Integralrechnung Analysis · Klasse 11/12 · Teil II
Stammfunktion
Definition
$F$ heißt Stammfunktion von $f$ auf einem Intervall, wenn gilt: $$F'(x) = f(x)$$ Zwei Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich nur um eine Konstante $C \in \mathbb{R}$. Die allgemeine Stammfunktion lautet: $$F(x) + C$$
Unbestimmtes Integral
Definition
Das unbestimmte Integral bezeichnet die Menge aller Stammfunktionen von $f$: $$\int f(x)\,dx = F(x) + C, \quad C \in \mathbb{R}$$ Es hat keine Grenzen — das Ergebnis ist eine Funktionenschar, keine Zahl.
Rechenregeln für unbestimmte Integrale
Faktorregel
Ein konstanter Faktor darf vor das Integral gezogen werden: $$\int c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int f(x)\,dx$$
Summenregel
Eine Summe darf gliedweise integriert werden: $$\int \bigl(f(x)+g(x)\bigr)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$$
Lineare Substitution
Für eine lineare innere Funktion $ax+b$ gilt (dabei ist $F$ Stammfunktion von $f$, d. h. $F'=f$): $$\int f(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\cdot F(ax+b)+C$$ Der innere Faktor $a$ liefert $\dfrac{1}{a}$ als Vorfaktor.
Achtung
Die lineare Substitution gilt nur für lineare innere Funktionen $ax+b$. Für $\sin(x^2)$ oder $e^{x^2}$ benötigt man die allgemeine Substitution.
Tabelle der Grundintegrale
Funktion $f(x)$$\displaystyle\int f(x)\,dx$Bedingung
$c$ (Konstante)$cx+C$—
$x^n$$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$$n \neq -1$
$\dfrac{1}{x}$$\ln|x|+C$$x \neq 0$
$e^x$$e^x+C$—
$a^x$$\dfrac{a^x}{\ln a}+C$$a>0,\;a\neq 1$
$\sin x$$-\cos x+C$—
$\cos x$$\sin x+C$—
$\dfrac{1}{\cos^2 x}$$\tan x+C$—
Anwendung — Faktorregel und Summenregel
Beispiel 1Faktorregel: Potenz
$\displaystyle\int 4x^3\,dx = 4\cdot\dfrac{x^4}{4}+C = $ $x^4+C$
Beispiel 2Summenregel: Potenz und Konstante
$\displaystyle\int(x^2+3)\,dx = \dfrac{x^3}{3}+3x+C$
Beispiel 3Faktor- und Summenregel kombiniert
$\displaystyle\int(3x^2+2x)\,dx = \int 3x^2\,dx+\int 2x\,dx = x^3+x^2+C$
Anwendung — Lineare Substitution
Beispiel 1Potenz: $(ax+b)^n$
$\displaystyle\int(2x+3)^4\,dx = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(2x+3)^5}{5}+C = $ $\dfrac{(2x+3)^5}{10}+C$
Beispiel 2Exponentialfunktion: $e^{ax+b}$
$\displaystyle\int e^{3x+1}\,dx = \dfrac{1}{3}\cdot e^{3x+1}+C = $ $\dfrac{e^{3x+1}}{3}+C$
Beispiel 3Sinusfunktion: $\sin(ax+b)$
$\displaystyle\int\sin(5x)\,dx = \dfrac{1}{5}\cdot(-\cos(5x))+C = $ $-\dfrac{\cos(5x)}{5}+C$
Beispiel 4Kosinusfunktion: $\cos(ax+b)$
$\displaystyle\int\cos(3x-1)\,dx = \dfrac{1}{3}\cdot\sin(3x-1)+C = $ $\dfrac{\sin(3x-1)}{3}+C$
Beispiel 5$\dfrac{1}{ax+b}$ — Kehrwert
$\displaystyle\int\dfrac{1}{2x+1}\,dx = \dfrac{1}{2}\cdot\ln|2x+1|+C = $ $\dfrac{\ln|2x+1|}{2}+C$
Beispiel 6Kombination: Faktor- und Substitutionsregel
$\displaystyle\int 3\sin(2x)\,dx = 3\cdot\dfrac{1}{2}\cdot(-\cos(2x))+C = $ $-\dfrac{3\cos(2x)}{2}+C$
Beispiel 7Kombination: Summen- und Substitutionsregel
$\displaystyle\int\!\bigl(e^{2x}+\cos(3x)\bigr)\,dx = \dfrac{e^{2x}}{2}+\dfrac{\sin(3x)}{3}+C$
Wiederholung: Definition
Bestimmtes Integral (Modul 1)
Das bestimmte Integral ist der gemeinsame Grenzwert von Ober- und Untersumme: $$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty} O_n = \lim_{n\to\infty} U_n$$ Das Ergebnis ist eine Zahl — der orientierte Flächeninhalt zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse über $[a,b]$. Flächen oberhalb der $x$-Achse zählen positiv, Flächen unterhalb negativ.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Satz
Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$ auf $[a,b]$, dann gilt: $$\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$$ Man braucht keine Summen mehr zu berechnen — es genügt, eine Stammfunktion zu finden.
BeispielHauptsatz anwenden
$\displaystyle\int_1^3 x^2\,dx = \Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]_1^3 = \dfrac{27}{3} - \dfrac{1}{3} = $ $\dfrac{26}{3} \approx 8{,}67$
Interaktiv: Schrittweise Berechnung
Funktion
Untere Grenze
a
Obere Grenze
b
Regeln mit Stammfunktionen
Hinweis
Die folgenden Regeln gelten zuerst für unbestimmte Integrale — sie funktionieren genauso bei bestimmten Integralen, indem man die Grenzen $a$ und $b$ beibehält.
Faktorregel
$$\int_a^b c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_a^b f(x)\,dx$$
BeispielFaktorregel
$\displaystyle\int_1^3 5x^2\,dx = 5\cdot\int_1^3 x^2\,dx = 5\cdot\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^3 = 5\cdot\dfrac{26}{3} = $ $\dfrac{130}{3} \approx 43{,}3$
Summenregel
$$\int_a^b \bigl(f(x)+g(x)\bigr)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$$
BeispielSummenregel
$\displaystyle\int_0^2(3x^2+2x)\,dx = \int_0^2 3x^2\,dx + \int_0^2 2x\,dx$
$= 3\cdot\Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]_0^2 + 2\cdot\Big[\dfrac{x^2}{2}\Big]_0^2 = 3\cdot\dfrac{8}{3} + 2\cdot 2 = 8 + 4 = $ $12$
Lineare Substitution
$$\int_a^b f(cx+d)\,dx = \frac{1}{c}\cdot\Big[F(cx+d)\Big]_a^b$$
BeispielLineare Substitution bestimmt
$\displaystyle\int_0^1(2x+1)^3\,dx = \Big[\dfrac{(2x+1)^4}{8}\Big]_0^1 = \dfrac{81}{8} - \dfrac{1}{8} = $ $10$
Regeln mit Grenzwerten
Grenzen vertauschen
$$\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$$
Gleiche Grenzen
$$\int_a^a f(x)\,dx = 0$$
Zerlegungsregel
Für $a \le c \le b$ gilt: $$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$$
Übersicht aller Rechenregeln
RegelFormel
Mit Stammfunktionen
Faktorregel$\displaystyle\int_a^b c\cdot f\,dx = c\cdot\int_a^b f\,dx$
Summenregel$\displaystyle\int_a^b(f+g)\,dx = \int_a^b f\,dx+\int_a^b g\,dx$
Lineare Substitution$\displaystyle\int_a^b f(cx+d)\,dx = \tfrac{1}{c}\bigl[F(cx+d)\bigr]_a^b$
Mit Grenzwerten
Grenzen vertauschen$\displaystyle\int_a^b f\,dx = -\int_b^a f\,dx$
Gleiche Grenzen$\displaystyle\int_a^a f\,dx = 0$
Zerlegung$\displaystyle\int_a^b f\,dx = \int_a^c f\,dx + \int_c^b f\,dx\quad(a\le c\le b)$
Aufgabe 1 · Grundintegrale
AufgabeBestimmte Integrale berechnen
a)  $\displaystyle\int_1^4 x^2\,dx$
b)  $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin(x)\,dx$
c)  $\displaystyle\int_{-1}^{2}(3x^2-2x+1)\,dx$
d)  $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx$
a)  $\Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_1^4 = \tfrac{64}{3}-\tfrac{1}{3} = 21$
b)  $\Big[-\cos x\Big]_0^{\pi} = 1+1 = 2$
c)  $\Big[x^3-x^2+x\Big]_{-1}^{2} = 6-(-3) = 9$
d)  $\Big[e^x\Big]_0^1 = e-1 \approx 1{,}718$
Aufgabe 2 · Faktorregel und Summenregel
AufgabeRechenregeln anwenden
a)  $\displaystyle\int_1^3 5x^2\,dx$
b)  $\displaystyle\int_0^2(3x^2+2x)\,dx$
c)  $\displaystyle\int_0^{\pi/2}(2\sin x + 3\cos x)\,dx$
a)  $5\cdot\Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_1^3 = 5\cdot\tfrac{26}{3} = \tfrac{130}{3}$
b)  $\Big[x^3+x^2\Big]_0^2 = 12$
c)  $\Big[-2\cos x+3\sin x\Big]_0^{\pi/2} = (0+3)-(-2+0) = 5$
Aufgabe 3 · Lineare Substitution
AufgabeStammfunktion bestimmen
a)  $\displaystyle\int(3x-1)^5\,dx$
b)  $\displaystyle\int e^{2x-1}\,dx$
c)  $\displaystyle\int\cos(4x)\,dx$
d)  $\displaystyle\int_0^1(2x+1)^3\,dx$
a)  $\dfrac{(3x-1)^6}{18}+C$
b)  $\dfrac{e^{2x-1}}{2}+C$
c)  $\dfrac{\sin(4x)}{4}+C$
d)  $\Big[\dfrac{(2x+1)^4}{8}\Big]_0^1 = \dfrac{81}{8}-\dfrac{1}{8} = 10$
Aufgabe 4 · Sachaufgabe Weg–Zeit
AufgabeGeschwindigkeit $v(t)=-t^2+6t$ in m/s
a)  Nullstellen von $v(t)$ — physikalische Bedeutung?
b)  Zurückgelegter Weg von $t=0$ bis $t=6\,\text{s}$.
c)  Wann ist die Geschwindigkeit maximal? Wie groß?
a)  $t(-t+6)=0 \Rightarrow t_1=0,\;t_2=6\,\text{s}$ — Fahrzeug startet und steht wieder.
b)  $\displaystyle\int_0^6(-t^2+6t)\,dt = \Big[-\tfrac{t^3}{3}+3t^2\Big]_0^6 = -72+108 = 36\,\text{m}$
c)  $v'(t)=-2t+6=0 \Rightarrow t=3\,\text{s}$,  $v(3)=9\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$
Quiz
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