gitin.de Integralrechnung V Integralfunktion und Volumen · Analysis · Klasse 12 Leistungskurs
Einstieg · Regen füllt eine Zisterne
Situation
Bei einsetzendem Regen läuft Wasser vom Dach über die Regenrinne in eine leere Zisterne. Weil der Regen stärker wird, wächst die Zuflussrate: $$r(t)=0{,}5\,t+2$$ Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten und $r(t)$ die Zuflussrate in Litern pro Minute. Frage: Wie viel Wasser ist nach $x$ Minuten in der Zisterne?
Nach 4 Minuten
Die Wassermenge ist die Fläche unter dem Graphen von $r$ zwischen $0$ und $4$. Wir setzen $4$ und $0$ in die Stammfunktion ein und bilden die Differenz:
$\displaystyle V(4)=\int_0^4(0{,}5\,t+2)\,dt=\Big[0{,}25\,t^2+2t\Big]_0^4$
$=\left(0{,}25\cdot 4^2+2\cdot 4\right)-\left(0{,}25\cdot 0^2+2\cdot 0\right)=12-0=12$
Nach 4 Minuten sind 12 Liter in der Zisterne. Für andere Zeiten müsste man jedes Mal neu rechnen:
Zeit $x$ in min0123456
Wasser $V(x)$ in L02,2558,251216,2521
Die obere Grenze wird zur Variablen
Statt für jede Zeit neu zu rechnen, lassen wir die obere Grenze offen und nennen sie $x$:
$\displaystyle V(x)=\int_0^x(0{,}5\,t+2)\,dt=\Big[0{,}25\,t^2+2t\Big]_0^x$
$=\left(0{,}25\,x^2+2x\right)-\left(0{,}25\cdot 0^2+2\cdot 0\right)=0{,}25\,x^2+2x$
Eine einzige Formel liefert jetzt die Wassermenge zu jedem Zeitpunkt, zum Beispiel $V(6)=9+12=21$ Liter. Eine solche Funktion heißt Integralfunktion.
Definition · Integralfunktion
Integralfunktion
Es sei $f$ eine stetige Funktion und $a$ eine feste Zahl aus ihrem Definitionsbereich. Die Funktion $$I_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$ heißt Integralfunktion von $f$ zur unteren Grenze $a$. Jeder Stelle $x$ wird das bestimmte Integral von $a$ bis $x$ zugeordnet.
Warum t statt x?
Der Buchstabe $x$ ist bereits für die obere Grenze vergeben. Im Integral läuft deshalb eine andere Variable, die Integrationsvariable $t$. Nach dem Einsetzen der Grenzen ist $t$ verschwunden – übrig bleibt eine Funktion von $x$.
Bilanz, nicht Flächeninhalt
Teile unterhalb der $x$-Achse zählen negativ. Liegt $x$ links von $a$, kehrt sich das Vorzeichen um, weil die Grenzen vertauscht sind. $I_a(x)$ ist also eine Flächenbilanz und kann negativ sein.
Interaktiv · Die Fläche wird zur Funktion
So geht's
Wähle eine Funktion $f$. Oben siehst du die Fläche zwischen $a$ und $x$ (grün zählt positiv, rot negativ), unten den Graphen der Integralfunktion $I_a$. Verschiebe $x$ und beobachte die Tangente an $I_a$: Ihre Steigung stimmt immer mit dem Funktionswert $f(x)$ überein.
Funktion
Untere Grenze a
0
Obere Grenze x
2
—
—
—
Hauptsatz · Teil 2
Beobachtung
Bei der Zisterne ist $V(x)=0{,}25\,x^2+2x$, also $V'(x)=0{,}5\,x+2=r(x)$. Die momentane Änderungsrate der Wassermenge ist genau die Zuflussrate. Das ist kein Zufall.
Begründung am Streifen
Wächst die obere Grenze von $x$ auf $x+h$, kommt ein schmaler Streifen hinzu. Für kleines $h$ ist er fast ein Rechteck mit der Breite $h$ und der Höhe $f(x)$:
$I_a(x+h)-I_a(x)\approx f(x)\cdot h$
$\dfrac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h}\approx f(x)$
Für $h\to 0$ wird aus dem Differenzenquotienten die Ableitung: $\;I_a'(x)=f(x)$.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung · Teil 2
Ist $f$ stetig, dann ist jede Integralfunktion $I_a$ differenzierbar, und es gilt $$I_a'(x)=f(x)$$ Jede Integralfunktion ist also eine Stammfunktion von $f$. Teil 1 (Modul III) liefert die Rechenregel $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$; Teil 2 zeigt, dass es zu jeder stetigen Funktion eine Stammfunktion gibt.
Folgerungen
  • $I_a(a)=0$: An der unteren Grenze hat jede Integralfunktion eine Nullstelle.
  • $I_a(x)=F(x)-F(a)$ für jede Stammfunktion $F$ von $f$.
  • Extremstellen von $I_a$ liegen dort, wo $f$ das Vorzeichen wechselt. Wendestellen von $I_a$ liegen dort, wo $f$ Extremstellen hat.
Beispiele
Beispiel 1Term einer Integralfunktion bestimmen
Bestimme einen Term für $I_1(x)=\displaystyle\int_1^x(2t+1)\,dt$ und berechne die Nullstellen.
Stammfunktion bilden: $\;I_1(x)=\Big[t^2+t\Big]_1^x$
$x$ und $1$ einsetzen, Differenz bilden: $\;=\left(x^2+x\right)-\left(1^2+1\right)=$ $x^2+x-2$
Probe: $\;I_1(1)=1+1-2=0\;$ ✓ $\qquad I_1'(x)=2x+1=f(x)\;$ ✓
Nullstellen: $\;x^2+x-2=0\;\Rightarrow\; x_1=1,\;\; x_2=-2$
Deutung: Zwischen $-2$ und $1$ sind die rote Fläche $A_1$ und die grüne Fläche $A_2$ gleich groß (je $2{,}25$). Die Bilanz ist $0$.
Beispiel 2Extrempunkte am Graphen von f ablesen
Gegeben ist $f(t)=t^2-4$. Untersuche die Integralfunktion $I_0(x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$ auf Extrempunkte.
Hauptsatz Teil 2: $\;I_0'(x)=f(x)=x^2-4$, Nullstellen bei $x=-2$ und $x=2$.
Bei $x=-2$ wechselt $f$ von $+$ nach $-$: $I_0$ steigt erst, dann fällt es. Hochpunkt.
Bei $x=2$ wechselt $f$ von $-$ nach $+$: $I_0$ fällt erst, dann steigt es. Tiefpunkt.
Funktionswerte mit $I_0(x)=\dfrac{x^3}{3}-4x$: $\;I_0(-2)=-\dfrac{8}{3}+8=\dfrac{16}{3}$, $\;\;I_0(2)=\dfrac{8}{3}-8=-\dfrac{16}{3}$
$H\left(-2\;\middle|\;\tfrac{16}{3}\right)$, $\;T\left(2\;\middle|\;-\tfrac{16}{3}\right)$
Die Lage der Extremstellen erkennt man allein am Vorzeichenwechsel von $f$ – ohne den Term von $I_0$ zu kennen.
Beispiel 3Nicht jede Stammfunktion ist eine Integralfunktion
Prüfe, ob $F(x)=x^2+1$ eine Integralfunktion von $f(t)=2t$ ist.
$I_a(x)=\displaystyle\int_a^x 2t\,dt=\Big[t^2\Big]_a^x=x^2-a^2$
Gleichsetzen: $\;x^2-a^2=x^2+1\;\Rightarrow\; a^2=-1$. Das hat keine Lösung.
$F$ ist eine Stammfunktion von $f$, aber keine Integralfunktion.
Schneller Grund: Jede Integralfunktion hat bei $x=a$ eine Nullstelle. Der Graph von $F$ liegt ganz oberhalb der $x$-Achse.
Einstieg · Ein Präparat zerfällt
Situation
In der Nuklearmedizin wird ein radioaktives Präparat eingesetzt. Die Zahl der Zerfälle pro Stunde nimmt ab: $$r(t)=100\cdot e^{-0{,}1t}$$ Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden und $r(t)$ die Zahl der Zerfälle in Millionen pro Stunde. Frage: Wie viele Kerne zerfallen insgesamt, wenn man beliebig lange wartet?
Bis zur Zeit b
Mit linearer Substitution (Modul II) ist $-1000\,e^{-0{,}1t}$ eine Stammfunktion von $r$. Wir setzen $b$ und $0$ ein und bilden die Differenz:
$\displaystyle\int_0^b 100\,e^{-0{,}1t}\,dt=\Big[-1000\,e^{-0{,}1t}\Big]_0^b=-1000\,e^{-0{,}1b}-\left(-1000\right)=1000-1000\,e^{-0{,}1b}$
Wartezeit $b$ in h102050100$b\to\infty$
Zerfälle in Mio.632,1864,7993,3999,951000
Ergebnis
Weil $e^{-0{,}1b}\to 0$ für $b\to\infty$, nähert sich das Integral dem Wert $1000$: $$\int_0^{\infty}100\,e^{-0{,}1t}\,dt=\lim_{b\to\infty}\left(1000-1000\,e^{-0{,}1b}\right)=1000$$ Insgesamt zerfallen 1000 Millionen Kerne. Die Fläche reicht unbegrenzt nach rechts und hat trotzdem einen endlichen Inhalt.
Definition · Zwei Arten uneigentlicher Integrale
Art 1 · Unbegrenztes Intervall
Eine Integrationsgrenze ist unendlich. Man integriert bis $b$ und lässt dann $b$ wachsen: $$\int_a^{\infty}f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^{b}f(x)\,dx$$
Art 2 · Unbeschränkte Funktion
Die Funktion hat am Rand eine Polstelle, etwa bei $x=0$. Man startet bei $\varepsilon\gt 0$ und lässt $\varepsilon$ gegen $0$ gehen: $$\int_0^{b}f(x)\,dx=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{\varepsilon}^{b}f(x)\,dx$$
Konvergent oder divergent
Existiert der Grenzwert als reelle Zahl, heißt das uneigentliche Integral konvergent, und der Grenzwert ist sein Wert. Wächst das Integral über alle Grenzen, heißt es divergent.
Interaktiv · Konvergiert die Fläche?
So geht's
Wähle eine Funktion und ziehe den Regler. Bei Art 1 wandert die rechte Grenze $b$ nach außen, bei Art 2 rückt die linke Grenze $\varepsilon$ an die Polstelle heran. Beobachte, ob sich der Flächeninhalt einem festen Wert nähert.
Funktion
Grenze
Integral als Term—
Aktueller Wert—
Grenzwert—
Beispiele
Beispiel 1Konvergentes Integral berechnen
Berechne $\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx$.
Bis $b$ integrieren: $\;\displaystyle\int_1^{b}x^{-2}\,dx=\Big[-\frac{1}{x}\Big]_1^{b}=-\frac{1}{b}-\left(-1\right)=1-\frac{1}{b}$
Grenzwert: $\;\displaystyle\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac{1}{b}\right)=1$, weil $\dfrac{1}{b}\to 0$.
Das Integral ist konvergent und hat den Wert $1$.
Beispiel 2Divergentes Integral erkennen
Untersuche $\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx$.
Bis $b$ integrieren: $\;\displaystyle\int_1^{b}\frac{1}{x}\,dx=\Big[\ln x\Big]_1^{b}=\ln b-\ln 1=\ln b$
Grenzwert: $\;\ln b\to\infty$ für $b\to\infty$.
Das Integral ist divergent.
Beide Graphen nähern sich der $x$-Achse. Entscheidend ist, wie schnell: $\frac{1}{x^2}$ fällt schnell genug, $\frac{1}{x}$ nicht.
Beispiel 3Polstelle am Rand
Berechne $\displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$. Bei $x=0$ ist der Integrand nicht definiert.
Ab $\varepsilon$ integrieren: $\;\displaystyle\int_{\varepsilon}^{1}x^{-\frac12}\,dx=\Big[2\sqrt{x}\Big]_{\varepsilon}^{1}=2-2\sqrt{\varepsilon}$
Grenzwert: $\;\displaystyle\lim_{\varepsilon\to 0^+}\left(2-2\sqrt{\varepsilon}\right)=2$
Das Integral ist konvergent und hat den Wert $2$.
Die Fläche ist nach oben unbegrenzt und trotzdem endlich.
Merke · Potenzfunktionen als Vergleich
  • $\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x^r}\,dx$ ist konvergent für $r\gt 1$ (Wert $\tfrac{1}{r-1}$) und divergent für $r\le 1$.
  • $\displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{x^r}\,dx$ ist konvergent für $r\lt 1$ (Wert $\tfrac{1}{1-r}$) und divergent für $r\ge 1$.
AusblickDichtefunktionen haben die Gesamtfläche 1
Die Lebensdauer eines Bauteils wird oft durch die Dichtefunktion $f(x)=0{,}5\,e^{-0{,}5x}$ ($x\ge 0$, in Jahren) beschrieben. Zeige, dass die Gesamtfläche unter dem Graphen $1$ ist.
$\displaystyle\int_0^{b}0{,}5\,e^{-0{,}5x}\,dx=\Big[-e^{-0{,}5x}\Big]_0^{b}=-e^{-0{,}5b}-\left(-1\right)=1-e^{-0{,}5b}$
Grenzwert: $\;\displaystyle\lim_{b\to\infty}\left(1-e^{-0{,}5b}\right)=1$
Flächen unter Dichtefunktionen sind Wahrscheinlichkeiten. Die Gesamtfläche $1$ bedeutet: Irgendwann fällt jedes Bauteil aus. Die gleiche Idee steckt hinter der Normalverteilung.
Einstieg · Wie viel passt in die Vase?
Situation
Eine Glasvase ist innen rotationssymmetrisch. Legt man sie auf die Seite, so dass ihre Symmetrieachse auf der $x$-Achse liegt, wird die Innenwand durch $$f(x)=2\sqrt{x},\qquad 0\le x\le 9$$ beschrieben (alle Angaben in cm). Dreht man die Fläche unter dem Graphen um die $x$-Achse, entsteht der Hohlraum der Vase. Frage: Wie viel Wasser passt hinein?
Idee · In Scheiben schneiden
Zylinder statt Rechtecke
Wie bei Ober- und Untersumme (Modul I) zerlegen wir $[0;9]$ in $n$ Teile der Breite $\Delta x$. Jede Scheibe ersetzen wir durch einen Zylinder mit Radius $f(x_i)$ und Höhe $\Delta x$: $$V_{\text{Scheibe}}=\pi\cdot f(x_i)^2\cdot\Delta x$$ Die Summe aller Zylinder nähert das Volumen an. Je feiner die Zerlegung, desto besser.
Anzahl der Scheiben n
4
Summe der Zylinder in cm³—
Exaktes Volumen in cm³—
Abweichung—
Grenzübergang
Für $n\to\infty$ wird aus der Summe ein Integral: $$\sum_{i=1}^{n}\pi\cdot f(x_i)^2\cdot\Delta x\;\;\longrightarrow\;\;\pi\int_a^b f(x)^2\,dx$$
Volumen der Vase
$\displaystyle V=\pi\int_0^9\left(2\sqrt{x}\right)^2dx=\pi\int_0^9 4x\,dx=\pi\Big[2x^2\Big]_0^9=\pi\left(162-0\right)=162\,\pi$
$V\approx 508{,}9\ \text{cm}^3$ – die Vase fasst gut einen halben Liter.
Formel · Rotation um die x-Achse
Rotationsvolumen
Rotiert der Graph einer stetigen Funktion $f$ über $[a;b]$ um die $x$-Achse, so hat der entstehende Körper das Volumen $$V=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx$$ Weil $f(x)^2\ge 0$ ist, braucht man keine Nullstellen zu beachten: Teile unterhalb der $x$-Achse erzeugen denselben Körper wie ihr Spiegelbild.
Typischer Fehler
Zuerst quadrieren, dann integrieren: $\pi\displaystyle\int_a^b f(x)^2\,dx$ ist nicht dasselbe wie $\pi\left(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\right)^2$.
Beispiele · Bekannte Formeln herleiten
Beispiel 1Volumen des Kegels herleiten
Ein Kegel mit Radius $r$ und Höhe $h$ entsteht, wenn die Strecke $f(x)=\dfrac{r}{h}\,x$ über $[0;h]$ um die $x$-Achse rotiert. Leite die Volumenformel her.
$\displaystyle V=\pi\int_0^h\left(\frac{r}{h}\,x\right)^2dx=\pi\,\frac{r^2}{h^2}\int_0^h x^2\,dx=\pi\,\frac{r^2}{h^2}\Big[\frac{x^3}{3}\Big]_0^h$
$\displaystyle=\pi\,\frac{r^2}{h^2}\cdot\frac{h^3}{3}=$ $\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2h$
Das ist die Formel aus Klasse 9 – jetzt bewiesen statt nur angegeben.
Beispiel 2Volumen der Kugel herleiten
Eine Kugel mit Radius $r$ entsteht aus dem Halbkreis $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ über $[-r;r]$. Leite die Volumenformel her.
$\displaystyle V=\pi\int_{-r}^{r}\left(r^2-x^2\right)dx=\pi\Big[r^2x-\frac{x^3}{3}\Big]_{-r}^{r}$
$r$ und $-r$ einsetzen, Differenz bilden: $\;=\pi\left(\left(r^3-\dfrac{r^3}{3}\right)-\left(-r^3+\dfrac{r^3}{3}\right)\right)$
$\displaystyle=\pi\left(\frac{2}{3}r^3+\frac{2}{3}r^3\right)=$ $\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3$
Beim Quadrieren verschwindet die Wurzel – deshalb ist die Rechnung so kurz.
Beispiel 3Fläche zwischen zwei Graphen rotieren lassen
Die Fläche zwischen $f(x)=x$ und $g(x)=x^2$ über $[0;1]$ rotiert um die $x$-Achse. Es entsteht ein Körper mit Hohlraum. Berechne sein Volumen.
Außenkörper minus Hohlraum: $\;V=\pi\displaystyle\int_0^1 f(x)^2\,dx-\pi\int_0^1 g(x)^2\,dx=\pi\int_0^1\left(x^2-x^4\right)dx$
$\displaystyle=\pi\Big[\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\Big]_0^1=\pi\left(\left(\frac13-\frac15\right)-\left(0-0\right)\right)=$ $\dfrac{2}{15}\,\pi\approx 0{,}42$
Achtung
Es gilt $\pi\displaystyle\int\left(f^2-g^2\right)dx$, nicht $\pi\displaystyle\int\left(f-g\right)^2dx$. Der zweite Ansatz liefert hier $\tfrac{\pi}{30}$ und ist falsch.
AusblickEine Trompete mit endlichem Volumen
Der Graph von $f(x)=\dfrac{1}{x}$ für $x\ge 1$ rotiert um die $x$-Achse. Die entstehende „Trompete“ ist unendlich lang. Berechne ihr Volumen.
$\displaystyle V=\pi\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx=\pi\cdot 1=$ $\pi$  (siehe Uneigentliche Integrale, Beispiel 1)
Erstaunlich: Die Trompete ließe sich mit endlich viel Farbe füllen, ihre Oberfläche ist aber unendlich groß. Man nennt sie Gabriels Horn.
Einstieg · Die Fontäne im Park
Situation
Alle Düsen eines Springbrunnens sind im Winkel von 45° geneigt. Wie weit und hoch ein Strahl reicht, hängt vom Wasserdruck ab. Die Strahlen werden beschrieben durch $$f_k(x)=x-k\,x^2\qquad (k\gt 0)$$ Dabei werden $x$ und $f_k(x)$ in Metern gemessen. Der Parameter $k$ steht für den Druck: Je kleiner $k$, desto stärker der Druck und desto größer der Bogen.
Funktionenschar
Zu jedem Wert von $k$ gehört eine eigene Funktion $f_k$. Die Gesamtheit aller dieser Funktionen heißt Funktionenschar, ihre Graphen bilden eine Kurvenschar. Beim Rechnen ist $x$ die Variable, $k$ wird wie eine feste Zahl behandelt.
Interaktiv · Druck verändern
So geht's
Verändere $k$ und beobachte Weite, Höhe und den Scheitelpunkt $S$. Blende die Kurve ein, auf der alle Scheitelpunkte liegen.
Parameter k
0,25
Weite—
Scheitelpunkt—
Fläche unter dem Strahl—
Ortskurve · Schritt für Schritt
Beispiel 1Ortskurve der Scheitelpunkte bestimmen
Bestimme die Kurve, auf der die Scheitelpunkte aller Strahlen $f_k(x)=x-k\,x^2$ liegen.
1. Scheitel in Abhängigkeit von $k$: $\;f_k'(x)=1-2k\,x=0\;\Rightarrow\;x=\dfrac{1}{2k}$
$f_k\!\left(\dfrac{1}{2k}\right)=\dfrac{1}{2k}-k\cdot\dfrac{1}{4k^2}=\dfrac{1}{2k}-\dfrac{1}{4k}=\dfrac{1}{4k}\qquad\Rightarrow\; S_k\!\left(\dfrac{1}{2k}\;\middle|\;\dfrac{1}{4k}\right)$
2. Parameter eliminieren: $\;x=\dfrac{1}{2k}\;\Rightarrow\;k=\dfrac{1}{2x}$
3. In $y$ einsetzen: $\;y=\dfrac{1}{4k}=\dfrac{1}{4\cdot\frac{1}{2x}}=\dfrac{x}{2}$
Ortskurve: $\;y=\tfrac{1}{2}\,x\;$ für $x\gt 0$
Alle Scheitel liegen auf einer Geraden. Ein Strahl, der doppelt so weit reicht, ist auch doppelt so hoch.
Vorgehen · Ortskurve
  • Besonderen Punkt in Abhängigkeit vom Parameter bestimmen: $P_k\left(x(k)\,\middle|\,y(k)\right)$.
  • Gleichung $x=x(k)$ nach $k$ auflösen.
  • In $y=y(k)$ einsetzen. Es entsteht eine Gleichung zwischen $x$ und $y$ ohne $k$: die Ortskurve.
Integrale mit Parameter
Beispiel 2Fläche unter dem Strahl in Abhängigkeit von k
Berechne die Fläche zwischen dem Strahl $f_k$ und dem Boden in Abhängigkeit von $k$.
Nullstellen: $\;x-k\,x^2=x\left(1-k\,x\right)=0\;\Rightarrow\;x=0,\;\;x=\dfrac{1}{k}$
$\displaystyle A(k)=\int_0^{1/k}\left(x-k\,x^2\right)dx=\Big[\frac{x^2}{2}-\frac{k\,x^3}{3}\Big]_0^{1/k}$
$\displaystyle=\left(\frac{1}{2k^2}-\frac{k}{3k^3}\right)-\left(0-0\right)=\frac{1}{2k^2}-\frac{1}{3k^2}=$ $\dfrac{1}{6k^2}$
Halbiert man $k$, wird die Fläche viermal so groß – Weite und Höhe verdoppeln sich beide.
Beispiel 3Parameter zu einer vorgegebenen Fläche bestimmen
Gegeben ist die Schar $g_a(x)=a^2-x^2$ mit $a\gt 0$. Bestimme $a$ so, dass der Graph mit der $x$-Achse eine Fläche vom Inhalt $36$ einschließt.
Nullstellen: $\;x=-a$ und $x=a$
$\displaystyle A(a)=\int_{-a}^{a}\left(a^2-x^2\right)dx=\Big[a^2x-\frac{x^3}{3}\Big]_{-a}^{a}=\left(a^3-\frac{a^3}{3}\right)-\left(-a^3+\frac{a^3}{3}\right)=\frac{4}{3}\,a^3$
Gleichung: $\;\dfrac{4}{3}\,a^3=36\;\Rightarrow\;a^3=27\;\Rightarrow\;$ $a=3$
Beispiel 4Parameter so wählen, dass die Bilanz null ist
Für welches $k$ gilt $\displaystyle\int_0^{3}\left(x^2-k\,x\right)dx=0$?
$\displaystyle\int_0^{3}\left(x^2-k\,x\right)dx=\Big[\frac{x^3}{3}-\frac{k\,x^2}{2}\Big]_0^{3}=\left(9-\frac{9k}{2}\right)-\left(0-0\right)=9-4{,}5\,k$
$9-4{,}5\,k=0\;\Rightarrow\;$ $k=2$
Für $k=2$ sind die rote Fläche über $[0;2]$ und die grüne Fläche über $[2;3]$ gleich groß (je $\tfrac43$).
Aufgabe 1 · Term einer Integralfunktion
AufgabeIntegralfunktion bestimmen und untersuchen
Gegeben ist $I_2(x)=\displaystyle\int_2^x\left(3t^2-4t\right)dt$.
a)  Bestimme einen Term für $I_2(x)$ ohne Integralzeichen.
b)  Berechne die Nullstellen von $I_2$.
c)  Zeige mit deinem Term, dass $I_2'(x)=3x^2-4x$ gilt.
a)  $I_2(x)=\Big[t^3-2t^2\Big]_2^x=\left(x^3-2x^2\right)-\left(2^3-2\cdot 2^2\right)=\left(x^3-2x^2\right)-0=x^3-2x^2$
b)  $x^3-2x^2=x^2\left(x-2\right)=0\;\Rightarrow\;x=0$ (doppelt), $\;x=2$
c)  $I_2'(x)=3x^2-4x$ ✓ – genau der Integrand (Hauptsatz Teil 2).
Aufgabe 2 · Extrempunkte einer Integralfunktion
AufgabeAm Graphen von f argumentieren
Die Abbildung zeigt den Graphen von $f(t)=t^2-5t+4$. Betrachtet wird $I_0(x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$.
a)  Gib die Extremstellen von $I_0$ an und entscheide jeweils, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt. Begründe am Graphen von $f$.
b)  Berechne die Koordinaten der Extrempunkte von $I_0$.
a)  $I_0'=f$ hat die Nullstellen $1$ und $4$. Bei $x=1$ wechselt $f$ von $+$ nach $-$: Hochpunkt. Bei $x=4$ wechselt $f$ von $-$ nach $+$: Tiefpunkt.
b)  $I_0(x)=\Big[\dfrac{t^3}{3}-\dfrac{5t^2}{2}+4t\Big]_0^x=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{5x^2}{2}+4x$
$I_0(1)=\dfrac13-\dfrac52+4=\dfrac{11}{6},\qquad I_0(4)=\dfrac{64}{3}-40+16=-\dfrac{8}{3}$
$H\left(1\;\middle|\;\tfrac{11}{6}\right),\;\;T\left(4\;\middle|\;-\tfrac{8}{3}\right)$
Aufgabe 3 · Sachaufgabe Freibad
AufgabeBesucherstrom am Einlass
An einem Sommertag öffnet ein Freibad um 9 Uhr und schließt den Einlass um 17 Uhr. Die Zahl der Gäste, die pro Stunde durch das Drehkreuz gehen, wird beschrieben durch $e(t)=-15t^2+120t$ ($t$ in Stunden nach 9 Uhr, $e$ in Personen pro Stunde).
a)  Bestimme einen Term für $N(x)=\displaystyle\int_0^x e(t)\,dt$ und erkläre, was $N(x)$ im Sachzusammenhang angibt.
b)  Berechne, wie viele Gäste bis 12 Uhr und wie viele insgesamt eingelassen werden.
c)  Ermittle den Zeitpunkt, zu dem die meisten Gäste pro Stunde ankommen. Was bedeutet dieser Zeitpunkt für den Graphen von $N$?
a)  $N(x)=\Big[-5t^3+60t^2\Big]_0^x=-5x^3+60x^2$. $N(x)$ ist die Zahl der Gäste, die bis $x$ Stunden nach 9 Uhr eingelassen wurden.
b)  12 Uhr ist $x=3$: $\;N(3)=-135+540=405$ Gäste.   Insgesamt: $\;N(8)=-2560+3840=1280$ Gäste.
c)  $e'(t)=-30t+120=0\;\Rightarrow\;t=4$, also um 13 Uhr mit $e(4)=240$ Personen pro Stunde. Wegen $N'=e$ und $N''=e'$ hat $N$ bei $x=4$ seine größte Steigung: einen Wendepunkt.
Aufgabe 4 · Uneigentliche Integrale
AufgabeKonvergenz untersuchen und Wert berechnen
Entscheide, ob das Integral konvergent ist, und berechne gegebenenfalls seinen Wert.
a)  $\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{2}{x^3}\,dx$   b)  $\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-2x}\,dx$   c)  $\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$   d)  $\displaystyle\int_0^{4}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$
a)  $\displaystyle\int_1^{b}2x^{-3}\,dx=\Big[-\frac{1}{x^2}\Big]_1^{b}=-\frac{1}{b^2}-\left(-1\right)=1-\frac{1}{b^2}\;\to\;1$   konvergent, Wert $1$
b)  $\displaystyle\int_0^{b}e^{-2x}\,dx=\Big[-\frac{1}{2}e^{-2x}\Big]_0^{b}=-\frac12e^{-2b}+\frac12\;\to\;\frac12$   konvergent, Wert $\tfrac12$
c)  $\displaystyle\int_1^{b}x^{-\frac12}\,dx=\Big[2\sqrt{x}\Big]_1^{b}=2\sqrt{b}-2\;\to\;\infty$   divergent
d)  $\displaystyle\int_{\varepsilon}^{4}x^{-\frac12}\,dx=\Big[2\sqrt{x}\Big]_{\varepsilon}^{4}=4-2\sqrt{\varepsilon}\;\to\;4$   konvergent, Wert $4$
c) und d) haben denselben Integranden: Nach rechts ins Unendliche divergiert er, an der Polstelle konvergiert er.
Aufgabe 5 · Sachaufgabe Ölleck
AufgabeReicht die Auffangwanne?
Ein Heizöltank ist beschädigt. Weil der Druck im Tank sinkt, wird der Ölaustritt immer schwächer. Die Austrittsrate beträgt $r(t)=40\cdot e^{-0{,}2t}$ ($t$ in Stunden, $r$ in Litern pro Stunde). Unter dem Tank steht eine Auffangwanne für 220 Liter.
a)  Berechne, wie viel Öl in den ersten 10 Stunden austritt.
b)  Untersuche, ob die Wanne ausreicht, falls das Leck nie abgedichtet wird.
Stammfunktion (lineare Substitution): $\;R(t)=-200\,e^{-0{,}2t}$
a)  $\displaystyle\int_0^{10}40\,e^{-0{,}2t}\,dt=-200\,e^{-2}-\left(-200\right)=200-200\,e^{-2}\approx 172{,}9$ Liter
b)  $\displaystyle\int_0^{\infty}40\,e^{-0{,}2t}\,dt=\lim_{b\to\infty}\left(200-200\,e^{-0{,}2b}\right)=200$ Liter
Es treten insgesamt höchstens 200 Liter aus. Die Wanne mit 220 Litern reicht.
Aufgabe 6 · Rotationsvolumen ohne Hilfsmittel
AufgabeVolumen eines Blumentopfs berechnen
Ein Blumentopf ist innen 15 cm hoch. Sein Innenradius wächst gleichmäßig von 5 cm am Boden auf 8 cm am Rand. Liegt der Topf mit seiner Achse auf der $x$-Achse, wird die Innenwand durch $f(x)=0{,}2\,x+5$ für $0\le x\le 15$ beschrieben.
Berechne ohne Hilfsmittel, wie viel Liter Erde in den Topf passen.
$\displaystyle V=\pi\int_0^{15}\left(0{,}2\,x+5\right)^2dx$
Lineare Substitution: Stammfunktion $\;\dfrac{1}{0{,}2}\cdot\dfrac{\left(0{,}2\,x+5\right)^3}{3}=\dfrac{\left(0{,}2\,x+5\right)^3}{0{,}6}$
$15$ und $0$ einsetzen: $\;V=\pi\left(\dfrac{8^3}{0{,}6}-\dfrac{5^3}{0{,}6}\right)=\pi\cdot\dfrac{512-125}{0{,}6}=\pi\cdot 645$
$V=645\,\pi\approx 2026\ \text{cm}^3\approx 2{,}0$ Liter
Aufgabe 7 · Körper mit Hohlraum
AufgabeVolumen einer Düse berechnen
Die Fläche zwischen den Graphen von $f(x)=\sqrt{x}$ und $g(x)=\tfrac12\,x$ rotiert um die $x$-Achse. Der entstehende Körper ist ein Modell für eine Düse.
a)  Berechne die Schnittstellen der beiden Graphen.
b)  Berechne das Volumen des Körpers.
a)  $\sqrt{x}=\tfrac12\,x\;\Rightarrow\;x=\tfrac14\,x^2\;\Rightarrow\;x\left(1-\tfrac14\,x\right)=0\;\Rightarrow\;x=0,\;\;x=4$
b)  $\displaystyle V=\pi\int_0^4\left(\left(\sqrt{x}\right)^2-\left(\tfrac12\,x\right)^2\right)dx=\pi\int_0^4\left(x-\frac{x^2}{4}\right)dx=\pi\Big[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{12}\Big]_0^4$
$\displaystyle=\pi\left(\left(8-\frac{16}{3}\right)-\left(0-0\right)\right)=$ $\dfrac{8}{3}\,\pi\approx 8{,}38$ Volumeneinheiten
Aufgabe 8 · Funktionenschar
AufgabeFläche und Ortskurve einer Schar
Gegeben ist die Schar $f_a(x)=x^2-a\,x$ mit $a\gt 0$.
a)  Berechne in Abhängigkeit von $a$ den Inhalt der Fläche, die der Graph mit der $x$-Achse einschließt.
b)  Bestimme $a$ so, dass dieser Flächeninhalt $36$ beträgt.
c)  Bestimme die Ortskurve der Tiefpunkte.
a)  Nullstellen $0$ und $a$. $\;\displaystyle\int_0^{a}\left(x^2-a\,x\right)dx=\Big[\frac{x^3}{3}-\frac{a\,x^2}{2}\Big]_0^{a}=\frac{a^3}{3}-\frac{a^3}{2}=-\frac{a^3}{6}$
Die Fläche liegt unterhalb der Achse, also $\;A(a)=\dfrac{a^3}{6}$.
b)  $\dfrac{a^3}{6}=36\;\Rightarrow\;a^3=216\;\Rightarrow\;$ $a=6$
c)  $f_a'(x)=2x-a=0\;\Rightarrow\;x=\dfrac{a}{2}$, $\;f_a\!\left(\dfrac{a}{2}\right)=\dfrac{a^2}{4}-\dfrac{a^2}{2}=-\dfrac{a^2}{4}$, also $T_a\!\left(\dfrac{a}{2}\;\middle|\;-\dfrac{a^2}{4}\right)$
$a=2x$ einsetzen: $\;y=-\dfrac{\left(2x\right)^2}{4}=-x^2$.   Ortskurve: $y=-x^2$ für $x\gt 0$
Quiz · Integralrechnung im Leistungskurs
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