Worum es in diesem Modul geht
Das Integral als Summe vieler kleiner Beiträge
Dieses Modul geht über den Lehrplan hinaus. Es zeigt, wo das Integral außerhalb der Flächenberechnung gebraucht wird:
für Mittelwerte, in der Physik für Arbeit und Ladung und in der Statistik für den Erwartungswert.
Immer steckt dieselbe Idee dahinter: Man zerlegt in schmale Streifen, multipliziert und addiert.
Einstieg · Was liefert die Solaranlage im Schnitt?
Situation
Die Solaranlage auf dem Schuldach liefert an einem wolkenlosen Sommertag zwischen 6 und 18 Uhr Strom.
Ihre Leistung wird beschrieben durch
$$P(t)=5\sin\!\left(\tfrac{\pi}{12}\,t\right),\qquad 0\le t\le 12$$
Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden nach 6 Uhr und $P(t)$ die Leistung in Kilowatt.
Frage: Welche gleichbleibende Leistung hätte über den Tag dieselbe Energie geliefert?
Schritt 1 · Energie des Tages
Die Energie ist die Fläche unter dem Graphen der Leistung. Mit linearer Substitution (Modul II) ist
$-\tfrac{60}{\pi}\cos\!\left(\tfrac{\pi}{12}\,t\right)$ eine Stammfunktion von $P$. Wir setzen $12$ und $0$ ein und bilden die Differenz:
$\displaystyle E=\int_0^{12}5\sin\!\left(\tfrac{\pi}{12}\,t\right)dt=\Big[-\tfrac{60}{\pi}\cos\!\left(\tfrac{\pi}{12}\,t\right)\Big]_0^{12}$
$=\left(-\tfrac{60}{\pi}\cos\pi\right)-\left(-\tfrac{60}{\pi}\cos 0\right)=\tfrac{60}{\pi}+\tfrac{60}{\pi}=\tfrac{120}{\pi}\approx 38{,}2\ \text{kWh}$
Schritt 2 · Die mittlere Leistung
Gesucht ist die Höhe $m$ eines Rechtecks über $[0;12]$, das dieselbe Fläche hat:
Im Mittel liefert die Anlage 3,18 kW, also etwa 64 % ihrer Spitzenleistung von 5 kW.
Wo der Graph über dem Rechteck liegt, wird mehr geliefert; das gleicht genau die Lücken am Morgen und am Abend aus.
$m\cdot 12=\tfrac{120}{\pi}\;\;\Rightarrow\;\; m=\tfrac{1}{12}\cdot\tfrac{120}{\pi}=\tfrac{10}{\pi}\approx 3{,}18\ \text{kW}$
Definition · Integralmittelwert
Mittelwert einer Funktion
Es sei $f$ stetig auf $[a;b]$. Die Zahl
$$m=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$
heißt Mittelwert (Integralmittelwert) von $f$ auf $[a;b]$.
Deutung als Rechteck
Das Rechteck mit der Breite $b-a$ und der Höhe $m$ hat dieselbe Fläche wie die Fläche unter dem Graphen.
Was der Graph über $m$ hinausragt, füllt die Lücken unter $m$ genau auf.
Mittelwertsatz der Integralrechnung
Eine stetige Funktion nimmt ihren Mittelwert mindestens einmal an: Es gibt eine Stelle $\xi$ in $[a;b]$ mit $f(\xi)=m$.
Bei der Solaranlage ist das gegen 8:38 Uhr und gegen 15:22 Uhr der Fall (Lösung von $5\sin\!\left(\tfrac{\pi}{12}\,t\right)=\tfrac{10}{\pi}$ mit dem Taschenrechner).
Verbindung zur Differentialrechnung
Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$, dann gilt
$$m=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}$$
Der Mittelwert von $f$ ist der Differenzenquotient von $F$, also die mittlere Änderungsrate des Bestands.
Bei der Solaranlage: mittlere Leistung = erzeugte Energie geteilt durch die Zeit.
Beispiele
Beispiel 1Mittlere Tagestemperatur berechnen
An einem Sommertag in Leipzig wird der Temperaturverlauf zwischen 8 und 20 Uhr beschrieben durch
$T(t)=25-0{,}25\,(t-14)^2$ ($t$ Uhrzeit in Stunden, $T$ in °C). Berechne die mittlere Temperatur in dieser Zeit.
Intervalllänge: $\;20-8=12$
Stammfunktion (lineare Substitution): $\;25t-\dfrac{(t-14)^3}{12}$
$20$ und $8$ einsetzen, Differenz bilden: $\;\displaystyle\int_8^{20}T(t)\,dt=\left(25\cdot 20-\frac{6^3}{12}\right)-\left(25\cdot 8-\frac{(-6)^3}{12}\right)=482-218=264$
Mittelwert: $\;m=\dfrac{264}{12}=$ $22\ ^\circ\text{C}$
Das Mittel aus kleinstem und größtem Wert, $\tfrac{16+25}{2}=20{,}5$ °C, ist zu niedrig: Die Temperatur bleibt lange in der Nähe des Maximums.
Beispiel 2Zeitpunkte bestimmen, an denen der Mittelwert erreicht wird
Bestimme, zu welchen Uhrzeiten an diesem Tag genau die mittlere Temperatur herrscht.
$25-0{,}25\,(t-14)^2=22\;\;\Rightarrow\;\;(t-14)^2=12\;\;\Rightarrow\;\;t=14\pm 2\sqrt{3}$
$t_1=14-2\sqrt{3}\approx 10{,}54,\qquad t_2=14+2\sqrt{3}\approx 17{,}46$
Gegen 10:32 Uhr und gegen 17:28 Uhr herrscht die mittlere Temperatur.
Der Mittelwertsatz garantiert mindestens eine solche Stelle. Hier gibt es zwei, symmetrisch zum Maximum um 14 Uhr.
Einstieg · Eine Federgabel einfedern
Situation
Aus der Physik kennst du: Wirkt eine konstante Kraft $F$ längs eines Weges $s$, dann ist die verrichtete Arbeit $W=F\cdot s$.
Die Federgabel eines Mountainbikes ist aber eine Feder: Je weiter sie einfedert, desto stärker drückt sie zurück.
Für die Kraft gilt das Gesetz von Hooke
$$F(s)=10\,000\cdot s$$
($s$ Einfederweg in m, $F$ in N). Der Federweg beträgt 0,1 m.
Frage: Wie viel Arbeit ist nötig, um die Gabel ganz einzufedern?
Warum nicht einfach Kraft mal Weg?
Am Ende beträgt die Kraft $1000$ N. Mit $W=1000\cdot 0{,}1=100$ J würde man so rechnen, als hätte diese Kraft schon von Anfang an gewirkt.
Das ist zu viel, denn am Anfang ist die Kraft fast null.
Idee · In Streifen zerlegen
Auf einem kurzen Wegstück $\Delta s$ ist die Kraft fast konstant. Dort ist die Arbeit ungefähr $F(s_i)\cdot\Delta s$, ein schmales Rechteck im $F$-$s$-Diagramm.
Addiert man alle Streifen und lässt $\Delta s$ gegen null gehen, entsteht ein Integral:
$$\sum_i F(s_i)\cdot\Delta s\;\;\longrightarrow\;\;\int_0^{0{,}1}F(s)\,ds$$
Die Arbeit ist die Fläche unter dem Graphen der Kraft – genau wie der Weg die Fläche unter dem Graphen der Geschwindigkeit ist.
Rechnung
Zum vollständigen Einfedern sind 50 Joule nötig – halb so viel wie mit der falschen Rechnung.
$\displaystyle W=\int_0^{0{,}1}10\,000\,s\,ds=\Big[5000\,s^2\Big]_0^{0{,}1}=5000\cdot 0{,}01-0=50\ \text{J}$
Kontrolle mit der Dreiecksfläche: $\;\tfrac12\cdot 0{,}1\cdot 1000=50$ ✓
Formel · Arbeit als Integral
Arbeit bei veränderlicher Kraft
Wirkt längs des Weges von $s_1$ bis $s_2$ die Kraft $F(s)$, dann ist die verrichtete Arbeit
$$W=\int_{s_1}^{s_2}F(s)\,ds$$
Für eine Feder mit $F(s)=D\cdot s$ ergibt sich die bekannte Formel $W=\int_0^{s}D\,x\,dx=\tfrac12\,D\,s^2$ – jetzt hergeleitet statt nur angegeben.
Formel · Ladung als Integral
Von der Stromstärke zur Ladung
Die Stromstärke gibt an, wie viel Ladung pro Zeit fließt. Bei konstantem Strom gilt $Q=I\cdot t$.
Ändert sich die Stromstärke, zerlegt man wieder in kurze Zeitabschnitte $\Delta t$ und erhält
$$Q=\int_{t_1}^{t_2}I(t)\,dt$$
Die geflossene Ladung ist die Fläche unter dem Graphen der Stromstärke.
Beispiele
Beispiel 1Hubarbeit am Brunnen berechnen
Aus einem 20 m tiefen Brunnen wird ein gefüllter Eimer an einem Seil heraufgezogen.
Der Eimer mit Wasser hat die Gewichtskraft 100 N, jeder Meter Seil die Gewichtskraft 4 N.
Beim Hochziehen hängt immer weniger Seil im Schacht. Berechne die Arbeit, um den Eimer ganz heraufzuziehen.
Ist der Eimer schon um $x$ Meter gehoben, hängen noch $20-x$ Meter Seil: $\;F(x)=100+4\,(20-x)=180-4x$
$\displaystyle W=\int_0^{20}(180-4x)\,dx=\Big[180x-2x^2\Big]_0^{20}=\left(180\cdot 20-2\cdot 20^2\right)-\left(0-0\right)=3600-800$
$W=2800\ \text{J}$
Davon entfallen $100\cdot 20=2000$ J auf den Eimer (Rechteck) und $800$ J auf das Seil (Dreieck).
Beispiel 2Ladung beim Schnellladen berechnen
Ein Elektroauto wird an einer Schnellladesäule geladen. Weil der Akku voller wird, sinkt die Stromstärke:
$I(t)=240-180\,t^2$ ($t$ in Stunden, $I$ in Ampere, $0\le t\le 1$).
Berechne die Ladung, die in der ersten Stunde und in der ersten halben Stunde in den Akku fließt.
Stammfunktion: $\;240\,t-60\,t^3$
Erste Stunde: $\;\displaystyle Q=\int_0^{1}\left(240-180\,t^2\right)dt=\left(240-60\right)-\left(0-0\right)=$ $180\ \text{Ah}$
Erste halbe Stunde: $\;\left(240\cdot 0{,}5-60\cdot 0{,}5^3\right)-\left(0-0\right)=120-7{,}5=$ $112{,}5\ \text{Ah}$
In der ersten halben Stunde fließen schon $62{,}5\,\%$ der Ladung. Deshalb lohnt sich Schnellladen vor allem am Anfang.
AusblickWie schnell muss eine Rakete sein, um die Erde zu verlassen?
Auf einen Körper der Masse 1 kg wirkt im Abstand $r$ vom Erdmittelpunkt die Gewichtskraft $F(r)=\dfrac{g\,R^2}{r^2}$
(mit $g=9{,}81\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ und dem Erdradius $R=6371$ km). Berechne die Arbeit, um ihn von der Erdoberfläche beliebig weit wegzubringen.
Uneigentliches Integral (Modul V): $\;\displaystyle W=\int_R^{\infty}\frac{g\,R^2}{r^2}\,dr=\lim_{b\to\infty}\Big[-\frac{g\,R^2}{r}\Big]_R^{b}=\lim_{b\to\infty}\left(g\,R-\frac{g\,R^2}{b}\right)=g\,R$
$W=9{,}81\cdot 6{,}371\cdot 10^6\approx 6{,}25\cdot 10^7\ \text{J}=62{,}5\ \text{MJ}$
Diese Arbeit muss als Bewegungsenergie mitgebracht werden: $\;\tfrac12\,v^2=g\,R\;\Rightarrow\;v=\sqrt{2\,g\,R}\approx$ $11{,}2\ \tfrac{\text{km}}{\text{s}}$
Die Fläche unter dem Graphen ist unbegrenzt lang und trotzdem endlich. Deshalb kann eine Rakete die Erde überhaupt verlassen. Man nennt $11{,}2\ \tfrac{\text{km}}{\text{s}}$ die Fluchtgeschwindigkeit.
Merke · Rate mal Zeit, Kraft mal Weg
| Integrand | Integral | Einheit |
|---|---|---|
| Geschwindigkeit $v(t)$ | Weg $s$ | $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot\text{s}=\text{m}$ |
| Leistung $P(t)$ | Energie $E$ | $\text{kW}\cdot\text{h}=\text{kWh}$ |
| Kraft $F(s)$ | Arbeit $W$ | $\text{N}\cdot\text{m}=\text{J}$ |
| Stromstärke $I(t)$ | Ladung $Q$ | $\text{A}\cdot\text{h}=\text{Ah}$ |
| Dichtefunktion $f(x)$ | Wahrscheinlichkeit $P$ | ohne Einheit |
Die Einheit des Integrals ist immer das Produkt aus der Einheit des Integranden und der Einheit auf der waagerechten Achse.
Wiederholung · Dichtefunktion
Aus Modul V
Eine stetige Zufallsgröße $X$ (Wartezeit, Lebensdauer, Lieferzeit …) wird durch eine Dichtefunktion $f$ beschrieben:
- $f(x)\ge 0$ für alle $x$, und die Gesamtfläche unter dem Graphen ist $1$.
- Wahrscheinlichkeiten sind Flächen: $\;P(a\le X\le b)=\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.
Einstieg · Warten auf die Straßenbahn
Situation
Eine Straßenbahnlinie fährt pünktlich alle 10 Minuten. Du kommst zu einem zufälligen Zeitpunkt an die Haltestelle.
Jede Wartezeit zwischen 0 und 10 Minuten ist gleich wahrscheinlich. Die Dichtefunktion der Wartezeit $X$ ist deshalb konstant:
$$f(x)=0{,}1\quad\text{für }0\le x\le 10$$
Frage: Wie lange wartest du im Mittel?
Wahrscheinlichkeit als Fläche
Höchstens 3 Minuten wartest du mit der Wahrscheinlichkeit $\;P(X\le 3)=\displaystyle\int_0^3 0{,}1\,dx=0{,}3$ – die grüne Rechtecksfläche.
Vom Summenzeichen zum Integral
Bei einer Zufallsgröße mit einzelnen Werten berechnet man den Erwartungswert als gewichtete Summe: $E(X)=\sum x_i\cdot P(X=x_i)$.
Hier zerlegt man die Wartezeit in kurze Abschnitte $\Delta x$. Ein Abschnitt bei $x_i$ hat ungefähr die Wahrscheinlichkeit $f(x_i)\cdot\Delta x$:
$$\sum_i x_i\cdot f(x_i)\cdot\Delta x\;\;\longrightarrow\;\;\int_0^{10}x\cdot f(x)\,dx$$
Im Mittel wartest du 5 Minuten – genau das, was man erwartet.
$\displaystyle E(X)=\int_0^{10}x\cdot 0{,}1\,dx=\Big[0{,}05\,x^2\Big]_0^{10}=5-0=5$
Definition · Erwartungswert
Erwartungswert einer stetigen Zufallsgröße
Hat $X$ die Dichtefunktion $f$, dann ist
$$E(X)=\int x\cdot f(x)\,dx$$
Integriert wird über den ganzen Bereich, in dem $f$ nicht null ist – wenn nötig als uneigentliches Integral.
Deutung · Gleichgewichtspunkt
Schneidet man die Fläche unter dem Graphen von $f$ aus Pappe aus, bleibt sie auf einer Spitze bei $x=E(X)$ im Gleichgewicht.
Der Erwartungswert ist ein gewichteter Mittelwert: Jeder Wert $x$ zählt so stark, wie die Dichte dort hoch ist.
Verbindung zum Integralmittelwert
Ist $X$ auf $[a;b]$ gleichverteilt, so ist $f(x)=\tfrac{1}{b-a}$ und
$E(X)=\tfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b x\,dx=\tfrac{a+b}{2}$ – der Mittelwert der Funktion $x$ auf $[a;b]$.
Beispiel · Dreieckverteilung
Beispiel 1Mittlere Lieferzeit einer Pizza berechnen
Ein Lieferdienst braucht zwischen 20 und 50 Minuten, am häufigsten 30 Minuten. Die Lieferzeit $X$ (in min) hat die Dichtefunktion
$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x-20}{150} & \text{für }20\le x\le 30\\[2mm] \dfrac{50-x}{300} & \text{für }30\lt x\le 50\end{cases}$$
a) Berechne die mittlere Lieferzeit. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Pizza länger als 40 Minuten braucht.
a) Das Integral wird an der Knickstelle $x=30$ geteilt:
$\displaystyle\int_{20}^{30}x\cdot\frac{x-20}{150}\,dx=\frac{1}{150}\Big[\frac{x^3}{3}-10x^2\Big]_{20}^{30}=\frac{1}{150}\left(\left(9000-9000\right)-\left(\frac{8000}{3}-4000\right)\right)=\frac{1}{150}\cdot\frac{4000}{3}=\frac{80}{9}$
$\displaystyle\int_{30}^{50}x\cdot\frac{50-x}{300}\,dx=\frac{1}{300}\Big[25x^2-\frac{x^3}{3}\Big]_{30}^{50}=\frac{1}{300}\left(\left(62\,500-\frac{125\,000}{3}\right)-\left(22\,500-9000\right)\right)=\frac{1}{300}\cdot\frac{22\,000}{3}=\frac{220}{9}$
$E(X)=\dfrac{80}{9}+\dfrac{220}{9}=\dfrac{300}{9}=$ $33\tfrac{1}{3}\approx 33{,}3$ Minuten
b) Die orange Fläche ist ein Dreieck mit der Breite $10$ und der Höhe $f(40)=\tfrac{10}{300}=\tfrac{1}{30}$:
$\;P(X\gt 40)=\tfrac12\cdot 10\cdot\tfrac{1}{30}=$ $\tfrac16\approx 16{,}7\,\%$
Der Erwartungswert liegt rechts vom Gipfel bei 30 Minuten. Die lange rechte Flanke – die seltenen, aber sehr langen Lieferungen – zieht ihn nach rechts.
Werkzeug · Partielle Integration
Integrieren eines Produkts
Für Dichten mit $e$-Funktion steht im Integral ein Produkt wie $x\cdot e^{-0{,}2x}$. Dafür kehrt man die Produktregel um.
Aus $\left(u\cdot v\right)'=u'\cdot v+u\cdot v'$ folgt durch Integrieren von $a$ bis $b$:
$$\int_a^b u(x)\cdot v'(x)\,dx=\Big[u(x)\cdot v(x)\Big]_a^b-\int_a^b u'(x)\cdot v(x)\,dx$$
So wählt man die Faktoren
- $u$ ist der Faktor, der beim Ableiten einfacher wird – hier $u=x$, also $u'=1$.
- $v'$ ist der Faktor, dessen Stammfunktion man kennt – hier die $e$-Funktion.
- Das neue Integral rechts enthält dann kein Produkt mehr.
Beispiel · Exponentialverteilung
Beispiel 2Mittlere Lebensdauer einer Akkuzelle berechnen
Die Lebensdauer $X$ einer Akkuzelle (in Jahren) hat die Dichtefunktion $f(x)=0{,}2\,e^{-0{,}2x}$ für $x\ge 0$.
a) Berechne die mittlere Lebensdauer. b) Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zelle diese mittlere Lebensdauer nicht erreicht.
a) Bis $b$ integrieren mit $u=x$, $v'=0{,}2\,e^{-0{,}2x}$, also $u'=1$, $v=-e^{-0{,}2x}$:
$\displaystyle\int_0^{b}x\cdot 0{,}2\,e^{-0{,}2x}\,dx=\Big[-x\,e^{-0{,}2x}\Big]_0^{b}-\int_0^{b}\left(-e^{-0{,}2x}\right)dx=-b\,e^{-0{,}2b}+\Big[-5\,e^{-0{,}2x}\Big]_0^{b}$
$=-b\,e^{-0{,}2b}-5\,e^{-0{,}2b}+5$
Für $b\to\infty$ gehen $b\,e^{-0{,}2b}$ und $5\,e^{-0{,}2b}$ gegen $0$ (die $e$-Funktion fällt schneller, als $b$ wächst): $\;E(X)=$ $5$ Jahre
b) $\displaystyle P(X\lt 5)=\int_0^{5}0{,}2\,e^{-0{,}2x}\,dx=\Big[-e^{-0{,}2x}\Big]_0^{5}=-e^{-1}-\left(-1\right)=1-e^{-1}\approx$ $63{,}2\,\%$
Fast zwei Drittel der Zellen fallen vor der mittleren Lebensdauer aus. Wenige sehr langlebige Zellen ziehen den Erwartungswert nach oben. Allgemein gilt für $f(x)=\lambda\,e^{-\lambda x}$: $E(X)=\tfrac{1}{\lambda}$.
Aufgabe 1 · Mittelwert
AufgabeLuftqualität im Klassenzimmer beurteilen
Während einer Doppelstunde bei geschlossenen Fenstern steigt die CO₂-Konzentration im Klassenzimmer.
Sie wird beschrieben durch $c(t)=600+24\,t-0{,}1\,t^2$ ($t$ in Minuten, $0\le t\le 90$, $c$ in ppm).
Fachleute empfehlen, spätestens bei 1000 ppm zu lüften.
a) Berechne die mittlere CO₂-Konzentration während der Doppelstunde.
b) Bestimme, nach wie vielen Minuten die Grenze von 1000 ppm überschritten wird.
c) Vergleiche den Mittelwert aus a) mit dem Mittel aus Anfangs- und Endwert und erkläre den Unterschied.
a) $\displaystyle\int_0^{90}c(t)\,dt=\Big[600\,t+12\,t^2-\frac{t^3}{30}\Big]_0^{90}=\left(54\,000+97\,200-24\,300\right)-0=126\,900$
$m=\dfrac{126\,900}{90}=$ $1410$ ppm
b) $600+24\,t-0{,}1\,t^2=1000\;\Rightarrow\;t^2-240\,t+4000=0\;\Rightarrow\;t=120-\sqrt{10\,400}\approx$ $18$ Minuten (die zweite Lösung liegt außerhalb).
c) $c(0)=600$, $c(90)=1950$, Mittel $\tfrac{600+1950}{2}=1275$ ppm. Der Integralmittelwert ist größer, weil die Konzentration am Anfang schnell steigt und danach lange hoch bleibt.
Aufgabe 2 · Arbeit
AufgabeArbeit beim Spannen eines Expanders berechnen
Ein Expander zum Krafttraining wird um 0,5 m gedehnt. Seine Federn erfüllen das Gesetz von Hooke mit $F(s)=300\cdot s$ ($s$ in m, $F$ in N).
a) Berechne die Arbeit für die gesamte Dehnung.
b) Berechne die Arbeit für die ersten 25 cm und für die zweiten 25 cm. Vergleiche.
a) $\displaystyle W=\int_0^{0{,}5}300\,s\,ds=\Big[150\,s^2\Big]_0^{0{,}5}=150\cdot 0{,}25-0=$ $37{,}5$ J
b) $\displaystyle\int_0^{0{,}25}300\,s\,ds=150\cdot 0{,}0625=9{,}375$ J, $\displaystyle\int_{0{,}25}^{0{,}5}300\,s\,ds=150\cdot\left(0{,}25-0{,}0625\right)=28{,}125$ J
Die zweite Hälfte kostet dreimal so viel Arbeit wie die erste, weil die Kraft immer weiter wächst.
Aufgabe 3 · Ladung
AufgabeEntladung eines Blitzkondensators untersuchen
Beim Auslösen eines Kamerablitzes entlädt sich ein Kondensator. Die Stromstärke beträgt $I(t)=4\,e^{-0{,}5t}$ ($t$ in Millisekunden, $I$ in Ampere).
Dabei ergibt $1\ \text{A}\cdot 1\ \text{ms}=1$ mC (Millicoulomb).
a) Berechne die Ladung, die in den ersten 2 ms fließt.
b) Berechne die gesamte Ladung, die bei der Entladung fließt.
c) Bestimme, nach welcher Zeit 90 % der gesamten Ladung abgeflossen sind.
Stammfunktion (lineare Substitution): $\;-8\,e^{-0{,}5t}$
a) $\displaystyle\int_0^{2}4\,e^{-0{,}5t}\,dt=-8\,e^{-1}-\left(-8\right)=8-8\,e^{-1}\approx$ $5{,}06$ mC
b) $\displaystyle\int_0^{\infty}4\,e^{-0{,}5t}\,dt=\lim_{b\to\infty}\left(8-8\,e^{-0{,}5b}\right)=$ $8$ mC
c) $8-8\,e^{-0{,}5t}=7{,}2\;\Rightarrow\;e^{-0{,}5t}=0{,}1\;\Rightarrow\;t=2\ln 10\approx$ $4{,}6$ ms
Aufgabe 4 · Erwartungswert
AufgabeAnkunftszeit eines Pakets untersuchen
Ein Paketdienst kündigt die Zustellung zwischen 8 und 12 Uhr an. Die Ankunftszeit $X$ in Stunden nach 8 Uhr hat die Dichtefunktion
$f(x)=\tfrac{3}{32}\,x\,(4-x)$ für $0\le x\le 4$.
a) Weise nach, dass $f$ eine Dichtefunktion ist.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Paket zwischen 9 und 11 Uhr kommt.
c) Berechne den Erwartungswert und begründe das Ergebnis auch ohne Rechnung.
a) $f(x)\ge 0$ auf $[0;4]$. $\displaystyle\int_0^{4}\tfrac{3}{32}\left(4x-x^2\right)dx=\tfrac{3}{32}\Big[2x^2-\frac{x^3}{3}\Big]_0^{4}=\tfrac{3}{32}\left(32-\tfrac{64}{3}\right)=\tfrac{3}{32}\cdot\tfrac{32}{3}=1$ ✓
b) $\displaystyle P(1\le X\le 3)=\tfrac{3}{32}\left(\left(18-9\right)-\left(2-\tfrac13\right)\right)=\tfrac{3}{32}\cdot\tfrac{22}{3}=$ $\tfrac{11}{16}\approx 68{,}8\,\%$
c) $\displaystyle E(X)=\tfrac{3}{32}\int_0^{4}\left(4x^2-x^3\right)dx=\tfrac{3}{32}\Big[\frac{4x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\Big]_0^{4}=\tfrac{3}{32}\left(\tfrac{256}{3}-64\right)=\tfrac{3}{32}\cdot\tfrac{64}{3}=$ $2$, also 10 Uhr.
Ohne Rechnung: Der Graph ist symmetrisch zu $x=2$, also liegt der Gleichgewichtspunkt bei $2$.
Aufgabe 5 · Erwartungswert mit partieller Integration
AufgabeWartezeit an einer Service-Hotline berechnen
Die Wartezeit $X$ (in Minuten) an einer Service-Hotline hat die Dichtefunktion $f(x)=0{,}25\,e^{-0{,}25x}$ für $x\ge 0$.
a) Berechne die mittlere Wartezeit mit partieller Integration.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass man länger als die mittlere Wartezeit warten muss.
a) $u=x$, $v'=0{,}25\,e^{-0{,}25x}$, also $u'=1$, $v=-e^{-0{,}25x}$:
$\displaystyle\int_0^{b}x\cdot 0{,}25\,e^{-0{,}25x}\,dx=\Big[-x\,e^{-0{,}25x}\Big]_0^{b}+\int_0^{b}e^{-0{,}25x}\,dx=-b\,e^{-0{,}25b}-4\,e^{-0{,}25b}+4$
Für $b\to\infty$: $\;E(X)=$ $4$ Minuten
b) $\displaystyle P(X\gt 4)=\lim_{b\to\infty}\Big[-e^{-0{,}25x}\Big]_4^{b}=\lim_{b\to\infty}\left(-e^{-0{,}25b}+e^{-1}\right)=e^{-1}\approx$ $36{,}8\,\%$
Quiz · Integrale in Technik und Statistik
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