Einstieg
Eine Schule möchte wissen, wie viele Nachrichten (SMS, WhatsApp, ...) Jugendliche durchschnittlich an einem Tag verschicken. Alle Schülerinnen und Schüler des Landes zu befragen wäre viel zu aufwendig — deshalb wird nur eine Stichprobe befragt und aus ihr auf die Grundgesamtheit (alle Jugendlichen) geschlossen.
Ein Wahlhelfer, ein Marktforscher oder eben ein Statistiker steht dabei vor demselben Grundproblem: Er kennt nicht alle Werte, sondern nur die einer kleinen Auswahl — und muss aus dieser Auswahl einen möglichst guten Schätzwert für die unbekannte Größe der Grundgesamtheit gewinnen.
Am Montag werden n = 10 zufällig ausgewählte Jugendliche befragt, wie viele Nachrichten sie an diesem Tag verschickt haben:
Diese zehn Werte begleiten uns durch das gesamte Modul.
Zwei Fragen, zwei Kennzahlen
1. Wie viele Nachrichten verschickt ein Jugendlicher im Schnitt?
→ Diese Frage beantwortet das Stichprobenmittel (Tab 2).
2. Wie stark schwanken die Werte um diesen Durchschnitt?
→ Diese Frage beantwortet die Stichprobenvarianz (Tab 3).
Beide Kennzahlen sind Schätzfunktionen: Sie ordnen jeder Stichprobe einen Zahlenwert zu, der als bestmögliche Schätzung für den entsprechenden Parameter der Grundgesamtheit dient.
Stichprobenmittel
Wie viele Nachrichten hat ein Jugendlicher aus unserer Stichprobe im Schnitt verschickt? Wir haben die zehn Werte:
Um den Durchschnitt zu berechnen, addieren wir alle zehn Werte und teilen durch die Anzahl der befragten Personen.
Rechenweg Schritt für Schritt
Schritt 1 — Summe bilden:
Schritt 2 — durch die Anzahl der Werte teilen ($n=10$):
Im Schnitt hat jeder Jugendliche aus der Stichprobe an diesem Tag 15 Nachrichten verschickt.
Allgemein nennt man diesen Rechenweg das Stichprobenmittel $\bar{x}$ einer Stichprobe $x_1, x_2, \dots, x_n$ vom Umfang $n$:
Das Stichprobenmittel ist der Schätzwert für den unbekannten Erwartungswert $\mu$ der Grundgesamtheit.
Stichprobenvarianz
Der Durchschnitt allein sagt noch nichts darüber aus, wie unterschiedlich die zehn Jugendlichen tatsächlich waren. Manche liegen nah am Mittelwert $\bar{x}=15{,}00$, andere weichen stark ab. Diese Streuung misst die Stichprobenvarianz $s^2$.
Rechenweg Schritt für Schritt
Schritt 1 — Abweichung jedes Werts vom Mittelwert bestimmen und quadrieren:
Schritt 2 — Abweichungsquadrate aufsummieren:
Schritt 3 — durch $n-1$ teilen (nicht durch $n$ — siehe Tab „Abgrenzung"):
Die Stichprobenvarianz beträgt $s^2\approx 16{,}67\ \text{Nachrichten}^2$. Die dazugehörige Standardabweichung $s=\sqrt{s^2}\approx 4{,}08$ Nachrichten ist anschaulicher: Die Werte weichen im Schnitt um rund 4 Nachrichten vom Mittelwert ab.
Allgemein nennt man diesen Rechenweg die Stichprobenvarianz $s^2$ einer Stichprobe $x_1,\dots,x_n$ mit Stichprobenmittel $\bar{x}$:
Die Stichprobenvarianz ist der Schätzwert für die unbekannte Varianz $\sigma^2$ der Grundgesamtheit.
Abgrenzung: Warum $n-1$?
Eine anschauliche Begründung — kein Beweis
Warum wird bei der Stichprobenvarianz durch $n-1=9$ geteilt und nicht durch $n=10$? Ein vollständiger Beweis dieser sogenannten Erwartungstreue ist nicht Teil dieses Kurses. Eine anschauliche Idee dahinter lässt sich aber ohne Formeln nachvollziehen:
Ein wichtiger Baustein: Die Summe aller Abweichungen vom Mittelwert ist immer null — das folgt zwingend aus der Definition des Mittelwerts und gilt für jede Stichprobe. Für unsere zehn Werte:
Nehmen wir an, wir kennen $\bar{x}=15{,}00$ und neun der zehn Abweichungen — nur die letzte fehlt:
Die neun bekannten Abweichungen summieren sich zu $2$. Damit die Gesamtsumme null ergibt, muss die fehlende Abweichung $-2$ sein — es gibt keine andere Möglichkeit. Sie lag durch die anderen neun bereits fest, wir mussten sie nicht extra berechnen.
Das bedeutet: Von den zehn Abweichungen dürfen wir neun frei wählen — die zehnte ist durch sie bereits bestimmt. Nur neun der zehn Werte liefern also wirklich neue, unabhängige Information über die Streuung. Man sagt, die Stichprobe hat $n-1=9$ Freiheitsgrade. Die Division durch $n-1$ statt durch $n$ trägt dem Rechnung.
Dass $\bar{x}$ im Mittel den richtigen Wert $\mu$ trifft und $s^2$ mit $n-1$ im Nenner im Mittel den richtigen Wert $\sigma^2$ trifft, lässt sich mathematisch beweisen. Dieser Beweis ist nicht Teil dieses Kurses — hier reicht die anschauliche Idee von oben.
Stichprobenschwankung veranschaulichen
Im Hintergrund steht eine (simulierte) große Grundgesamtheit von Jugendlichen mit unterschiedlicher Nachrichtenanzahl pro Tag. Jeder Klick auf „Neue Stichprobe ziehen" wählt zufällig $n$ von ihnen aus — genau wie ein Wahlhelfer oder Marktforscher es in der Praxis tut.
Beobachte: Das Stichprobenmittel $\bar{x}$ ist jedes Mal etwas anders — es schwankt. Bei größerem $n$ wird diese Schwankung kleiner.
Aktuelle Stichprobe (grüne Punkte = einzelne befragte Jugendliche, rote Linie = ihr Stichprobenmittel):
Verlauf der bisherigen Stichprobenmittel $\bar{x}$ (jeder Punkt = eine Ziehung; die aktuelle ist hervorgehoben):
Übungen
Ein Trainer notiert für n = 8 Nachwuchsspieler, wie viele Elfmeter sie bei einem Training aus 15 Versuchen verwandelt haben:
Berechne das Stichprobenmittel $\bar{x}$ und die Stichprobenvarianz $s^2$.
Mittelwert:
Varianz — Abweichungsquadrate: $0{,}25;\ 2{,}25;\ 6{,}25;\ 6{,}25;\ 2{,}25;\ 0{,}25;\ 12{,}25;\ 12{,}25$, Summe $=42$:
Eine Gruppe von n = 10 Jugendlichen spielt an einem Abend ein Handyspiel. Notiert wird, wie viele Level jede Person schafft:
Berechne das Stichprobenmittel $\bar{x}$ und die Stichprobenvarianz $s^2$.
Mittelwert:
Varianz — Abweichungsquadrate: $2{,}25;\ 2{,}25;\ 0{,}25;\ 6{,}25;\ 0{,}25;\ 6{,}25;\ 2{,}25;\ 0{,}25;\ 2{,}25;\ 0{,}25$, Summe $=22{,}5$:
Erkläre in eigenen Worten: Warum wird bei der Berechnung der Stichprobenvarianz durch $n-1$ geteilt und nicht einfach durch $n$?
Für die Berechnung von $s^2$ wird bereits der aus der Stichprobe selbst berechnete Mittelwert $\bar{x}$ verwendet. Kennt man $n-1$ der Abweichungen vom Mittelwert, liegt die letzte automatisch fest — die Summe aller Abweichungen ist immer null. Nur $n-1$ Werte tragen also wirklich unabhängige Information zur Streuung bei; man sagt, die Stichprobe hat $n-1$ Freiheitsgrade. Die Division durch $n-1$ trägt dem Rechnung.