Wiederholung · Oberhalb plus, unterhalb minus
Aus Modul 1 und 3
Das bestimmte Integral zählt Flächenstücke oberhalb der $x$-Achse positiv und Flächenstücke unterhalb negativ.
Für den Flächeninhalt zählt jedes Stück positiv. Deshalb muss man dort teilen, wo der Graph die $x$-Achse schneidet: Jedes Teilstück bekommt sein eigenes Integral, und von jedem nimmt man den Betrag.
In diesem Modul wird die $x$-Achse Schritt für Schritt durch eine beliebige Gerade und dann durch einen zweiten Graphen ersetzt.
Stufe 1 · Fläche zwischen Graph und x-Achse
Beispiel 1Fläche mit Vorzeichenwechsel berechnen
Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f(x)=x^3-4x$ im Intervall $[-2;3]$ mit der $x$-Achse einschließt.
1
Schnittstellen mit der $x$-Achse bestimmen, also $f(x)=0$ lösen:
$x^3-4x=x\,(x-2)(x+2)=0 \;\Rightarrow\; x=-2,\; x=0,\; x=2$
2
Teilintervalle festlegen: $[-2;0]$, $[0;2]$ und $[2;3]$. Auf jedem Teilintervall hat $f$ ein festes Vorzeichen.
3
Stammfunktion: $F(x)=\dfrac{x^4}{4}-2x^2$
$\displaystyle\int_{-2}^{0}f(x)\,dx=\Big[\dfrac{x^4}{4}-2x^2\Big]_{-2}^{0}=0-\left(\dfrac{(-2)^4}{4}-2\cdot(-2)^2\right)=0-(4-8)=4$ (oberhalb der $x$-Achse)
$\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx=\Big[\dfrac{x^4}{4}-2x^2\Big]_{0}^{2}=\left(\dfrac{2^4}{4}-2\cdot 2^2\right)-0=4-8=-4$ (unterhalb der $x$-Achse)
$\displaystyle\int_{2}^{3}f(x)\,dx=\Big[\dfrac{x^4}{4}-2x^2\Big]_{2}^{3}=\left(\dfrac{3^4}{4}-2\cdot 3^2\right)-\left(\dfrac{2^4}{4}-2\cdot 2^2\right)=\dfrac{9}{4}-(-4)=\dfrac{25}{4}=6{,}25$ (oberhalb der $x$-Achse)
4
Beträge addieren: $A=|4|+|-4|+|6{,}25|=$ $14{,}25$ FE
Zum Vergleich: Das Integral über das ganze Intervall wäre $\displaystyle\int_{-2}^{3}f(x)\,dx=\Big[\dfrac{x^4}{4}-2x^2\Big]_{-2}^{3}=\dfrac{9}{4}-(-4)=6{,}25$. Das ist nicht der Flächeninhalt, weil sich die Stücke gegenseitig aufheben.
Stufe 2 · Die x-Achse wird zur waagerechten Geraden
Beispiel 2Querschnitt eines Kanals berechnen
Ein Kanal hat einen parabelförmigen Querschnitt mit dem Profil $f(x)=0{,}5x^2$ (Maße in m). Der Wasserspiegel liegt auf Höhe $y=2$, also auf der Geraden $g(x)=2$. Bestimme den Flächeninhalt des wassergefüllten Querschnitts.
1
Schnittstellen von Profil und Wasserspiegel: $f(x)=g(x)$, also $0{,}5x^2=2 \;\Rightarrow\; x^2=4 \;\Rightarrow\; x=-2,\; x=2$
2
Differenzfunktion bilden: $d(x)=f(x)-g(x)=0{,}5x^2-2$. Sie ist genau das, was in Beispiel 1 die Funktion $f$ war, nur mit der Geraden statt der $x$-Achse.
3
Stammfunktion: $D(x)=\dfrac{x^3}{6}-2x$
$\displaystyle\int_{-2}^{2}d(x)\,dx=\Big[\dfrac{x^3}{6}-2x\Big]_{-2}^{2}=\left(\dfrac{2^3}{6}-2\cdot 2\right)-\left(\dfrac{(-2)^3}{6}-2\cdot(-2)\right)=\left(\dfrac{4}{3}-4\right)-\left(-\dfrac{4}{3}+4\right)=-\dfrac{16}{3}$
4
Das Ergebnis ist negativ, weil der Wasserspiegel oberhalb des Profils liegt. Der Flächeninhalt ist der Betrag: $A=\left|-\dfrac{16}{3}\right|=$ $\dfrac{16}{3}\approx 5{,}33\ \text{m}^2$
Stufe 3 · Die Gerade wird schräg
Beispiel 3Fläche zwischen Hang und Weg berechnen
Ein Hang hat das Profil $f(x)=-x^2+4x$ (Maße in m). Ein gerader Weg verläuft entlang $g(x)=x$. Zwischen Hang und Weg liegt Erdreich, das abgetragen werden soll. Berechne den Flächeninhalt dieses Querschnitts.
1
Schnittstellen: $f(x)=g(x)$, also $-x^2+4x=x$
$-x^2+3x=0 \;\Rightarrow\; x\,(3-x)=0 \;\Rightarrow\; x=0,\; x=3$
2
Differenzfunktion: $d(x)=f(x)-g(x)=-x^2+3x$. Auf $(0;3)$ ist $d(1)=2>0$, der Hang liegt also überall über dem Weg. Es ist keine Teilung nötig.
3
Stammfunktion: $D(x)=-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3x^2}{2}$
$\displaystyle\int_{0}^{3}d(x)\,dx=\Big[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3x^2}{2}\Big]_{0}^{3}=\left(-\dfrac{3^3}{3}+\dfrac{3\cdot 3^2}{2}\right)-\left(-\dfrac{0^3}{3}+\dfrac{3\cdot 0^2}{2}\right)=\left(-9+\dfrac{27}{2}\right)-0=\dfrac{9}{2}$
4
Der Querschnitt hat den Flächeninhalt $A=4{,}5\ \text{m}^2$.
Das Verfahren
Fläche zwischen Graph und Gerade
1. Differenzfunktion bilden: $d(x)=f(x)-g(x)$. Für die $x$-Achse ist $g(x)=0$, also $d(x)=f(x)$.
2. Schnittstellen bestimmen: $d(x)=0$ lösen.
3. Teilintervalle festlegen: die Grenzen $a$ und $b$ und alle Schnittstellen dazwischen.
4. Auf jedem Teilintervall $[x_k;x_{k+1}]$ mit einer Stammfunktion $D$ von $d$ rechnen: $D(x_{k+1})-D(x_k)$.
5. Die Beträge addieren:
$$A=\sum_k\left|\int_{x_k}^{x_{k+1}}\big(f(x)-g(x)\big)\,dx\right|$$
Von der Geraden zum zweiten Graphen
Das Verfahren bleibt gleich
Ob $g$ die $x$-Achse, eine Gerade oder selbst ein Graph ist: Man arbeitet immer mit der Differenzfunktion $d(x)=f(x)-g(x)$. Die Schnittstellen von $f$ und $g$ sind die Nullstellen von $d$. Sie teilen das Intervall in Stücke, auf denen immer derselbe Graph oben liegt.
Beispiele
Beispiel 4Fläche eines Logos berechnen
Das Logo einer Firma wird von zwei Parabelbögen begrenzt: $f(x)=-x^2+4$ und $g(x)=x^2-2x$ (1 LE entspricht 1 cm). Berechne den Flächeninhalt des Logos.
1
Schnittstellen: $f(x)=g(x)$, also $-x^2+4=x^2-2x$
$0=2x^2-2x-4 \;\Rightarrow\; x^2-x-2=0 \;\Rightarrow\; (x-2)(x+1)=0 \;\Rightarrow\; x=-1,\; x=2$
2
Differenzfunktion: $d(x)=f(x)-g(x)=-2x^2+2x+4$. Es ist $d(0)=4>0$: Auf $(-1;2)$ liegt $f$ über $g$. Eine Teilung ist nicht nötig.
3
Stammfunktion: $D(x)=-\dfrac{2}{3}x^3+x^2+4x$
$\displaystyle\int_{-1}^{2}d(x)\,dx=\Big[-\dfrac{2}{3}x^3+x^2+4x\Big]_{-1}^{2}$
$=\left(-\dfrac{2}{3}\cdot 2^3+2^2+4\cdot 2\right)-\left(-\dfrac{2}{3}\cdot(-1)^3+(-1)^2+4\cdot(-1)\right)$
$=\left(-\dfrac{16}{3}+12\right)-\left(\dfrac{2}{3}+1-4\right)=\dfrac{20}{3}-\left(-\dfrac{7}{3}\right)=\dfrac{27}{3}=9$
4
Das Logo hat den Flächeninhalt $A=9\ \text{cm}^2$.
Beispiel 5Fläche bei drei Schnittstellen berechnen
Berechne den Inhalt der Fläche, die die Graphen von $f(x)=x^3-2x$ und $g(x)=x^2$ vollständig einschließen.
1
Schnittstellen: $x^3-2x=x^2 \;\Rightarrow\; x^3-x^2-2x=0 \;\Rightarrow\; x\,(x^2-x-2)=0$
$x\,(x-2)(x+1)=0 \;\Rightarrow\; x=-1,\; x=0,\; x=2$
2
Differenzfunktion: $d(x)=x^3-x^2-2x$. Zwei Teilintervalle: $[-1;0]$ und $[0;2]$.
Vorzeichen prüfen: $d(-0{,}5)=0{,}625>0$ ($f$ oben), $d(1)=-2\lt 0$ ($g$ oben)
3
Stammfunktion: $D(x)=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^3}{3}-x^2$
$\displaystyle\int_{-1}^{0}d(x)\,dx=\Big[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^3}{3}-x^2\Big]_{-1}^{0}=0-\left(\dfrac{(-1)^4}{4}-\dfrac{(-1)^3}{3}-(-1)^2\right)=0-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-1\right)=\dfrac{5}{12}$
$\displaystyle\int_{0}^{2}d(x)\,dx=\Big[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^3}{3}-x^2\Big]_{0}^{2}=\left(\dfrac{2^4}{4}-\dfrac{2^3}{3}-2^2\right)-0=\left(4-\dfrac{8}{3}-4\right)=-\dfrac{8}{3}$
4
Beträge addieren: $A=\dfrac{5}{12}+\left|-\dfrac{8}{3}\right|=\dfrac{5}{12}+\dfrac{32}{12}=$ $\dfrac{37}{12}\approx 3{,}08$ FE
Ohne Teilung hätte man $\displaystyle\int_{-1}^{2}d(x)\,dx=\Big[D(x)\Big]_{-1}^{2}=-\dfrac{9}{4}$ erhalten. Das ist nicht der Flächeninhalt.
Beispiel 6Fläche zwischen Sinus und Kosinus berechnen
Die Graphen von $f(x)=\sin(x)$ und $g(x)=\cos(x)$ schließen im Intervall $[0;2\pi]$ eine Fläche ein. Berechne ihren Inhalt.
1
Schnittstellen: $\sin(x)=\cos(x) \;\Rightarrow\; \tan(x)=1$
Im Intervall $[0;2\pi]$ gilt das für $x=\dfrac{\pi}{4}$ und $x=\dfrac{5\pi}{4}$.
2
Differenzfunktion: $d(x)=\sin(x)-\cos(x)$. Es ist $d(\pi)=0-(-1)=1>0$: Zwischen den Schnittstellen liegt $f$ über $g$.
3
Stammfunktion: $D(x)=-\cos(x)-\sin(x)$
$\displaystyle\int_{\pi/4}^{5\pi/4}d(x)\,dx=\Big[-\cos(x)-\sin(x)\Big]_{\pi/4}^{5\pi/4}$
$=\left(-\cos\dfrac{5\pi}{4}-\sin\dfrac{5\pi}{4}\right)-\left(-\cos\dfrac{\pi}{4}-\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$
$=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)-\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}-(-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$
4
Das Integral ist positiv, $f$ liegt über $g$. Also ist $A=$ $2\sqrt{2}\approx 2{,}83$ FE
Typische Fehler
Darauf achten
Schnittstelle vergessen. Liegt eine Schnittstelle zwischen den Grenzen, muss dort geteilt werden. Sonst heben sich positive und negative Beiträge auf.
Lösung der Gleichung unvollständig. Bei Gleichungen dritten Grades gibt es bis zu drei Schnittstellen. Man prüft alle, die im Intervall liegen.
Vorzeichen. Ein negatives Teilergebnis ist kein Fehler. Es zeigt nur, dass $g$ über $f$ liegt. Für den Flächeninhalt zählt der Betrag.
Beispiele · Bekannte Formen und Integral
Beispiel 7Torfläche aus Rechteck und Bogenstück berechnen
Ein Tor besteht aus einem Rechteck, 6 m breit und 3 m hoch, mit einem Bogenstück darauf. Der Bogen wird durch $f(x)=-0{,}5x^2+5$ beschrieben (Maße in m, die $x$-Achse ist der Boden, die Mitte des Tors liegt bei $x=0$). Der Bogen ist schmaler als das Rechteck und setzt auf dessen Oberkante auf. Berechne den Flächeninhalt der Torfläche.
1
Rechteck: $A_R=6\cdot 3=18\ \text{m}^2$
2
Schnittstellen von Bogen und Oberkante des Rechtecks, also $f(x)=g(x)$ mit $g(x)=3$:
$-0{,}5x^2+5=3 \;\Rightarrow\; x^2=4 \;\Rightarrow\; x=-2,\; x=2$
Das Bogenstück ist 4 m breit, also schmaler als das Rechteck.
3
Differenzfunktion: $d(x)=f(x)-g(x)=2-0{,}5x^2$
$\displaystyle A_B=\int_{-2}^{2}\left(2-0{,}5x^2\right)dx=\left[2x-\dfrac{x^3}{6}\right]_{-2}^{2}=\left(4-\dfrac{4}{3}\right)-\left(-4+\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{16}{3}$
4
Zusammen: $A=A_R+A_B=18+\dfrac{16}{3}=$ $\dfrac{70}{3}=23\tfrac{1}{3}\approx 23{,}33\ \text{m}^2$
Ein einziges Integral von $f$ über $[-3;3]$ wäre hier falsch. Es ergibt $21$, denn für $|x|>2$ liegt die Parabel unter der Oberkante des Rechtecks.
Beispiel 8Querschnitt eines Pavillons berechnen
Der Querschnitt eines Pavillons hat links eine 1 m hohe Wand auf der $y$-Achse. Das Dach steigt zunächst geradlinig an, $g(x)=0{,}5x+1$. Dann schwingt es als Kurve $f(x)=2e^{0{,}5x-1}$ nach oben, bis zur senkrechten Wand bei $x=4$ (Maße in m, die $x$-Achse ist der Boden). Bestimme mit dem CAS die Stelle, an der die Kurve die Gerade schneidet, und berechne den Flächeninhalt des Querschnitts.
1
Schnittstelle mit dem CAS (Solve): $2e^{0{,}5x-1}=0{,}5x+1$ hat im Bereich $0\le x\le 4$ die Lösung $x=2$.
Probe: $f(2)=2e^{0}=2$ und $g(2)=0{,}5\cdot 2+1=2$.
2
Trapez unter der Geraden über $[0;4]$: $g(0)=1$ und $g(4)=3$ sind die parallelen Seiten, die Höhe ist 4. Also $A_T=\dfrac{1+3}{2}\cdot 4=8\ \text{m}^2$.
Man könnte das Trapez auch als Integral rechnen, $\displaystyle\int_0^4 g(x)\,dx=8$. Nötig ist das nicht, die Trapezformel genügt.
3
Aufsatz zwischen Kurve und Gerade über $[2;4]$. Differenzfunktion: $d(x)=f(x)-g(x)=2e^{0{,}5x-1}-0{,}5x-1$, Stammfunktion: $D(x)=4e^{0{,}5x-1}-0{,}25x^2-x$
$\displaystyle A_A=\int_{2}^{4}d(x)\,dx=\Big[4e^{0{,}5x-1}-0{,}25x^2-x\Big]_{2}^{4}$
$=\left(4e^{1}-0{,}25\cdot 4^2-4\right)-\left(4e^{0}-0{,}25\cdot 2^2-2\right)=(4e-8)-1=4e-9\approx 1{,}87$
4
Zusammen: $A=A_T+A_A=8+(4e-9)=$ $4e-1\approx 9{,}87\ \text{m}^2$
Kontrolle: Trapez unter der Geraden über $[0;2]$ ($\frac{1+2}{2}\cdot 2=3$) plus $\int_2^4 f(x)\,dx=\left[4e^{0{,}5x-1}\right]_2^4=4e-4$ ergibt ebenfalls $4e-1$.
Merke · Zusammensetzen
Bekannte Formen und Integral
Bekannte Flächen kann man mit Formeln berechnen. Nur das krummlinig begrenzte Stück braucht ein Integral.
Rechteck: $A=a\cdot b$ Dreieck: $A=\dfrac{1}{2}\,g\cdot h$ Trapez: $A=\dfrac{a+c}{2}\cdot h$
Teilflächen mit bekannter Form (Rechteck, Dreieck, Trapez) berechnet man mit der Formel und den gegebenen Maßen. Ein Integral ist dafür möglich, aber nicht nötig. Zwei Wege führen zum Ziel: die Figur in Stücke zerlegen und addieren (Beispiel 7 und 8), oder ein größeres Stück mit Integral berechnen und ein bekanntes Stück abziehen (Aufgabe 5).
Deuten von Integralen
Differenz zweier Integrale
Gilt $f(x)\ge g(x)$ auf dem ganzen Intervall $[a;b]$, dann ist $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx-\int_a^b g(x)\,dx=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx$ der Flächeninhalt zwischen den Graphen. Liegt eine Schnittstelle dazwischen, stimmt das nicht mehr.
Gerade als Trapez
Das Integral einer linearen Funktion ist ein Trapez. Beispiel: $\displaystyle\int_0^4(0{,}5x+1)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{4}+x\right]_0^4=8$. Das Trapez hat die parallelen Seiten $1$ und $3$ und die Höhe $4$: $\dfrac{1+3}{2}\cdot 4=8$.
Symmetrie
Ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung, dann gilt $\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0$. Der Flächeninhalt ist aber nicht null. Beispiel: $f(x)=x^3-4x$ auf $[-2;2]$ hat das Integral $0$ und den Flächeninhalt $A=2\cdot\left|\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx\right|=2\cdot|-4|=8$.
Ist der Graph achsensymmetrisch zur $y$-Achse, dann gilt $\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx$.
Von der Fläche zum Volumen
Querschnittsfläche mal Länge
Ist ein Körper überall gleich geformt, dann gilt $V=A\cdot \ell$ mit der Querschnittsfläche $A$ und der Länge $\ell$. Der Kanal aus Beispiel 2 hat die Querschnittsfläche $\dfrac{16}{3}\ \text{m}^2$. Ist er 30 m lang, fasst er $\dfrac{16}{3}\cdot 30=160\ \text{m}^3$ Wasser.
Aufgabe 1 · Graph und x-Achse
AufgabeFläche mit der x-Achse berechnen
Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f(x)=x^3-x^2-6x$ mit der $x$-Achse einschließt.
Nullstellen: $x\,(x^2-x-6)=x\,(x-3)(x+2)=0 \Rightarrow x=-2,\; x=0,\; x=3$
Stammfunktion: $F(x)=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^3}{3}-3x^2$
$\displaystyle\int_{-2}^{0}f(x)\,dx=\Big[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^3}{3}-3x^2\Big]_{-2}^{0}=0-\left(\dfrac{(-2)^4}{4}-\dfrac{(-2)^3}{3}-3\cdot(-2)^2\right)=0-\left(4+\dfrac{8}{3}-12\right)=\dfrac{16}{3}$
$\displaystyle\int_{0}^{3}f(x)\,dx=\Big[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^3}{3}-3x^2\Big]_{0}^{3}=\left(\dfrac{3^4}{4}-\dfrac{3^3}{3}-3\cdot 3^2\right)-0=\dfrac{81}{4}-9-27=-\dfrac{63}{4}$
$A=\dfrac{16}{3}+\left|-\dfrac{63}{4}\right|=\dfrac{64}{12}+\dfrac{189}{12}=$ $\dfrac{253}{12}\approx 21{,}08$ FE
Aufgabe 2 · Graph und schräge Gerade
AufgabeFläche zwischen Graph und Gerade berechnen
Der Graph von $f(x)=-x^2+5x$ und die Gerade $g(x)=x+3$ schließen eine Fläche ein. Berechne deren Inhalt.
Schnittstellen: $-x^2+5x=x+3 \Rightarrow x^2-4x+3=0 \Rightarrow (x-1)(x-3)=0 \Rightarrow x=1,\; x=3$
Differenzfunktion: $d(x)=-x^2+4x-3$, Stammfunktion: $D(x)=-\dfrac{x^3}{3}+2x^2-3x$
$\displaystyle\int_{1}^{3}d(x)\,dx=\Big[-\dfrac{x^3}{3}+2x^2-3x\Big]_{1}^{3}=\left(-\dfrac{3^3}{3}+2\cdot 3^2-3\cdot 3\right)-\left(-\dfrac{1^3}{3}+2\cdot 1^2-3\cdot 1\right)=0-\left(-\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{4}{3}$
$A=\left|\dfrac{4}{3}\right|=$ $\dfrac{4}{3}$ FE
Aufgabe 3 · Exponentialfunktionen
AufgabeSchnittstellen bestimmen und Fläche berechnen
Gegeben sind $f(x)=e^x$ und $g(x)=5-4e^{-x}$. Bestimme die Schnittstellen der Graphen und berechne den Inhalt der Fläche, die sie einschließen. Tipp: Multipliziere die Gleichung $f(x)=g(x)$ mit $e^x$ und setze $u=e^x$.
$e^x=5-4e^{-x} \;\Rightarrow\; e^{2x}=5e^x-4 \;\Rightarrow\; u^2-5u+4=0 \;\Rightarrow\; u=1 \text{ oder } u=4$
Rücksubstitution: $e^x=1 \Rightarrow x=0$, $e^x=4 \Rightarrow x=\ln 4$
Differenzfunktion: $d(x)=e^x-5+4e^{-x}$, Stammfunktion: $D(x)=e^x-4e^{-x}-5x$
$\displaystyle\int_{0}^{\ln 4}d(x)\,dx=\Big[e^x-4e^{-x}-5x\Big]_{0}^{\ln 4}=\left(e^{\ln 4}-4e^{-\ln 4}-5\ln 4\right)-\left(e^{0}-4e^{0}-0\right)$
$=\left(4-4\cdot\dfrac{1}{4}-5\ln 4\right)-(1-4)=(3-5\ln 4)-(-3)=6-5\ln 4\approx -0{,}93$, der Graph von $g$ liegt oben.
$A=\left|6-5\ln 4\right|=$ $5\ln 4-6\approx 0{,}93$ FE
Aufgabe 4 · Gebrochenrationale Funktion
AufgabeFläche zwischen zwei Graphen berechnen
Gegeben sind $f(x)=\dfrac{3}{x}$ für $x>0$ und $g(x)=-x^2+4x$. Bestimme die Schnittstellen der Graphen und berechne den Inhalt der Fläche, die sie einschließen.
$\dfrac{3}{x}=-x^2+4x \;\Rightarrow\; 3=-x^3+4x^2 \;\Rightarrow\; x^3-4x^2+3=0$
Durch Probieren: $x=1$ ist eine Lösung. Polynomdivision liefert $(x-1)(x^2-3x-3)=0$.
$x^2-3x-3=0 \Rightarrow x=\dfrac{3\pm\sqrt{21}}{2}$. Wegen $x>0$ bleibt $x_2=\dfrac{3+\sqrt{21}}{2}\approx 3{,}79$. Schnittstellen: $x_1=1$ und $x_2\approx 3{,}79$.
Differenzfunktion: $d(x)=\dfrac{3}{x}+x^2-4x$, Stammfunktion: $D(x)=3\ln x+\dfrac{x^3}{3}-2x^2$
$\displaystyle\int_{1}^{x_2}d(x)\,dx=\Big[3\ln x+\dfrac{x^3}{3}-2x^2\Big]_{1}^{x_2}=\left(3\ln x_2+\dfrac{x_2^3}{3}-2x_2^2\right)-\left(3\ln 1+\dfrac{1^3}{3}-2\cdot 1^2\right)$
$\approx -6{,}58-\left(-\dfrac{5}{3}\right)\approx -4{,}92$, der Graph von $g$ liegt oben.
$A\approx|-4{,}92|=$ $4{,}92$ FE
Aufgabe 5 · Integral und Dreieck
AufgabeFläche auf zwei Wegen berechnen
Der Graph von $f(x)=-0{,}5x^2+3x$ hat den Hochpunkt $H(3\,|\,4{,}5)$. Die Gerade $g$ durch den Ursprung und $H$ schließt mit dem Graphen eine Fläche ein.
a) Berechne den Inhalt der Fläche mithilfe der Differenzfunktion.
b) Berechne den Inhalt noch einmal, indem du ein Integral und ein Dreieck verwendest.
a) Die Gerade hat die Steigung $\dfrac{4{,}5}{3}=1{,}5$, also $g(x)=1{,}5x$. Differenzfunktion: $d(x)=-0{,}5x^2+1{,}5x=-0{,}5x\,(x-3)$ mit den Schnittstellen $x=0$ und $x=3$.
$\displaystyle\int_{0}^{3}d(x)\,dx=\Big[-\dfrac{x^3}{6}+0{,}75x^2\Big]_{0}^{3}=\left(-\dfrac{3^3}{6}+0{,}75\cdot 3^2\right)-0=-4{,}5+6{,}75=2{,}25$
$A=$ $2{,}25$ FE
b) $\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx=\left[-\dfrac{x^3}{6}+1{,}5x^2\right]_0^3=\left(-4{,}5+13{,}5\right)-0=9$
Dreieck unter der Geraden: $A_\triangle=\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 4{,}5=6{,}75$
$A=9-6{,}75=$ $2{,}25$ FE
Aufgabe 6 · Fläche mal Länge
AufgabeRauminhalt eines Gewächshauses berechnen
Der Querschnitt eines Gewächshauses besteht aus einem Rechteck, 8 m breit und 2 m hoch, mit einem Dachbogen darauf. Der Bogen wird durch $f(x)=-\dfrac{1}{9}x^2+3$ beschrieben (Maße in m, die $x$-Achse ist der Boden, die Mitte liegt bei $x=0$). Der Bogen ist schmaler als das Rechteck.
a) Berechne den Flächeninhalt des Querschnitts.
b) Das Gewächshaus ist 10 m lang. Berechne seinen Rauminhalt.
a) Rechteck: $A_R=8\cdot 2=16\ \text{m}^2$
Schnittstellen von Bogen und Oberkante $g(x)=2$: $-\dfrac{1}{9}x^2+3=2 \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$
Differenzfunktion $d(x)=f(x)-2=1-\dfrac{x^2}{9}$:
$\displaystyle A_B=\int_{-3}^{3}\left(1-\dfrac{x^2}{9}\right)dx=\left[x-\dfrac{x^3}{27}\right]_{-3}^{3}=\left(3-1\right)-\left(-3+1\right)=4\ \text{m}^2$
$A=16+4=$ $20\ \text{m}^2$
b) $V=A\cdot\ell=20\ \text{m}^2\cdot 10\ \text{m}=$ $200\ \text{m}^3$
Aufgabe 7 · Änderungsrate und Bestand
AufgabeWasservolumen in einem Becken bestimmen
In einem Becken befinden sich zu Beginn 200 m³ Wasser. Danach fließt Wasser zu und ab. Die Änderungsrate des Wasservolumens wird durch $r(t)=-3t^2+12t$ beschrieben ($r$ in m³/h, $t$ in Stunden, $0\le t\le 6$). Positive Werte bedeuten Zufluss, negative Werte bedeuten Abfluss.
a) Bestimme, in welchem Zeitraum das Wasservolumen zunimmt.
b) Berechne das Wasservolumen nach 4 Stunden.
c) Berechne das Wasservolumen nach 6 Stunden und deute das Ergebnis.
d) Nach 6 Stunden wird das Becken mit der konstanten Rate 20 m³/h leergepumpt. Bestimme, nach wie vielen weiteren Stunden das Becken leer ist.
a) $r(t)=-3t\,(t-4)>0$ gilt für $0\lt t\lt 4$. Das Volumen nimmt in den ersten 4 Stunden zu.
b) Anfangsbestand plus Fläche unter der Rate: $V(4)=200+\displaystyle\int_0^4(-3t^2+12t)\,dt=200+\Big[-t^3+6t^2\Big]_0^4$
$=200+\left(-64+96\right)-0=$ $232\ \text{m}^3$
c) $V(6)=200+\Big[-t^3+6t^2\Big]_0^6=200+\left(-216+216\right)=$ $200\ \text{m}^3$
Deutung: In den ersten 4 Stunden fließen $32\ \text{m}^3$ zu. In den letzten 2 Stunden fließen $\left|\Big[-t^3+6t^2\Big]_4^6\right|=32\ \text{m}^3$ ab. Beides gleicht sich aus.
d) Menge durch Rate: $\dfrac{200\ \text{m}^3}{20\ \text{m}^3/\text{h}}=$ $10\ \text{h}$
Quiz · Flächen mit Integralen
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