Zwei Pflöcke, ein Faden, ein Stift: Der Gärtner hält den Faden gespannt und führt den Stift — so entsteht eine Ellipse.
Ziehe den Punkt P auf der Kurve: Die Fadenlänge bleibt immer gleich.
Ziehe den Punkt P auf der Kurve: Die Fadenlänge bleibt immer gleich.
Abst. der Pflöcke\(\left|\overline{F_1F_2}\right| = 2e\)
Fadenlänge\(2a\)
Damit nichts aus dem Bild läuft, rückt der Pflockabstand bei großer Fadenlänge automatisch nach.
Kernsatz
Für jeden Punkt der Ellipse gilt:
Fadenteil
Fadenteil
Brennpunkte (Pflöcke)
Worum geht es?
Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte \(P\), für die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten \(F_1\) und \(F_2\) — den Brennpunkten — konstant ist. Diese Konstante ist genau die Fadenlänge, und wird als \(2a\) bezeichnet.
Schiebe die Pflöcke ganz zusammen: Aus \(F_1 = F_2\) wird ein Mittelpunkt, und die Ellipse wird zum Kreis. Der Kreis ist also nur ein Spezialfall der Ellipse.
Ellipse aus rollendem Kreis
Ein kleiner Kreis rollt innen in einem doppelt so großen Kreis. Ein mitgeführter Punkt im Inneren des kleinen Kreises beschreibt eine Ellipse (Satz von de La Hire) — ein Punkt auf dem Rand würde als Grenzfall eine Strecke zeichnen.
Aus der Fadenlänge \(2a\) wird die große Halbachse \(a\) — die halbe Breite der Ellipse. Die kleine Halbachse \(b\) ist die halbe Höhe. Den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt nennt man lineare Exzentrizität und bezeichnet ihn als \(e\).
Große Halbachse\(a\)
Kleine Halbachse\(b\)
Mittelpunktsgleichung
\[\color{#D42828}{r_1} + \color{#1A56DB}{r_2} = \color{#2D7F2D}{2a} \;\Longrightarrow\]\[\dfrac{x^2}{\color{#2D7F2D}{a}^2} + \dfrac{y^2}{\color{#E86F1A}{b}^2} = 1\]
Berechnung
Halbachse
Halbachse
Brennpunkte / lineare Exzentrizität
Schneidet man einen Kegel mit einer Ebene, entsteht eine Schnittkurve. Liegt die Ebene waagerecht, ist es ein Kreis — kippt man sie, wird daraus eine Ellipse.
Neigung der Ebene
Höhe der Ebene
Bei starker Neigung rückt die Höhe automatisch nach, damit der Schnitt vollständig im Kegel liegt.
Kegelschnitt
Die Ellipse ist ein Kegelschnitt — wie auch Kreis, Parabel und Hyperbel.
Schnittellipse
Kegelmantel
Anwendung aus der Astronomie: Planeten laufen auf Ellipsen, die Sonne steht in einem Brennpunkt (1. Keplersches Gesetz).
In Sonnennähe ist der Planet schneller, in Sonnenferne langsamer (2. Keplersches Gesetz).
In Sonnennähe ist der Planet schneller, in Sonnenferne langsamer (2. Keplersches Gesetz).
Num. Exzentrizität\(\varepsilon = \dfrac{e}{a}\)
Sonne (Brennpunkt)
Planet
Fahrstrahl / Fläche