Integralrechnung VII – Bogenlänge, Oberflächen und Näherungsverfahren

Integralrechnung VII Bogenlänge, Oberflächen und Näherungsverfahren · Analysis · Klasse 12 Vertiefung

Worum es in diesem Modul geht

Kurven, Körper, Näherungen

Dieses Modul geht über den Lehrplan hinaus. Es beantwortet Fragen, die man mit Flächen und Volumen allein nicht klären kann: Wie lang ist eine gekrümmte Linie? Wie groß ist die Oberfläche eines Rotationskörpers? Wo liegt der Schwerpunkt einer Fläche? Und was tut man, wenn sich ein Integral nicht mehr von Hand berechnen lässt? Die Idee ist immer dieselbe: zerlegen, durch einfache Stücke ersetzen, addieren, verfeinern.

Einstieg · Wie lang ist die Stromleitung?

Situation

Zwischen zwei Masten, die 60 m auseinanderstehen, hängt eine Stromleitung durch. Ein frei hängendes Seil nimmt die Form einer Kettenlinie an. Hier wird sie beschrieben durch $$f(x)=25\left(e^{0{,}02x}+e^{-0{,}02x}\right)-40,\qquad -30\le x\le 30$$ ($x$ und $f(x)$ in Metern). Der tiefste Punkt liegt 10 m über dem Boden, die Masten sind etwa 19,3 m hoch. Frage: Wie lang ist das Seil zwischen den Masten?

Näherung durch gerade Stücke

Spannt man das Seil gerade von Mast zu Mast, wäre es 60 m lang – sicher zu kurz. Besser ist ein Polygonzug: Man ersetzt das Seil durch $n$ gerade Strecken, deren Längen man mit dem Satz des Pythagoras berechnet.

Anzahl der Strecken $n$	1	2	4	8	16
Länge des Polygonzugs in m	60,00	62,80	63,45	63,61	63,65

Mit jeder Verfeinerung wird der Polygonzug etwas länger und nähert sich einem festen Wert – der Länge des Seils.

Interaktiv · Polygonzug verfeinern

So geht's

Wähle eine Kurve und erhöhe die Zahl $n$ der Strecken. Beobachte, wie sich der orange Polygonzug an die Kurve anschmiegt und seine Länge dem exakten Wert immer näher kommt. Beim Parabelbogen gibt es keinen Rechenweg mit Schulmitteln – der Wert stammt aus dem CAS.

Kurve

Anzahl der Strecken n

Länge des Polygonzugs—

Exakte Bogenlänge—

Abweichung—

Herleitung · Pythagoras am kleinen Dreieck

Ein Stück des Polygonzugs

Zwischen $x$ und $x+\Delta x$ wird die Kurve durch eine Strecke ersetzt. Sie ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit der waagerechten Kathete $\Delta x$ und der senkrechten Kathete $\Delta y$:

$\Delta s=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=\sqrt{\Delta x^2\left(1+\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2\right)}=\sqrt{1+\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}\cdot\Delta x$

Für kleines $\Delta x$ ist der Differenzenquotient $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ fast die Ableitung $f'(x)$: $\;\;\Delta s\approx\sqrt{1+f'(x)^2}\cdot\Delta x$

Grenzübergang

Die Länge des Polygonzugs ist die Summe aller Stücke. Lässt man $\Delta x$ gegen null gehen, wird aus der Summe ein Integral: $$\sum_i\sqrt{1+f'(x_i)^2}\cdot\Delta x\;\;\longrightarrow\;\;\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$$

Bogenlänge

Ist $f$ auf $[a;b]$ differenzierbar und $f'$ stetig, dann hat der Graph von $f$ zwischen $a$ und $b$ die Länge $$L=\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$$

Zurück zur Stromleitung

Länge des Seils

Ableitung (lineare Substitution): $\;f'(x)=0{,}5\left(e^{0{,}02x}-e^{-0{,}02x}\right)$

$1+f'(x)^2=1+0{,}25\left(e^{0{,}04x}-2+e^{-0{,}04x}\right)=0{,}25\left(e^{0{,}04x}+2+e^{-0{,}04x}\right)=\left(0{,}5\left(e^{0{,}02x}+e^{-0{,}02x}\right)\right)^2$

Die Wurzel geht auf: $\;\displaystyle L=\int_{-30}^{30}0{,}5\left(e^{0{,}02x}+e^{-0{,}02x}\right)dx=\Big[25\left(e^{0{,}02x}-e^{-0{,}02x}\right)\Big]_{-30}^{30}$

$30$ und $-30$ einsetzen, Differenz bilden: $\;=25\left(e^{0{,}6}-e^{-0{,}6}\right)-25\left(e^{-0{,}6}-e^{0{,}6}\right)=50\left(e^{0{,}6}-e^{-0{,}6}\right)\approx 63{,}67$

Das Seil ist 63,67 m lang, also 3,67 m länger als der Abstand der Masten.

Warum es hier aufgeht

Die Wurzel verschwindet, weil $1+f'(x)^2$ ein vollständiges Quadrat ist – eine besondere Eigenschaft der Kettenlinie. Bei den meisten Funktionen klappt das nicht, schon beim Parabelbogen $f(x)=x^2$ nicht. Dann helfen Näherungsverfahren (Tab Numerische Integration).

Beispiele

Beispiel 1Länge eines Graphen mit linearer Substitution berechnen

Berechne die Länge des Graphen von $f(x)=x^{3/2}$ zwischen $x=0$ und $x=4$.

Ableitung: $\;f'(x)=\tfrac32\,x^{1/2}$, also $\;1+f'(x)^2=1+\tfrac94\,x$

$\displaystyle L=\int_0^4\sqrt{1+\tfrac94\,x}\;dx$. Lineare Substitution: Stammfunktion $\;\dfrac{\left(1+\frac94\,x\right)^{3/2}}{\frac32\cdot\frac94}=\dfrac{8}{27}\left(1+\tfrac94\,x\right)^{3/2}$

$4$ und $0$ einsetzen, Differenz bilden: $\;L=\dfrac{8}{27}\cdot 10^{3/2}-\dfrac{8}{27}\cdot 1^{3/2}=$ $\dfrac{8}{27}\left(10\sqrt{10}-1\right)\approx 9{,}07$

Kontrolle: Die Sehne von $(0\,|\,0)$ nach $(4\,|\,8)$ ist $\sqrt{80}\approx 8{,}94$ lang. Der Bogen ist etwas länger – so muss es sein.

Beispiel 2Länge eines Graphen über ein vollständiges Quadrat berechnen

Berechne die Länge des Graphen von $f(x)=\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{1}{2x}$ zwischen $x=1$ und $x=3$.

Ableitung: $\;f'(x)=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{2x^2}$, also $\;f'(x)^2=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac12+\dfrac{1}{4x^4}$

$1+f'(x)^2=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac12+\dfrac{1}{4x^4}=\left(\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2x^2}\right)^2$

$\displaystyle L=\int_1^3\left(\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2x^2}\right)dx=\Big[\frac{x^3}{6}-\frac{1}{2x}\Big]_1^3$

$3$ und $1$ einsetzen, Differenz bilden: $\;=\left(\dfrac{27}{6}-\dfrac16\right)-\left(\dfrac16-\dfrac12\right)=\dfrac{13}{3}-\left(-\dfrac13\right)=$ $\dfrac{14}{3}=4\tfrac23\approx 4{,}67$

Der Trick: Das Minus in der Mitte von $f'(x)^2$ wird durch die $1$ zum Plus – aus dem Quadrat einer Differenz wird das Quadrat einer Summe.

Einstieg · Stoff für einen Lampenschirm

Situation

Ein Lampenschirm hat die Form eines Kegelstumpfs: Er ist 18 cm hoch, oben hat er den Radius 6 cm, unten 15 cm. Legt man ihn mit seiner Achse auf die $x$-Achse, wird sein Rand beschrieben durch $$f(x)=0{,}5\,x+6,\qquad 0\le x\le 18$$ Der Schirm entsteht, wenn der Graph von $f$ um die $x$-Achse rotiert. Frage: Wie viel Stoff braucht man für den Schirm (ohne Nahtzugabe)?

Idee · In Streifen schneiden

Erster Versuch · Zylinderstreifen

Beim Rotationsvolumen (Modul V) wurde der Körper in Scheiben der Dicke $\Delta x$ zerlegt und jede Scheibe durch einen Zylinder ersetzt. Überträgt man das auf die Oberfläche, hätte jeder Streifen den Zylindermantel $2\pi\,f(x)\cdot\Delta x$, und es ergäbe sich

$\displaystyle 2\pi\int_0^{18}(0{,}5\,x+6)\,dx=2\pi\Big[0{,}25\,x^2+6x\Big]_0^{18}=2\pi\cdot 189=378\,\pi\approx 1187{,}5\ \text{cm}^2$

Mit der Formel aus Klasse 10 für den Kegelstumpf erhält man aber mehr. Der Ansatz ist falsch.

Der Streifen ist schräg

Ein Streifen des Mantels ist nicht $\Delta x$ breit, sondern so breit wie das Kurvenstück darüber: $\Delta s\approx\sqrt{1+f'(x)^2}\cdot\Delta x$ (Tab Bogenlänge). Man ersetzt ihn deshalb durch den Mantel eines Kegelstumpfs: $$M_{\text{Streifen}}\approx 2\pi\,f(x)\cdot\Delta s=2\pi\,f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\cdot\Delta x$$ Beim Volumen schadet die Schräge nicht: Eine dünne Scheibe ist trotzdem fast ein Zylinder. Die Fläche dagegen hängt davon ab, wie schräg der Streifen liegt.

Interaktiv · Zylinder oder Kegelstumpf?

So geht's

Wähle einen Körper und die Art der Streifen. Erhöhe $n$ und vergleiche die Summe der Streifen mit der exakten Mantelfläche. Die Zylinderstreifen kommen dem Wert nie nahe, egal wie fein man zerlegt. Beim Lampenschirm sind die Kegelstumpfstreifen für jedes $n$ exakt – er ist ja selbst ein Kegelstumpf.

Körper und Streifen

Anzahl der Streifen n

Summe der Streifen—

Exakte Mantelfläche—

Abweichung—

Formel · Mantelfläche eines Rotationskörpers

Mantelfläche

Rotiert der Graph einer Funktion $f$ mit $f(x)\ge 0$ über $[a;b]$ um die $x$-Achse, so hat die entstehende Fläche den Inhalt $$M=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$$

Stoffbedarf des Lampenschirms

$f'(x)=0{,}5$, also $\;\sqrt{1+0{,}25}=\sqrt{1{,}25}=\dfrac{\sqrt5}{2}$

$\displaystyle M=2\pi\int_0^{18}(0{,}5\,x+6)\cdot\frac{\sqrt5}{2}\,dx=\sqrt5\,\pi\Big[0{,}25\,x^2+6x\Big]_0^{18}=\sqrt5\,\pi\cdot 189=189\sqrt5\,\pi\approx 1327{,}7\ \text{cm}^2$

Kontrolle mit der Formel aus Klasse 10: $\;s=\sqrt{18^2+9^2}=9\sqrt5$, $\;M=\pi\,(6+15)\cdot 9\sqrt5=189\sqrt5\,\pi$ ✓

Man braucht etwa 1328 cm² Stoff. Die Zylinderstreifen hätten 140 cm² zu wenig ergeben.

Rechentrick

Zieht man $f(x)$ unter die Wurzel, wird der Integrand oft einfacher: $$f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}=\sqrt{f(x)^2+\big(f(x)\cdot f'(x)\big)^2}$$ Bei Wurzelfunktionen wie $f(x)=\sqrt{c\,x}$ ist $f(x)\cdot f'(x)=\tfrac{c}{2}$ konstant. Dann bleibt eine Wurzel aus einem linearen Term übrig.

Beispiele

Beispiel 1Mantelfläche des Kegels herleiten

Ein Kegel mit Radius $r$, Höhe $h$ und Mantellinie $s=\sqrt{h^2+r^2}$ entsteht, wenn $f(x)=\dfrac{r}{h}\,x$ über $[0;h]$ um die $x$-Achse rotiert. Leite die Formel für seine Mantelfläche her.

$f'(x)=\dfrac{r}{h}$, also $\;\sqrt{1+\dfrac{r^2}{h^2}}=\dfrac{\sqrt{h^2+r^2}}{h}=\dfrac{s}{h}$

$\displaystyle M=2\pi\int_0^h\frac{r}{h}\,x\cdot\frac{s}{h}\,dx=2\pi\,\frac{r\,s}{h^2}\Big[\frac{x^2}{2}\Big]_0^h=2\pi\,\frac{r\,s}{h^2}\cdot\frac{h^2}{2}=$ $\pi\,r\,s$

Das ist die Formel aus Klasse 10. Zusammen mit Modul V sind jetzt Volumen und Oberfläche des Kegels hergeleitet.

Beispiel 2Oberfläche der Kugel herleiten

Eine Kugelfläche mit Radius $r$ entsteht, wenn der Halbkreis $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ über $[-r;r]$ rotiert. Leite die Formel für ihren Inhalt her.

$f'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}$, also $\;1+f'(x)^2=1+\dfrac{x^2}{r^2-x^2}=\dfrac{r^2}{r^2-x^2}$

$f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}=\sqrt{r^2-x^2}\cdot\dfrac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}=r$

$\displaystyle O=2\pi\int_{-r}^{r}r\,dx=2\pi\,r\Big[x\Big]_{-r}^{r}=2\pi\,r\left(r-(-r)\right)=$ $4\,\pi\,r^2$

Der Integrand ist konstant: Gleich breite Zonen einer Kugel haben dieselbe Fläche, ob am Äquator oder am Pol. Das wusste schon Archimedes.

Beispiel 3Materialbedarf einer Satellitenschüssel berechnen

Eine Satellitenschüssel hat die Form eines Paraboloids: Sie ist 10 cm tief und hat den Öffnungsradius 20 cm. Liegt ihre Achse auf der $x$-Achse, wird ihr Profil durch $f(x)=\sqrt{40\,x}$ für $0\le x\le 10$ beschrieben (in cm). Berechne, wie viel Blech man für die Schüssel braucht.

Rechentrick: $\;f(x)^2=40\,x$, $\;f'(x)=\dfrac{20}{\sqrt{40\,x}}$, also $\;f(x)\cdot f'(x)=20$

$f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}=\sqrt{40\,x+400}$

$\displaystyle M=2\pi\int_0^{10}\sqrt{40\,x+400}\,dx=2\pi\Big[\frac{(40\,x+400)^{3/2}}{60}\Big]_0^{10}=\frac{\pi}{30}\left(800^{3/2}-400^{3/2}\right)$

$=\dfrac{\pi}{30}\left(16\,000\sqrt2-8000\right)=$ $\dfrac{800\,\pi}{3}\left(2\sqrt2-1\right)\approx 1531{,}8\ \text{cm}^2$

Eine flache Scheibe mit Radius 20 cm hätte nur $400\,\pi\approx 1256{,}6$ cm². Die Wölbung kostet gut 20 % mehr Blech.

AusblickGabriels Horn hat eine unendlich große Oberfläche

In Modul V hat Gabriels Horn ($f(x)=\dfrac1x$ für $x\ge 1$, um die $x$-Achse gedreht) das endliche Volumen $\pi$. Zeige, dass seine Oberfläche unendlich groß ist.

$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$, also $\;\sqrt{1+\dfrac{1}{x^4}}\ge 1$

$\displaystyle M_b=2\pi\int_1^{b}\frac1x\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}\,dx\;\ge\;2\pi\int_1^{b}\frac1x\,dx=2\pi\ln b\;\to\;\infty$ für $b\to\infty$

Die Oberfläche ist unendlich groß.

Man könnte das Horn mit $\pi$ Volumeneinheiten Farbe füllen, aber nicht von außen anstreichen. Den genauen Wert von $M_b$ braucht man dafür gar nicht: Die Abschätzung nach unten genügt.

Einstieg · Wo ist das Brett im Gleichgewicht?

Situation

Ein 8 m langes Brett trägt drei Kisten: 30 kg bei 1 m, 20 kg bei 4 m und 10 kg bei 7 m (gemessen vom linken Ende, das Brett selbst ist sehr leicht). Frage: An welcher Stelle muss man das Brett unterstützen, damit es im Gleichgewicht ist?

Gewichteter Mittelwert

Jede Lage zählt so stark, wie die Kiste dort schwer ist: $$x_s=\frac{30\cdot 1+20\cdot 4+10\cdot 7}{30+20+10}=\frac{180}{60}=3$$ Das Brett ist bei 3 m im Gleichgewicht. Diese Stelle heißt Schwerpunkt.

Von Kisten zur Fläche

Viele schmale Streifen

Nun sei die Fläche unter dem Graphen von $f$ aus dünnem Blech ausgeschnitten. Man zerlegt sie in Streifen der Breite $\Delta x$. Der Streifen an der Stelle $x$ hat ungefähr die Fläche $f(x)\cdot\Delta x$ – das ist sein „Gewicht“ – und seinen eigenen Schwerpunkt in der Mitte, bei $\left(x\,\middle|\,\tfrac12 f(x)\right)$. Wie bei den Kisten bildet man den gewichteten Mittelwert und lässt $\Delta x$ gegen null gehen:

$\displaystyle x_s\approx\frac{\sum x_i\cdot f(x_i)\,\Delta x}{A}\;\longrightarrow\;\frac{1}{A}\int_a^b x\cdot f(x)\,dx$

$\displaystyle y_s\approx\frac{\sum \frac12 f(x_i)\cdot f(x_i)\,\Delta x}{A}\;\longrightarrow\;\frac{1}{2A}\int_a^b f(x)^2\,dx$

Schwerpunkt einer Fläche

Die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ (mit $f(x)\ge 0$) und der $x$-Achse über $[a;b]$ habe den Inhalt $A=\int_a^b f(x)\,dx$. Ihr Schwerpunkt $S(x_s\,|\,y_s)$ liegt bei $$x_s=\frac{1}{A}\int_a^b x\cdot f(x)\,dx\qquad\quad y_s=\frac{1}{2A}\int_a^b f(x)^2\,dx$$

Verbindungen

$x_s$ ist gebaut wie der Erwartungswert in Modul VI: Die Dichte ist hier $\tfrac{f(x)}{A}$, ihre Gesamtfläche ist $1$.
Das Integral $\int f(x)^2\,dx$ in $y_s$ kennst du aus der Volumenformel $V=\pi\int f(x)^2\,dx$ (Modul V). Das ist kein Zufall – siehe unten.
Hat die Fläche eine Symmetrieachse, liegt der Schwerpunkt auf ihr. Das spart Rechnung.

Die Guldinschen Regeln

Beobachtung

Rotiert die Fläche unter dem Graphen um die $x$-Achse, entsteht ein Körper mit dem Volumen $V=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx$. Umgeformt: $$V=2\pi\cdot A\cdot\frac{1}{2A}\int_a^b f(x)^2\,dx=A\cdot 2\pi\,y_s$$ Das Volumen ist die Fläche mal dem Weg, den ihr Schwerpunkt bei einer Umdrehung zurücklegt.

2. Guldinsche Regel · Volumen

Rotiert eine Fläche mit dem Inhalt $A$ um eine Achse, die sie nicht schneidet, und hat ihr Schwerpunkt den Abstand $y_s$ von der Achse, so gilt $$V=A\cdot 2\pi\,y_s$$ Das gilt auch für Flächen, die gar nicht an die Achse grenzen – zum Beispiel für einen Kreis, aus dem ein Ring entsteht.

1. Guldinsche Regel · Oberfläche

Rotiert eine Kurve der Länge $L$ um eine Achse, die sie nicht schneidet, und hat ihr Schwerpunkt den Abstand $y_L$ von der Achse, so gilt $$M=L\cdot 2\pi\,y_L$$ Den Schwerpunkt einer Kurve bestimmen wir hier nur über die Symmetrie: Bei einer Strecke liegt er in der Mitte, bei einer Kreislinie im Mittelpunkt.

Probe am Kegel: Die Mantellinie $s$ hat ihre Mitte in der Höhe $\tfrac r2$. Also $\;M=s\cdot 2\pi\cdot\tfrac r2=\pi\,r\,s$ ✓ (Tab Mantelfläche, Beispiel 1)

Zur Geschichte

Die Regeln sind nach dem Schweizer Mathematiker Paul Guldin (1577–1643) benannt. Bekannt waren sie schon Pappos von Alexandria um 300 n. Chr. Mit ihnen lassen sich Volumen und Oberfläche ringförmiger Körper ganz ohne Integral berechnen.

Interaktiv · Ringe aus Kreis und Quadrat

So geht's

Die lila Fläche rotiert um die $x$-Achse. Verschiebe sie mit dem Regler weiter von der Achse weg. Ihr Schwerpunkt läuft auf der gestrichelten orangen Bahn mit der Länge $2\pi R$. Das Volumen wächst genau proportional zu $R$.

Querschnitt

Abstand des Schwerpunkts R

2,5

—

Beispiele

Beispiel 1Schwerpunkt einer Halbkreisscheibe bestimmen

Bestimme den Schwerpunkt der Halbkreisscheibe unter $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ über $[-r;r]$ und prüfe das Ergebnis mit der 2. Guldinschen Regel.

Symmetrie zur $y$-Achse: $\;x_s=0$. Fläche: $\;A=\tfrac12\,\pi\,r^2$

$\displaystyle\int_{-r}^{r}\left(r^2-x^2\right)dx=\Big[r^2x-\frac{x^3}{3}\Big]_{-r}^{r}=\frac43\,r^3$ (wie beim Kugelvolumen in Modul V)

$y_s=\dfrac{1}{2A}\cdot\dfrac43\,r^3=\dfrac{1}{\pi r^2}\cdot\dfrac43\,r^3=$ $\dfrac{4\,r}{3\,\pi}\approx 0{,}42\,r$

Probe: Rotiert die Halbkreisscheibe um ihren Durchmesser, entsteht eine Kugel: $\;V=\tfrac12\pi r^2\cdot 2\pi\cdot\dfrac{4r}{3\pi}=\dfrac43\,\pi\,r^3$ ✓

Beispiel 2Schwerpunkt unter einem Wurzelgraphen berechnen

Berechne den Schwerpunkt der Fläche zwischen dem Graphen von $f(x)=\sqrt x$ und der $x$-Achse über $[0;4]$. Berechne damit das Volumen des Rotationskörpers.

$\displaystyle A=\int_0^4 x^{1/2}\,dx=\Big[\tfrac23\,x^{3/2}\Big]_0^4=\tfrac23\cdot 8=\tfrac{16}{3}$

$\displaystyle\int_0^4 x\cdot x^{1/2}\,dx=\Big[\tfrac25\,x^{5/2}\Big]_0^4=\tfrac25\cdot 32=\tfrac{64}{5}\qquad\Rightarrow\; x_s=\frac{64}{5}\cdot\frac{3}{16}=\frac{12}{5}=2{,}4$

$\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8\qquad\Rightarrow\; y_s=\frac{8}{2\cdot\frac{16}{3}}=\frac34$

$S\left(2{,}4\;\middle|\;0{,}75\right)$. Guldin: $\;V=\tfrac{16}{3}\cdot 2\pi\cdot\tfrac34=8\pi$, direkt: $\;\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$ ✓

Der Schwerpunkt liegt rechts von der Mitte $x=2$, weil die Fläche nach rechts höher wird.

Beispiel 3Volumen und Oberfläche eines Rettungsrings berechnen

Ein Rettungsring hat den Außendurchmesser 75 cm und den Innendurchmesser 45 cm, sein Querschnitt ist kreisförmig. Berechne sein Volumen und seine Oberfläche.

Querschnittsradius: $\;r=\dfrac{75-45}{4}=7{,}5$ cm. Abstand des Kreismittelpunkts von der Achse: $\;R=\dfrac{75+45}{4}=30$ cm

2. Regel: $\;V=\pi r^2\cdot 2\pi R=\pi\cdot 56{,}25\cdot 60\,\pi=$ $3375\,\pi^2\approx 33\,310\ \text{cm}^3\approx 33{,}3$ Liter

1. Regel: $\;O=2\pi r\cdot 2\pi R=15\,\pi\cdot 60\,\pi=$ $900\,\pi^2\approx 8883\ \text{cm}^2$

Mit einem Integral wäre das deutlich schwerer: Der Querschnittskreis liegt nicht an der Achse, und es entsteht ein Körper mit Loch.

Warum Näherungsverfahren?

Lehrplan

Im Leistungskurs Sachsen gehört dieses Thema zum Wahlbereich 5 „Numerische Integrationsverfahren“.

Zwei Situationen

Keine Stammfunktion mit Schulmitteln. Die Länge des Parabelbogens $y=x^2$ über $[0;2]$ ist $L=\int_0^2\sqrt{1+4x^2}\,dx$. Eine Stammfunktion des Integranden lässt sich mit Schulmitteln nicht finden. Das CAS liefert $L\approx 4{,}6468$.
Nur Messwerte. Ein Fahrtenschreiber speichert die Geschwindigkeit alle 10 Sekunden. Eine Funktionsgleichung gibt es nicht.

In beiden Fällen ersetzt man den Integranden stückweise durch etwas Einfaches, das man integrieren kann: Rechtecke, Trapeze oder Parabelstücke.

Die Verfahren

Rechteckverfahren (Mittelpunkt)

Man teilt $[a;b]$ in $n$ Streifen der Breite $h=\tfrac{b-a}{n}$ und nimmt als Höhe den Funktionswert in der Mitte $m_i$ jedes Streifens: $$R_n=h\cdot\big(f(m_1)+f(m_2)+\ldots+f(m_n)\big)$$

Trapezverfahren

Man verbindet benachbarte Punkte $y_i=f(a+i\,h)$ geradlinig. Jeder Streifen wird ein Trapez mit der Fläche $h\cdot\tfrac{y_{i-1}+y_i}{2}$. Zusammengefasst: $$T_n=h\cdot\left(\tfrac12\,y_0+y_1+y_2+\ldots+y_{n-1}+\tfrac12\,y_n\right)$$ Die inneren Werte zählen voll, weil sie zu zwei Trapezen gehören.

Kepler'sche Fassregel

Man legt durch die drei Punkte bei $a$, bei der Mitte $m$ und bei $b$ eine Parabel und integriert diese: $$\int_a^b f(x)\,dx\approx\frac{b-a}{6}\Big(f(a)+4\,f(m)+f(b)\Big)$$ Die Regel ist sogar exakt für alle ganzrationalen Funktionen bis zum Grad 3. Probe: $\int_0^2 x^3\,dx=4$ und $\tfrac{2}{6}\left(0+4\cdot 1+8\right)=4$ ✓

Simpson-Verfahren

Man wendet die Fassregel auf je zwei benachbarte Streifen an. Dazu muss $n$ gerade sein: $$S_n=\frac{h}{3}\cdot\Big(y_0+4\,y_1+2\,y_2+4\,y_3+\ldots+2\,y_{n-2}+4\,y_{n-1}+y_n\Big)$$ Die Gewichte wechseln innen zwischen $4$ und $2$, die Randwerte zählen einfach.

Interaktiv · Verfahren vergleichen

So geht's

Wähle eine Funktion und ein Verfahren und verändere $n$. Die orangen Flächen sind die Näherung. Beim Simpson-Verfahren wird $n$ auf die nächste gerade Zahl aufgerundet.

Funktion und Verfahren

Anzahl der Streifen n

Näherung—

Exakter Wert—

Fehler—

Wie genau sind die Verfahren?

Parabelbogen $\int_0^2\sqrt{1+4x^2}\,dx\approx 4{,}646784$ (CAS). Angegeben ist die Abweichung vom CAS-Wert.

$n$	Rechteck	Trapez	Simpson
2	−0,0703	+0,1508	+0,0423
4	−0,0201	+0,0403	+0,0034
8	−0,0051	+0,0101	+0,00005
16	−0,0013	+0,0025	−0,0000001

Merke

Halbiert man die Streifenbreite $h$, so wird der Fehler beim Rechteck- und beim Trapezverfahren etwa geviertelt.
Beim Simpson-Verfahren sinkt er viel schneller, für feine Zerlegungen etwa auf ein Sechzehntel.
Rechteck- und Trapezfehler haben oft entgegengesetzte Vorzeichen. Das Rechteckverfahren ist dabei etwa doppelt so genau wie das Trapezverfahren.

Programmieren · Die Verfahren in Python

Schleifen statt Handarbeit

Für große $n$ rechnet man nicht von Hand. Ein kurzes Programm arbeitet die Formeln in einer Schleife ab – hier für den Parabelbogen.

from math import sqrt

def f(x):
    return sqrt(1 + 4*x**2)        # Integrand der Bogenlänge von y = x²

def trapez(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    s = (f(a) + f(b)) / 2             # Randwerte zählen halb
    for i in range(1, n):
        s += f(a + i*h)
    return h * s

def simpson(f, a, b, n):           # n muss gerade sein
    h = (b - a) / n
    s = f(a) + f(b)
    for i in range(1, n):
        s += (4 if i % 2 == 1 else 2) * f(a + i*h)
    return h * s / 3

for n in (2, 4, 8, 16):
    print(n, round(trapez(f, 0, 2, n), 5), round(simpson(f, 0, 2, n), 5))

# Ausgabe:
# 2 4.79762 4.68913
# 4 4.68706 4.6502
# 8 4.65689 4.64683
# 16 4.64931 4.64678

Beispiele

Beispiel 1Länge des Parabelbogens von Hand nähern

Berechne Näherungswerte für die Länge des Parabelbogens $L=\displaystyle\int_0^2\sqrt{1+4x^2}\,dx$ mit dem Trapez- und dem Simpson-Verfahren für $n=4$.

$x$	0	0,5	1	1,5	2
$y=\sqrt{1+4x^2}$	$1$	$\sqrt2\approx 1{,}4142$	$\sqrt5\approx 2{,}2361$	$\sqrt{10}\approx 3{,}1623$	$\sqrt{17}\approx 4{,}1231$

Streifenbreite: $\;h=\dfrac{2-0}{4}=0{,}5$

Trapez: $\;T_4=0{,}5\cdot\left(\tfrac12\cdot 1+1{,}4142+2{,}2361+3{,}1623+\tfrac12\cdot 4{,}1231\right)=0{,}5\cdot 9{,}3742\approx$ $4{,}6871$

Simpson: $\;S_4=\dfrac{0{,}5}{3}\cdot\left(1+4\cdot 1{,}4142+2\cdot 2{,}2361+4\cdot 3{,}1623+4{,}1231\right)=\dfrac{0{,}5}{3}\cdot 27{,}9012\approx$ $4{,}6502$

Vergleich mit dem CAS-Wert $4{,}6468$: Das Trapezverfahren liegt um $0{,}040$ daneben, das Simpson-Verfahren nur um $0{,}003$ – bei gleich vielen Funktionswerten.

Beispiel 2Keplers Weinfass berechnen

Johannes Kepler kaufte 1613 Wein für seine Hochzeit. Der Händler bestimmte den Inhalt der Fässer mit einem Messstab, den er schräg durch das Spundloch steckte. Kepler zweifelte an der Methode und schrieb 1615 ein Buch über die Volumenberechnung von Fässern. Daraus stammt die Fassregel.

Ein Fass ist 100 cm lang, an den Böden hat es den Radius 30 cm, in der Mitte 40 cm. Sein Profil wird beschrieben durch $r(x)=40-0{,}004\,(x-50)^2$ für $0\le x\le 100$ (in cm). a) Berechne das Volumen mit der Fassregel. b) Berechne das exakte Volumen und vergleiche.

a) Die Querschnittsfläche ist $A(x)=\pi\,r(x)^2$. Fassregel: $\;V\approx\dfrac{100}{6}\left(\pi\cdot 30^2+4\cdot\pi\cdot 40^2+\pi\cdot 30^2\right)=\dfrac{100}{6}\cdot 8200\,\pi\approx$ $429\,351\ \text{cm}^3\approx 429{,}4$ Liter

b) Mit $u=x-50$: $\;r^2=\left(40-0{,}004\,u^2\right)^2=1600-0{,}32\,u^2+0{,}000016\,u^4$

$\displaystyle V=\pi\int_{-50}^{50}\left(1600-0{,}32\,u^2+0{,}000016\,u^4\right)du=\pi\Big[1600\,u-\frac{0{,}32}{3}\,u^3+0{,}0000032\,u^5\Big]_{-50}^{50}$

$=\pi\left(160\,000-\tfrac{80\,000}{3}+2000\right)=135\,333\tfrac13\,\pi\approx$ $425\,162\ \text{cm}^3\approx 425{,}2$ Liter

Die Fassregel liegt nur 4,2 Liter, also etwa 1 %, daneben. Ganz exakt ist sie hier nicht, weil $r(x)^2$ den Grad 4 hat.

Beispiel 3Weg aus Messwerten eines Fahrtenschreibers bestimmen

Der Fahrtenschreiber eines Lkw hat beim Anfahren alle 10 Sekunden die Geschwindigkeit gespeichert. Bestimme näherungsweise den Weg in der ersten Minute.

$t$ in s	0	10	20	30	40	50	60
$v$ in m/s	0	8	14	18	20	21	22

Der Weg ist die Fläche unter dem Graphen der Geschwindigkeit. Streifenbreite $h=10$, $n=6$.

Trapez: $\;T_6=10\cdot\left(\tfrac12\cdot 0+8+14+18+20+21+\tfrac12\cdot 22\right)=10\cdot 92=$ $920$ m

Simpson: $\;S_6=\dfrac{10}{3}\cdot\left(0+4\cdot 8+2\cdot 14+4\cdot 18+2\cdot 20+4\cdot 21+22\right)=\dfrac{10}{3}\cdot 278\approx$ $926{,}7$ m

Einen exakten Wert gibt es hier nicht. Weil sich die Geschwindigkeit ohne Sprünge ändert, ist der Simpson-Wert vermutlich genauer: Der Verlauf ist rechtsgekrümmt, die Trapeze liegen deshalb etwas unter ihm.

Aufgabe 1 · Bogenlänge

AufgabeLänge eines Graphen berechnen

Gegeben ist $f(x)=\tfrac23\,x^{3/2}$ für $0\le x\le 8$.

a) Berechne die Länge des Graphen.

b) Vergleiche mit der Länge der Sehne zwischen den Endpunkten.

a) $f'(x)=x^{1/2}$, also $\;1+f'(x)^2=1+x$

$\displaystyle L=\int_0^8\sqrt{1+x}\,dx=\Big[\tfrac23\,(1+x)^{3/2}\Big]_0^8=\tfrac23\cdot 27-\tfrac23\cdot 1=$ $\tfrac{52}{3}=17\tfrac13\approx 17{,}33$

b) Endpunkte $(0\,|\,0)$ und $\left(8\,\middle|\,\tfrac23\cdot 8^{3/2}\right)\approx(8\,|\,15{,}08)$. Sehne: $\sqrt{8^2+15{,}08^2}\approx 17{,}07$. Der Bogen ist nur etwa $0{,}26$ länger, weil der Graph kaum gekrümmt ist.

Aufgabe 2 · Vollständiges Quadrat

AufgabeWurzel auflösen und Bogenlänge berechnen

Gegeben ist $f(x)=\dfrac{x^4}{8}+\dfrac{1}{4x^2}$ für $1\le x\le 2$.

a) Zeige, dass $1+f'(x)^2=\left(\dfrac{x^3}{2}+\dfrac{1}{2x^3}\right)^2$ gilt.

b) Berechne die Länge des Graphen.

a) $f'(x)=\dfrac{x^3}{2}-\dfrac{1}{2x^3}$, $\;f'(x)^2=\dfrac{x^6}{4}-\dfrac12+\dfrac{1}{4x^6}$, $\;1+f'(x)^2=\dfrac{x^6}{4}+\dfrac12+\dfrac{1}{4x^6}=\left(\dfrac{x^3}{2}+\dfrac{1}{2x^3}\right)^2$ ✓

b) $\displaystyle L=\int_1^2\left(\frac{x^3}{2}+\frac{1}{2x^3}\right)dx=\Big[\frac{x^4}{8}-\frac{1}{4x^2}\Big]_1^2=\left(2-\frac{1}{16}\right)-\left(\frac18-\frac14\right)=\frac{31}{16}+\frac{2}{16}=$ $\tfrac{33}{16}=2\tfrac{1}{16}\approx 2{,}06$

Aufgabe 3 · Kuppeldach

AufgabeFarbbedarf für eine Kuppel berechnen

Das Dach eines Planetariums ist ein Stück einer Kugel mit dem Radius 10 m. Die Kuppel ist 4 m hoch, ihr Grundkreis hat den Radius 8 m. Legt man sie auf die Seite, entsteht sie durch Rotation von $f(x)=\sqrt{100-x^2}$ für $6\le x\le 10$ um die $x$-Achse.

a) Zeige, dass $f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}=10$ gilt.

b) Berechne den Inhalt der Dachfläche.

c) Ein Liter Dachfarbe reicht für 8 m². Bestimme, wie viele Liter man für einen Anstrich braucht.

a) $f'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{100-x^2}}$, $\;1+f'(x)^2=\dfrac{100}{100-x^2}$, $\;f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}=\sqrt{100-x^2}\cdot\dfrac{10}{\sqrt{100-x^2}}=10$ ✓

b) $\displaystyle M=2\pi\int_6^{10}10\,dx=20\,\pi\cdot(10-6)=$ $80\,\pi\approx 251{,}3\ \text{m}^2$

c) $251{,}3:8\approx 31{,}4$, also 32 Liter.

Allgemein hat eine Kugelkappe mit der Höhe $h$ die Fläche $2\pi\,r\,h$ – hier $2\pi\cdot 10\cdot 4=80\pi$.

Aufgabe 4 · Glasschale

AufgabeInnenfläche einer Dessertschale berechnen

Eine gläserne Dessertschale ist innen 8 cm tief und hat die Form eines Paraboloids. Liegt sie auf der Seite, wird ihre Innenwand durch $f(x)=\sqrt{4\,x}$ für $0\le x\le 8$ beschrieben (in cm). Die Innenseite soll mit einer dünnen Schokoladenschicht überzogen werden.

Berechne den Inhalt der Innenfläche. Nutze den Rechentrick $f\sqrt{1+f'^2}=\sqrt{f^2+(f\cdot f')^2}$.

$f(x)^2=4x$, $\;f'(x)=\dfrac{2}{\sqrt{4x}}$, $\;f(x)\cdot f'(x)=2$, also $\;f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}=\sqrt{4x+4}=2\sqrt{x+1}$

$\displaystyle M=2\pi\int_0^8 2\sqrt{x+1}\,dx=4\pi\Big[\tfrac23\,(x+1)^{3/2}\Big]_0^8=4\pi\cdot\tfrac23\,(27-1)=$ $\dfrac{208\,\pi}{3}\approx 217{,}8\ \text{cm}^2$

Aufgabe 5 · Schwerpunkt

AufgabeAufhängepunkt eines Werbeschilds bestimmen

Ein Werbeschild aus Blech hat die Form der Fläche zwischen dem Graphen von $f(x)=4-x^2$ und den beiden Koordinatenachsen im ersten Quadranten (in dm). Damit es gerade hängt, muss man seinen Schwerpunkt kennen.

a) Berechne den Schwerpunkt des Schilds.

b) Die Fläche rotiert um die $x$-Achse. Berechne das Volumen mit der 2. Guldinschen Regel und prüfe mit der Formel aus Modul V.

a) $\displaystyle A=\int_0^2\left(4-x^2\right)dx=\Big[4x-\frac{x^3}{3}\Big]_0^2=8-\frac83=\frac{16}{3}$

$\displaystyle\int_0^2 x\left(4-x^2\right)dx=\Big[2x^2-\frac{x^4}{4}\Big]_0^2=8-4=4\qquad\Rightarrow\; x_s=4\cdot\frac{3}{16}=\frac34$

$\displaystyle\int_0^2\left(4-x^2\right)^2dx=\int_0^2\left(16-8x^2+x^4\right)dx=\Big[16x-\frac{8x^3}{3}+\frac{x^5}{5}\Big]_0^2=32-\frac{64}{3}+\frac{32}{5}=\frac{256}{15}$

$y_s=\dfrac{256}{15}\cdot\dfrac{1}{2\cdot\frac{16}{3}}=\dfrac{256}{15}\cdot\dfrac{3}{32}=\dfrac85$. $S\left(0{,}75\;\middle|\;1{,}6\right)$

b) $V=\tfrac{16}{3}\cdot 2\pi\cdot\tfrac85=\dfrac{256\,\pi}{15}\approx 53{,}6\ \text{dm}^3$. Modul V: $\;\pi\displaystyle\int_0^2\left(4-x^2\right)^2dx=\frac{256\,\pi}{15}$ ✓

Aufgabe 6 · Guldinsche Regeln

AufgabeLuftvolumen eines Fahrradschlauchs berechnen

Ein aufgepumpter Fahrradschlauch ist ein Ring mit kreisförmigem Querschnitt. Der Querschnitt hat den Radius 2 cm, sein Mittelpunkt ist 32 cm von der Radachse entfernt.

a) Berechne das Luftvolumen im Schlauch.

b) Berechne die Oberfläche des Schlauchs.

c) Erkläre, warum beide Ergebnisse dieselbe Maßzahl haben.

a) $V=\pi\cdot 2^2\cdot 2\pi\cdot 32=$ $256\,\pi^2\approx 2527\ \text{cm}^3\approx 2{,}5$ Liter

b) $O=2\pi\cdot 2\cdot 2\pi\cdot 32=$ $256\,\pi^2\approx 2527\ \text{cm}^2$

c) $\dfrac{V}{O}=\dfrac{\pi r^2\cdot 2\pi R}{2\pi r\cdot 2\pi R}=\dfrac{r}{2}=1$ cm. Bei $r=2$ cm stimmen die Maßzahlen deshalb überein.

Aufgabe 7 · Numerische Integration

AufgabeVerfahren am bekannten Wert testen

Es gilt $\displaystyle\int_1^3\frac1x\,dx=\ln 3\approx 1{,}098612$. An diesem bekannten Wert kann man testen, wie gut die Verfahren sind.

a) Berechne den Näherungswert mit dem Trapezverfahren für $n=4$ als Bruch.

b) Berechne den Näherungswert mit dem Simpson-Verfahren für $n=4$.

c) Vergleiche die Fehler.

$h=0{,}5$; Funktionswerte bei $1;\;1{,}5;\;2;\;2{,}5;\;3$: $\;1,\;\tfrac23,\;\tfrac12,\;\tfrac25,\;\tfrac13$

a) $T_4=0{,}5\cdot\left(\tfrac12+\tfrac23+\tfrac12+\tfrac25+\tfrac16\right)=0{,}5\cdot\tfrac{67}{30}=$ $\tfrac{67}{60}\approx 1{,}11667$

b) $S_4=\dfrac{0{,}5}{3}\cdot\left(1+4\cdot\tfrac23+2\cdot\tfrac12+4\cdot\tfrac25+\tfrac13\right)=\dfrac16\cdot 6{,}6=$ $1{,}1$

c) Fehler Trapez: $\approx 0{,}0181$, Fehler Simpson: $\approx 0{,}0014$. Das Simpson-Verfahren ist etwa 13-mal genauer.

Aufgabe 8 · Wellblech

AufgabeBlechbedarf für ein Wellblech abschätzen

Ein Wellblech wird aus flachem Blech gepresst. Sein Profil ist $y=\sin x$ (in cm): Eine Welle ist $2\pi\approx 6{,}28$ cm lang und 2 cm hoch.

a) Stelle das Integral für die Länge eines halben Wellenbogens über $[0;\pi]$ auf.

b) Berechne einen Näherungswert mit dem Trapezverfahren für $n=4$.

c) Das fertige Wellblech soll 1 m breit sein. Schätze ab, wie breit das flache Blech sein muss.

a) $\displaystyle L=\int_0^{\pi}\sqrt{1+\cos^2 x}\,dx$. Eine Stammfunktion gibt es mit Schulmitteln nicht.

b) $h=\tfrac{\pi}{4}$. Werte bei $0,\tfrac\pi4,\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}4,\pi$: $\;\sqrt2,\;\sqrt{1{,}5},\;1,\;\sqrt{1{,}5},\;\sqrt2$

$T_4=\tfrac{\pi}{4}\cdot\left(\tfrac12\sqrt2+\sqrt{1{,}5}+1+\sqrt{1{,}5}+\tfrac12\sqrt2\right)=\tfrac{\pi}{4}\cdot\left(\sqrt2+2\sqrt{1{,}5}+1\right)\approx$ $3{,}820$ (CAS: $3{,}8202$)

c) Eine ganze Welle ist $2\cdot 3{,}820\approx 7{,}64$ cm lang statt $6{,}28$ cm. Breite: $100\cdot\dfrac{7{,}64}{6{,}28}\approx$ $122$ cm.

Quiz · Kurven, Körper, Näherungen