herz

Gegenereignis: 0 oder 1 Herz.
$$\dbinom{52}{5} - \dbinom{39}{5} - \dbinom{13}{1}\dbinom{39}{4}$$ $$= 1\,727\,193$$

Stufe 4 · Inklusion-Exklusion

Mind. 1 Herz und mind. 1 Pik

Abziehen: kein Herz, kein Pik. Aber Hände ohne Herz und ohne Pik wurden doppelt abgezogen — einmal wieder addieren.
$$\dbinom{52}{5} - 2\dbinom{39}{5} + \dbinom{26}{5} = 1\,513\,226$$