Wiederholung · Bestimmtes Integral
Definition (Wiederholung aus Modul I)
Das bestimmte Integral von $f$ über $[a,b]$ ist der Grenzwert der Ober- und Untersummen:
$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\cdot\Delta x$$
$a$ heißt untere Grenze, $b$ heißt obere Grenze.
Das Ergebnis ist eine reelle Zahl — die orientierte Fläche zwischen Graph und $x$-Achse.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Hauptsatz
Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$ auf $[a,b]$, dann gilt:
$$\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$$
Der Hauptsatz verbindet Differentiation und Integration:
Man braucht keine Summen mehr — es genügt, eine Stammfunktion zu finden und einzusetzen.
Schreibweise
Die eckige Klammer $\Big[F(x)\Big]_a^b$ bedeutet: Man setzt die obere Grenze $b$ und die untere Grenze $a$ jeweils in die Stammfunktion $F$ ein und bildet die Differenz $F(b) - F(a)$.
$$\Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$$
Die Integrationskonstante $C$ fällt dabei heraus: $F(b)+C - (F(a)+C) = F(b)-F(a)$.
Besteht $F(x)$ aus mehreren Termen (Summe oder Differenz), setzt man $F(b)$ und $F(a)$ jeweils vollständig in Klammern und löst diese danach sauber auf — besonders wichtig ist das Minuszeichen vor der zweiten Klammer.
Beispiele
Beispiel 1Potenzfunktion
$\displaystyle\int_1^4 x^2\,dx$
1
Stammfunktion: $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$
2
Einsetzen: $\Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]_1^4 = \dfrac{64}{3} - \dfrac{1}{3}$
3
Ergebnis: $= \dfrac{63}{3} = 21$
Beispiel 2Sinusfunktion
$\displaystyle\int_0^{\pi}\sin(x)\,dx$
1
Stammfunktion: $F(x)=-\cos(x)$
2
Einsetzen: $\Big[-\cos(x)\Big]_0^{\pi} = (-\cos\pi)-(-\cos 0) = 1+1$
3
Ergebnis: $= 2$
Beispiel 3Polynom
$\displaystyle\int_{-1}^{2}(3x^2-2x+1)\,dx$
1
Stammfunktion: $F(x)=x^3-x^2+x$
2
Einsetzen: $\Big[x^3-x^2+x\Big]_{-1}^{2} = \big(2^3-2^2+2\big)-\big((-1)^3-(-1)^2+(-1)\big)$
3
Klammern auflösen: $= (8-4+2)-(-1-1-1) = 6-(-3)$
4
Ergebnis: $= 9$
Schrittweise Berechnung · Interaktiv
Funktion $f(x)$
Untere Grenze a
0
Obere Grenze b
3
Hinweis
Faktorregel, Summenregel und Lineare Substitution gelten unverändert auch für bestimmte Integrale —
die Grenzen $a$ und $b$ werden einfach mitgeführt.
Faktorregel
Regel
$$\int_a^b c\cdot f(x)\,dx = c\cdot\int_a^b f(x)\,dx$$
BeispielFaktorregel angewendet
$\displaystyle\int_1^3 5x^2\,dx = 5\cdot\int_1^3 x^2\,dx = 5\cdot\Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]_1^3 = 5\cdot\dfrac{26}{3} = $ $\dfrac{130}{3}$
Summenregel
Regel
$$\int_a^b\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$$
BeispielSummenregel angewendet
$\displaystyle\int_0^2(3x^2+2x)\,dx = \Big[x^3+x^2\Big]_0^2 = (8+4)-0 = $ $12$
Lineare Substitution
Regel
$$\int_a^b f(cx+d)\,dx = \frac{1}{c}\cdot\Big[F(cx+d)\Big]_a^b$$
Die Grenzen bleiben unverändert — man setzt sie in die fertige Stammfunktion ein.
BeispielLineare Substitution angewendet
$\displaystyle\int_0^1(2x+1)^3\,dx = \Big[\dfrac{(2x+1)^4}{8}\Big]_0^1 = \dfrac{81}{8}-\dfrac{1}{8} = $ $10$
Regeln mit Grenzen
Grenzen vertauschen
$$\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$$
Gleiche Grenzen
$$\int_a^a f(x)\,dx = 0$$
Zerlegung ($a \leq c \leq b$)
$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$$
BeispielZerlegung
$\displaystyle\int_{-1}^{3}|x|\,dx = \int_{-1}^{0}(-x)\,dx + \int_0^3 x\,dx = \Big[-\dfrac{x^2}{2}\Big]_{-1}^0 + \Big[\dfrac{x^2}{2}\Big]_0^3 = \dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{2} = $ $5$
Übersicht
Aufgabe 1 · Hauptsatz direkt anwenden
AufgabeBestimmte Integrale berechnen
a) $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx$
b) $\displaystyle\int_0^{\pi}\cos(x)\,dx$
c) $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx$
d) $\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx$
a) $\Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]_0^3 = 9 - 0 = 9$
b) $\Big[\sin x\Big]_0^{\pi} = \sin\pi - \sin 0 = 0$
c) $\Big[e^x\Big]_0^1 = e - 1 \approx 1{,}718$
d) $\Big[\ln|x|\Big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$
Aufgabe 2 · Faktorregel und Summenregel
AufgabeMit Faktor- und Summenregel berechnen
a) $\displaystyle\int_1^3 5x^2\,dx$
b) $\displaystyle\int_0^2(3x^2+2x)\,dx$
c) $\displaystyle\int_0^{\pi/2}(2\sin x + 3\cos x)\,dx$
d) $\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^3 + 2x)\,dx$
a) $5\cdot\Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]_1^3 = 5\cdot\dfrac{26}{3} = \dfrac{130}{3}$
b) $\Big[x^3+x^2\Big]_0^2 = 12$
c) $\Big[-2\cos x+3\sin x\Big]_0^{\pi/2} = (0+3)-(-2+0) = 5$
d) $\Big[\dfrac{x^4}{4}+x^2\Big]_{-1}^1 = \dfrac{5}{4} - \dfrac{5}{4} = 0$ (punktsymmetrisch)
Aufgabe 3 · Lineare Substitution
AufgabeStammfunktion bestimmen, Grenzen einsetzen
a) $\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,dx$
b) $\displaystyle\int_0^{\pi/6}\cos(3x)\,dx$
c) $\displaystyle\int_0^1(2x+1)^3\,dx$
d) $\displaystyle\int_0^2\dfrac{1}{x+1}\,dx$
a) $\Big[\dfrac{e^{2x}}{2}\Big]_0^1 = \dfrac{e^2}{2}-\dfrac{1}{2} = \dfrac{e^2-1}{2}$
b) $\Big[\dfrac{\sin(3x)}{3}\Big]_0^{\pi/6} = \dfrac{\sin(\pi/2)}{3}-0 = \dfrac{1}{3}$
c) $\Big[\dfrac{(2x+1)^4}{8}\Big]_0^1 = \dfrac{81}{8}-\dfrac{1}{8} = 10$
d) $\Big[\ln|x+1|\Big]_0^2 = \ln 3 - \ln 1 = \ln 3$
Aufgabe 4 · Grenzen-Regeln
AufgabeEigenschaften des Integrals nutzen
a) Gegeben: $\displaystyle\int_1^5 f(x)\,dx = 7$. Berechne $\displaystyle\int_5^1 f(x)\,dx$.
b) Gegeben: $\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx = 4$ und $\displaystyle\int_0^5 f(x)\,dx = 9$. Berechne $\displaystyle\int_3^5 f(x)\,dx$.
c) Berechne $\displaystyle\int_2^2(x^{10}+\sin x)\,dx$.
a) $\displaystyle\int_5^1 f(x)\,dx = -\int_1^5 f(x)\,dx = -7$
b) $\displaystyle\int_3^5 f(x)\,dx = \int_0^5 f(x)\,dx - \int_0^3 f(x)\,dx = 9-4 = 5$
c) $0$ — gleiche Grenzen.
Aufgabe 5 · Integral eines Polynoms
AufgabeAlle Schritte aufschreiben
Berechne $\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^3-3x)\,dx$ und erkläre das Ergebnis geometrisch.
$\displaystyle\Big[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{3x^2}{2}\Big]_{-2}^{2} = \left(4-6\right)-\left(4-6\right) = -2-(-2) = 0$
$f(x)=x^3-3x$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Die positiven und negativen Flächenanteile heben sich auf — das orientierte Integral ist $0$.
Aufgabe 6 · Zerlegung
AufgabeIntegral mit Vorzeichenwechsel
Berechne den Flächeninhalt zwischen $f(x)=x^2-4$ und der $x$-Achse auf $[-2;\,3]$.
Hinweis: Nullstellen bestimmen, Vorzeichen beachten.
Nullstellen: $x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2$
Auf $[-2;2]$: $f(x)\leq 0$, auf $[2;3]$: $f(x)\geq 0$
$A = \left|\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^2-4)\,dx\right| + \int_2^3(x^2-4)\,dx$
$= \left|\Big[\dfrac{x^3}{3}-4x\Big]_{-2}^{2}\right| + \Big[\dfrac{x^3}{3}-4x\Big]_2^3$
$= \left|\left(\dfrac{8}{3}-8\right)-\left(-\dfrac{8}{3}+8\right)\right| + \left(\dfrac{27}{3}-12\right)-\left(\dfrac{8}{3}-8\right)$
$= \left|-\dfrac{32}{3}\right| + \dfrac{7}{3} = \dfrac{32}{3}+\dfrac{7}{3} = $ $\dfrac{39}{3} = 13$
Aufgabe 7 · Sachaufgabe Weg–Zeit
AufgabeBewegung eines Fahrzeugs
Ein Fahrzeug bewegt sich mit der Geschwindigkeit $v(t)=-t^2+6t$ (in m/s, $t$ in Sekunden, $t\geq 0$).
a) Bestimme die Nullstellen von $v(t)$ und deute ihre Bedeutung im Sachzusammenhang.
b) Berechne den in der Zeit von $t=0$ bis $t=6\,\text{s}$ zurückgelegten Weg.
c) Bestimme, wann die Geschwindigkeit maximal ist, und berechne diesen Maximalwert.
a) $t(-t+6)=0 \Rightarrow t_1=0,\;t_2=6\,\text{s}$ — Fahrzeug startet und steht wieder.
b) $\displaystyle\int_0^6(-t^2+6t)\,dt = \Big[-\tfrac{t^3}{3}+3t^2\Big]_0^6 = -72+108 = 36\,\text{m}$
c) $v'(t)=-2t+6=0 \Rightarrow t=3\,\text{s}$, $v(3)=9\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$
Aufgabe 8 · Sachaufgabe Wachstum
AufgabeZuwachs als Integral
Eine Pflanze wächst mit der Rate $w(t)=3\sqrt{t}$ cm/Woche. Wie viel wächst sie in den Wochen 1 bis 4?
$\displaystyle\int_1^4 3\sqrt{t}\,dt = 3\int_1^4 t^{1/2}\,dt = 3\cdot\Big[\dfrac{2}{3}t^{3/2}\Big]_1^4 = 2\Big[t^{3/2}\Big]_1^4$
$= 2\cdot(8-1) = $ $14\,\text{cm}$
Quiz · Bestimmtes Integral
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