Brücke · Warum braucht man eine Stammfunktion?
In Modul 1 haben wir den zurückgelegten Weg eines Fahrzeugs mit $v(t)=0{,}5\,t^2$ durch
Ober- und Untersummen angenähert. Das Ergebnis war: Je mehr Streifen, desto genauer — aber
niemals exakt, und der Rechenaufwand wächst ohne Ende.
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Ausgangslage: Der Weg ist die Fläche unter $v(t)=0{,}5\,t^2$.
Ober- und Untersummen liefern nur Näherungen — für den exakten Wert brauchen wir etwas anderes.
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Beobachtung aus Modul 1: Der exakte Weg bis zum Zeitpunkt $t$ war
$\displaystyle s(t)=\frac{t^3}{6}$.
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Probe durch Ableiten:
$s(t)=\dfrac{t^3}{6}$ ⟹ $s'(t)=3\cdot\dfrac{t^2}{6}=\dfrac{t^2}{2}=0{,}5\,t^2=v(t)$ ✓
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Schluss: Der Weg $s(t)$ ist eine Funktion, deren Ableitung
genau die Geschwindigkeit $v(t)$ ergibt. Für die exakte Fläche braucht man also keine Summen,
sondern eine Funktion, die „rückwärts abgeleitet" $v$ ergibt.
Kernidee
Die Fläche unter einer Kurve lässt sich exakt berechnen, wenn man eine Funktion findet,
deren Ableitung der Integrand ist.
Wie findet man so eine Funktion systematisch? → Das führt uns zur Stammfunktion.
Wie findet man so eine Funktion systematisch? → Das führt uns zur Stammfunktion.
Definition · Stammfunktion
Stammfunktion
$F$ heißt Stammfunktion von $f$ auf einem Intervall, wenn gilt:
$$F'(x) = f(x)$$
Zwei Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich nur um eine
Konstante $C \in \mathbb{R}$.
Unbestimmtes Integral
Die Menge aller Stammfunktionen von $f$ heißt unbestimmtes Integral:
$$\int f(x)\,dx = F(x) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$
Das unbestimmte Integral liefert keine Zahl, sondern eine Funktionsschar.
BeispielStammfunktion bestimmen und prüfen
$\displaystyle\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4}+C$
Probe: $\left(\dfrac{x^4}{4}+C\right)' = x^3$ ✓
Grundintegrale
Faktorregel
Regel
Ein konstanter Faktor darf vor das Integral gezogen werden:
$$\int c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int f(x)\,dx$$
BeispielFaktorregel
$\displaystyle\int 5x^2\,dx = 5\cdot\int x^2\,dx = 5\cdot\frac{x^3}{3}+C = $ $\dfrac{5x^3}{3}+C$
Summenregel
Regel
Eine Summe darf gliedweise integriert werden:
$$\int \bigl(f(x)+g(x)\bigr)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$$
BeispielSummenregel
$\displaystyle\int(3x^2+2x)\,dx = \int 3x^2\,dx + \int 2x\,dx = x^3 + x^2 + C$
Probe: $(x^3+x^2+C)' = 3x^2+2x$ ✓
Lineare Substitution
Regel
Für eine lineare innere Funktion $ax+b$ gilt:
$$\int f(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\cdot F(ax+b)+C$$
Der innere Faktor $a$ liefert $\dfrac{1}{a}$ als Vorfaktor.
Beispiel 1Potenz mit linearem Argument
$\displaystyle\int(2x+3)^4\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{(2x+3)^5}{5}+C = $ $\dfrac{(2x+3)^5}{10}+C$
Beispiel 2Exponentialfunktion
$\displaystyle\int e^{3x+1}\,dx = \frac{1}{3}\cdot e^{3x+1}+C = $ $\dfrac{e^{3x+1}}{3}+C$
Beispiel 3Sinusfunktion
$\displaystyle\int\sin(5x)\,dx = \frac{1}{5}\cdot(-\cos(5x))+C = $ $-\dfrac{\cos(5x)}{5}+C$
Achtung
Die lineare Substitution gilt nur für lineare innere Funktionen $ax+b$.
Für $\sin(x^2)$ oder $e^{x^2}$ benötigt man die allgemeine Substitution.
Rechenregeln — Übersicht
Aufgabe 1 · Grundintegrale — Stammfunktion bestimmen
AufgabeAllgemeine Stammfunktion angeben
a) $\displaystyle\int x^5\,dx$
b) $\displaystyle\int \sqrt{x}\,dx$
c) $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^3}\,dx$
d) $\displaystyle\int e^x\,dx$
e) $\displaystyle\int \sin(x)\,dx$
f) $\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx$
a) $\dfrac{x^6}{6}+C$
b) $\displaystyle\int x^{1/2}\,dx = \dfrac{x^{3/2}}{\tfrac{3}{2}}+C = \dfrac{2}{3}x^{3/2}+C = \dfrac{2}{3}\sqrt{x^3}+C$
c) $\displaystyle\int x^{-3}\,dx = \dfrac{x^{-2}}{-2}+C = -\dfrac{1}{2x^2}+C$
d) $e^x+C$
e) $-\cos(x)+C$
f) $\ln|x|+C$
Aufgabe 2 · Faktorregel
AufgabeFaktor vor das Integral ziehen
a) $\displaystyle\int 7x^3\,dx$
b) $\displaystyle\int 4\cos(x)\,dx$
c) $\displaystyle\int \dfrac{3}{x}\,dx$
d) $\displaystyle\int 5e^x\,dx$
a) $7\cdot\dfrac{x^4}{4}+C = \dfrac{7x^4}{4}+C$
b) $4\sin(x)+C$
c) $3\ln|x|+C$
d) $5e^x+C$
Aufgabe 3 · Summenregel
AufgabeGliedweise integrieren
a) $\displaystyle\int(x^2+4x-3)\,dx$
b) $\displaystyle\int(2\cos x - 5\sin x)\,dx$
c) $\displaystyle\int\!\left(3e^x + \dfrac{2}{x}\right)dx$
d) $\displaystyle\int(x^3 - 6x + 1)\,dx$
a) $\dfrac{x^3}{3}+2x^2-3x+C$
b) $2\sin x + 5\cos x + C$
c) $3e^x + 2\ln|x| + C$
d) $\dfrac{x^4}{4} - 3x^2 + x + C$
Aufgabe 4 · Lineare Substitution — Potenzfunktionen
AufgabeInnere Funktion $ax+b$
a) $\displaystyle\int(3x+2)^4\,dx$
b) $\displaystyle\int(1-2x)^5\,dx$
c) $\displaystyle\int\sqrt{4x-1}\,dx$
d) $\displaystyle\int\dfrac{1}{(2x+3)^2}\,dx$
a) $\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{(3x+2)^5}{5}+C = \dfrac{(3x+2)^5}{15}+C$
b) $\dfrac{1}{-2}\cdot\dfrac{(1-2x)^6}{6}+C = -\dfrac{(1-2x)^6}{12}+C$
c) $\displaystyle\int(4x-1)^{1/2}\,dx = \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{(4x-1)^{3/2}}{\tfrac{3}{2}}+C = \dfrac{(4x-1)^{3/2}}{6}+C$
d) $\displaystyle\int(2x+3)^{-2}\,dx = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(2x+3)^{-1}}{-1}+C = -\dfrac{1}{2(2x+3)}+C$
Aufgabe 5 · Lineare Substitution — Exponentialfunktionen
AufgabeExponentialfunktion mit linearem Argument
a) $\displaystyle\int e^{3x}\,dx$
b) $\displaystyle\int e^{-2x+1}\,dx$
c) $\displaystyle\int 4e^{2x}\,dx$
a) $\dfrac{e^{3x}}{3}+C$
b) $\dfrac{e^{-2x+1}}{-2}+C = -\dfrac{e^{-2x+1}}{2}+C$
c) $4\cdot\dfrac{e^{2x}}{2}+C = 2e^{2x}+C$
Aufgabe 6 · Lineare Substitution — Trigonometrie und $\tfrac{1}{x}$
Aufgabesin, cos und $\tfrac{1}{ax+b}$
a) $\displaystyle\int\sin(2x)\,dx$
b) $\displaystyle\int\cos(3x-1)\,dx$
c) $\displaystyle\int\dfrac{1}{4x+5}\,dx$
d) $\displaystyle\int\dfrac{3}{2x-1}\,dx$
a) $-\dfrac{\cos(2x)}{2}+C$
b) $\dfrac{\sin(3x-1)}{3}+C$
c) $\dfrac{\ln|4x+5|}{4}+C$
d) $3\cdot\dfrac{\ln|2x-1|}{2}+C = \dfrac{3}{2}\ln|2x-1|+C$
Aufgabe 7 · Kombination der Regeln
AufgabeMehrere Regeln kombinieren
a) $\displaystyle\int\!\left(2(3x+1)^3 + 5e^{-x}\right)dx$
b) $\displaystyle\int\!\left(3\sin(2x) + \dfrac{4}{x}\right)dx$
c) $\displaystyle\int\!\left(x^2 - 3\cos(2x) + e^{4x}\right)dx$
a) $2\cdot\dfrac{(3x+1)^4}{12} + 5\cdot\dfrac{e^{-x}}{-1}+C = \dfrac{(3x+1)^4}{6} - 5e^{-x}+C$
b) $3\cdot\left(-\dfrac{\cos(2x)}{2}\right) + 4\ln|x|+C = -\dfrac{3}{2}\cos(2x) + 4\ln|x|+C$
c) $\dfrac{x^3}{3} - \dfrac{3\sin(2x)}{2} + \dfrac{e^{4x}}{4}+C$
Aufgabe 8 · Stammfunktion prüfen
AufgabeAbleiten als Probe
Zeige durch Ableiten, dass $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist:
a) $F(x)=\dfrac{(2x+1)^5}{10}$, $f(x)=(2x+1)^4$
b) $F(x)=-\dfrac{\cos(3x)}{3}$, $f(x)=\sin(3x)$
c) $F(x)=x\cdot e^x - e^x$, $f(x)=x\cdot e^x$
a) $F'(x)=\dfrac{5(2x+1)^4\cdot 2}{10} = (2x+1)^4 = f(x)$ ✓
b) $F'(x)=-\dfrac{-\sin(3x)\cdot 3}{3} = \sin(3x) = f(x)$ ✓
c) $F'(x)=e^x + x\cdot e^x - e^x = x\cdot e^x = f(x)$ ✓ (Produktregel)
Weiter → Integralrechnung III
Im nächsten Modul: Bestimmtes Integral und Hauptsatz — wie Stammfunktionen genutzt werden,
um Flächen und Größen exakt zu berechnen.
$$\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b)-F(a)$$
Quiz · Unbestimmtes Integral
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