Integralrechnung I

Integralrechnung Analysis · Klasse 11/12 · Teil I

Der einfache Fall: Konstante Geschwindigkeit

Grundformel

Fährt ein Fahrzeug mit konstanter Geschwindigkeit $v$, gilt: $s = v \cdot t$
Der Graph von $v(t)$ ist eine waagrechte Gerade. Der zurückgelegte Weg entspricht der Fläche des Rechtecks unter dieser Geraden. Verschiebe die Schieberegler und beobachte:

Geschwindigkeit v

100 km/h

Zeit t

2,5 h

Das Problem: Veränderliche Geschwindigkeit

Wo die einfache Formel versagt

In der Realität ist $v(t)$ eine Funktion der Zeit. Die Formel $s = v \cdot t$ setzt einen festen Wert von $v$ voraus — bei zeitabhängiger Geschwindigkeit versagt sie. Im Diagramm entsteht eine Kurve statt einer Geraden.

Ein konkretes Beispiel

Situation

Ein Fahrzeug beschleunigt nach dem Start. Momentangeschwindigkeit in $\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$: $$v(t) = 0{,}5 \cdot t^2$$ Frage: Wie viele Meter legt das Fahrzeug im Intervall $[0;\,T]$ zurück?

Obere Grenze T

5,0 s

Schlüsselerkenntnis

Der zurückgelegte Weg bei veränderlicher Geschwindigkeit $v(t)$ im Intervall $[0;\,T]$ entspricht dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen von $v(t)$ und der $t$-Achse.

Flächeninhalt unter dem Graphen f(x)

Idee

Das Intervall $[a,b]$ wird in $n$ gleich breite Teile zerlegt, Breite $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$.
Obersumme $O_n$: Rechteck bis zum Maximum — überschätzt.
Untersumme $U_n$: Rechteck bis zum Minimum — unterschätzt.
Es gilt stets: $U_n \;\leq\; \text{Flächeninhalt} \;\leq\; O_n$

$O_n = \Delta x\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\max_{[x_{i-1},x_i]} f(x) \qquad U_n = \Delta x\sum_{i=1}^{n}\min_{[x_{i-1},x_i]} f(x)$

Erkunde es selbst

Verschiebe $n$ und beobachte, wie Ober- und Untersumme den wahren Flächeninhalt einschließen. Je größer $n$, desto enger die Zange — und desto näher kommen beide Summen dem exakten Wert $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.

Funktion

Parameter

n 5

a 1

b 10

Einblenden

Obersumme Untersumme

—

Definition

Bestimmtes Integral

Das bestimmte Integral ist der gemeinsame Grenzwert von Ober- und Untersumme: $$\int_a^b f(x)\,dx \;=\; \lim_{n\to\infty} O_n \;=\; \lim_{n\to\infty} U_n$$

Bestandteile der Schreibweise

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$

$\displaystyle\int$ — Integralzeichen (gestrecktes „S" für Summe)
$a,\,b$ — untere und obere Integrationsgrenze
$f(x)$ — Integrand (die Funktion, deren Fläche berechnet wird)
$dx$ — Integrationsvariable; zeigt an, dass entlang der $x$-Achse summiert wird

So geht's

Wähle eine Funktion im Dropdown. Der Graph zeigt zunächst $O_n$ und $U_n$ bei $n=5$. Klicke „n wachsen lassen" — beobachte, wie die Rechtecke feiner werden und Ober- und Untersumme aufeinander zulaufen. Am Ende erscheint der exakte Wert des Integrals.

Funktion

Grenzwert

—

Zerlegungsregel

Zerlegung eines Integrals

Ein Integral kann in Teilstücke zerlegt werden: $$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$$ Stücke über der $x$-Achse tragen positiv bei, Stücke unter der $x$-Achse tragen negativ bei.

Grenzen

bis

Berechnung