Hypothesentest · Rechtsseitig

Ein konkreter Fall

Ein Wetterdienst gibt an, dass seine Kurzfristvorhersagen (für den jeweils kommenden Tag) mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % zutreffen. Nach Einführung eines neuen, KI-gestützten Vorhersagemodells vermutet der Wetterdienst, dass die Trefferquote gestiegen ist.

Um diese Vermutung zu überprüfen, werden 100 zufällig ausgewählte Tage betrachtet, an denen das neue Modell im Einsatz war. Die Zufallsgröße $X$ zählt dabei die Anzahl der Tage, an denen die Vorhersage zutraf.

Die Frage, um die es in diesem Modul geht: Wie viele der 100 Tage müssten mindestens zutreffend vorhergesagt sein, damit man mit einer vertretbaren Sicherheit sagen kann, die Trefferquote habe sich tatsächlich erhöht — und nicht nur durch Zufall so hoch ausgefallen ist?

Warum reicht „mehr als 80" nicht als Antwort?

Selbst wenn die wahre Trefferquote weiterhin genau $p = 0{,}80$ betrüge, würde eine Stichprobe von 100 Tagen nicht immer exakt 80 Treffer liefern — mal sind es 76, mal 83, mal 79. Diese natürliche Schwankung um den Erwartungswert nennt man Stichprobenschwankung.

Ein Hypothesentest (auch Signifikanztest) liefert eine feste Regel, ab welcher Trefferzahl eine Abweichung so groß ist, dass „reiner Zufall" als Erklärung unplausibel wird. Genau diese Grenze werden wir in diesem Modul Schritt für Schritt herleiten.

Dieses Modul baut auf der Binomialverteilung auf (Module 05/06): Die Anzahl $X$ zutreffender Vorhersagen ist binomialverteilt, wenn die Voraussetzungen einer Bernoulli-Kette erfüllt sind — was wir hier als gegeben annehmen.

Ablauf eines Hypothesentests — im Überblick

Ein Signifikanztest folgt immer demselben Schema. In diesem Modul lernst du jeden Schritt am Beispiel des Wetterdienstes kennen:

Schritt	Was passiert	Tab
1	Null- und Alternativhypothese aufstellen	Hypothesen
2	Ablehnungsbereich mithilfe der Sigma-Regeln bestimmen	Ablehnungsbereich
3	Stichprobenergebnis mit dem Ablehnungsbereich vergleichen, Entscheidung treffen	Entscheidung

Warum „rechtsseitig"? Der Wetterdienst vermutet eine höhere Trefferquote als bisher — die Alternativhypothese zeigt also nach „rechts", zu größeren Werten. Bei linksseitigen Tests (Modul 3) wird umgekehrt eine niedrigere Quote vermutet.

Die Vermutung als Hypothesenpaar formulieren

Beim Wetterdienst-Beispiel gibt es zwei sich ausschließende Möglichkeiten für die wahre (unbekannte) Trefferquote $p$:

Die Quote ist weiterhin höchstens 80 % (Status quo)

Die Quote ist tatsächlich gestiegen, also größer als 80 %

Die erste Möglichkeit — der „vorsichtige" Normalfall, der nichts Neues behauptet — heißt Nullhypothese $H_0$. Die zweite, für die man erst überzeugende Evidenz aus den Daten braucht, heißt Alternativhypothese $H_1$.

$$H_0: p \le 0{,}80 \qquad\qquad H_1: p > 0{,}80$$

Merkregel: Die Nullhypothese enthält immer das Gleichheitszeichen (hier versteckt in „$\le$"). Man geht so lange von $H_0$ aus, bis die Stichprobe genügend starke Evidenz gegen $H_0$ liefert.

Warum „rechtsseitig"?

Die Alternativhypothese $H_1: p > 0{,}80$ enthält nur größere Werte als der Vergleichswert $p_0 = 0{,}80$. Zeichnet man die möglichen Trefferzahlen auf einer Zahlengeraden, liegt der kritische Bereich also am rechten Rand der Verteilung — daher rechtsseitiger Test.

Testart	Nullhypothese	Alternativhypothese	Ablehnungsbereich liegt …
rechtsseitig (dieses Modul)	$p \le p_0$	$p > p_0$	bei großen Werten
linksseitig (Modul 3)	$p \ge p_0$	$p < p_0$	bei kleinen Werten
zweiseitig (Modul 4)	$p = p_0$	$p \ne p_0$	an beiden Rändern

Woran erkennt man im Aufgabentext, dass ein rechtsseitiger Test gemeint ist? Formulierungen wie „gestiegen", „verbessert", „mehr als vermutet" deuten auf $H_1: p > p_0$ hin.

Die Zufallsgröße festlegen

Für den Test brauchen wir eine binomialverteilte Zufallsgröße. Beim Wetterdienst-Beispiel:

$$X: \text{Anzahl der zutreffenden Vorhersagen unter 100 Tagen}, \qquad X \sim B(100;\, 0{,}80) \ \text{unter } H_0$$

Wichtig: Für die Herleitung des Ablehnungsbereichs wird immer der Grenzwert aus $H_0$ eingesetzt — hier also $p_0 = 0{,}80$. Man rechnet quasi „im schlechtesten Fall für $H_1$": Nur wenn die Daten selbst dann noch auffällig sind, spricht das für $H_1$.

Erwartungswert und Standardabweichung

Unter der Annahme $X \sim B(100;\, 0{,}80)$ berechnen sich Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ mit den bekannten Formeln der Binomialverteilung:

$$\mu = n \cdot p = 100 \cdot 0{,}80 = 80$$

$$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{100 \cdot 0{,}80 \cdot 0{,}20} = \sqrt{16} = 4$$

Laplace-Bedingung: Die Sigma-Regeln (Näherung durch die Normalverteilung) dürfen nur angewendet werden, wenn $\sigma > 3$ gilt. Hier: $\sigma = 4 > 3$ ✓ — die Näherung ist zulässig.

Von Sigma-Umgebungen zur Grenze $k$

Die Sigma-Regeln beschreiben, wie sich binomialverteilte Werte um $\mu$ streuen. Für einseitige Tests (rechts- oder linksseitig) gehören zu den gängigen Signifikanzniveaus folgende Vielfache von $\sigma$:

Signifikanzniveau $\alpha$	Faktor $z$	Grenze
$10\,\%$	$1{,}28$	$\mu + 1{,}28\,\sigma$
$5\,\%$	$1{,}64$	$\mu + 1{,}64\,\sigma$
$1\,\%$	$2{,}33$	$\mu + 2{,}33\,\sigma$

Beim Wetterdienst ist $\alpha = 0{,}05$ vorgegeben, also $z = 1{,}64$:

$$\mu + 1{,}64\,\sigma = 80 + 1{,}64 \cdot 4 = 80 + 6{,}56 = 86{,}56$$

Da $X$ nur ganzzahlige Werte annimmt und der Ablehnungsbereich rechtsseitig ist (wir suchen die kleinste Trefferzahl, die noch auffällig ist), wird aufgerundet:

$$k = 87$$

Merkregel zum Runden: Beim rechtsseitigen Test wird die berechnete Grenze stets aufgerundet — der Ablehnungsbereich soll ja bei einer ganzen Trefferzahl beginnen und darf nicht „zu groß" werden (sonst würde $\alpha$ überschritten).

Ablehnungsbereich und Annahmebereich

Damit lassen sich beide Bereiche angeben:

$$\overline{A} = \{87,\, 88,\, \ldots,\, 100\} \qquad \text{(Ablehnungsbereich)}$$

$$A = \{0,\, 1,\, \ldots,\, 86\} \qquad \text{(Annahmebereich)}$$

Kontrolle mit dem TI-Nspire CX II-T CAS

Der exakte Wert lässt sich mit binomCdf überprüfen:
1 - binomCdf(100, 0.8, 86) $\approx 0{,}0469$ — das ist $\le 0{,}05$ ✓
1 - binomCdf(100, 0.8, 85) $\approx 0{,}0804$ — das ist $> 0{,}05$ ✗
Damit ist $k=87$ bestätigt: die kleinste Zahl, ab der die Wahrscheinlichkeit höchstens $5\,\%$ beträgt.

Interaktiv: Wie verändert sich $k$ mit $\alpha$?

Wähle ein Signifikanzniveau und beobachte, wie sich die Grenze $k$ und der lila markierte Ablehnungsbereich verschieben. Grundlage bleibt $X \sim B(100;\,0{,}80)$.

Faktor $z$

1,64

Grenze $\mu+z\sigma$

86,56

Kritischer Wert $k$

Ablehnungsbereich

Größeres $\alpha$ bedeutet: Man ist bereit, ein höheres Risiko einzugehen, $H_0$ fälschlich abzulehnen — dafür rückt die Grenze $k$ näher an $\mu$ heran, und der Ablehnungsbereich wird größer.

Die Entscheidungsregel formulieren

Aus dem Ablehnungsbereich $\overline{A} = \{87, \ldots, 100\}$ ergibt sich eine konkrete, im Sachkontext formulierte Handlungsanweisung:

Entscheidungsregel

Treffen unter den 100 beobachteten Tagen mindestens 87 Vorhersagen zu, wird $H_0$ verworfen — die Trefferquote gilt als signifikant gestiegen. Treffen höchstens 86 zu, wird $H_0$ beibehalten — die Abweichung vom bisherigen Wert wird als reine Stichprobenschwankung gewertet.

Die Stichprobe auswerten

In der tatsächlichen Stichprobe von 100 Tagen mit dem neuen Modell trafen $X = 89$ Vorhersagen zu.

$$89 \ge 87 \quad\Longrightarrow\quad X \in \overline{A}$$

Entscheidung: Da $89$ im Ablehnungsbereich liegt, wird $H_0$ verworfen. Auf dem Signifikanzniveau $\alpha = 5\,\%$ gibt es genügend Evidenz für die Vermutung, dass sich die Trefferquote des neuen Vorhersagemodells gegenüber den bisherigen $80\,\%$ signifikant erhöht hat.

Fehler 1. Art

Auch bei korrekt durchgeführtem Test kann die Entscheidung falsch sein — der Test trifft ja nur eine Aussage über Wahrscheinlichkeiten, keine Gewissheit.

Fehler 1. Art (im Sachkontext): Man entscheidet sich für „die Trefferquote ist gestiegen", obwohl die wahre Trefferquote in Wirklichkeit weiterhin nur $80\,\%$ beträgt und die $89$ Treffer nur zufällig so hoch ausgefallen sind.

Das Signifikanzniveau $\alpha$ ist die Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers. Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit liegt wegen der Rundung auf ganze Trefferzahlen meist etwas darunter:

$$P(\text{Fehler 1. Art}) = P(X \ge 87 \mid p=0{,}80) \approx 0{,}0469 < 0{,}05 = \alpha$$

Und der Fehler 2. Art?

Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn $H_0$ beibehalten wird, obwohl in Wirklichkeit $H_1$ zutrifft — die Trefferquote wäre also tatsächlich gestiegen, der Test „übersieht" das aber, weil die Stichprobe zufällig zu wenige Treffer zeigte. Seine genaue Berechnung hängt vom tatsächlichen (unbekannten) Wert von $p$ ab und ist nicht Teil dieses Moduls — hier reicht die begriffliche Abgrenzung.

Aufgabe 1 · Qualitätskontrolle bei LED-Lampen

Eine Fabrik stellt LED-Lampen her. Bisher lag der Anteil defekter Lampen (Ausschussanteil) bei 15 %. Nach einem Wechsel des Lieferanten für ein Bauteil vermutet die Qualitätssicherung, dass der Ausschussanteil gestiegen ist. Dazu wird eine Stichprobe von 80 Lampen geprüft; $X$ zählt die defekten Lampen unter diesen 80. Es wird auf dem Signifikanzniveau $\alpha = 5\,\%$ getestet.

a) Formuliere Null- und Alternativhypothese und begründe, warum es sich um einen rechtsseitigen Test handelt.

$H_0: p \le 0{,}15$ (Ausschussanteil weiterhin höchstens wie bisher)
$H_1: p > 0{,}15$ (Ausschussanteil ist gestiegen)

Rechtsseitig, weil $H_1$ nur größere Werte als $p_0=0{,}15$ enthält — die vermutete Verschlechterung liegt „rechts" vom bisherigen Wert.

b) Berechne Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ unter $H_0$ und prüfe die Laplace-Bedingung.

$\mu = 80 \cdot 0{,}15 = 12$
$\sigma = \sqrt{80 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}85} = \sqrt{10{,}2} \approx 3{,}19$
$\sigma \approx 3{,}19 > 3$ ✓ — Laplace-Bedingung erfüllt, Sigma-Regeln anwendbar.

c) Bestimme den Ablehnungsbereich.

TI-Nspire CX II-T CAS

Kontrolle mit 1 - binomCdf(80, 0.15, k-1) für Werte um die berechnete Grenze — ersten Wert $\le 0{,}05$ suchen.

$\alpha = 0{,}05 \Rightarrow z = 1{,}64$
$\mu + 1{,}64\,\sigma = 12 + 1{,}64 \cdot 3{,}19 \approx 12 + 5{,}24 = 17{,}24$
Aufrunden: $k = 18$

$\overline{A} = \{18,\, 19,\, \ldots,\, 80\}$ (Ablehnungsbereich)
$A = \{0,\, 1,\, \ldots,\, 17\}$ (Annahmebereich)

d) In der Stichprobe wurden $X = 20$ defekte Lampen gezählt. Triff die Testentscheidung und deute sie im Sachkontext.

$20 \ge 18 \Rightarrow X \in \overline{A}$

$H_0$ wird verworfen: Der Ausschussanteil hat sich auf dem Niveau $\alpha=5\,\%$ signifikant gegenüber den bisherigen $15\,\%$ erhöht — der Lieferantenwechsel steht im Verdacht, die Qualität verschlechtert zu haben.

Aufgabe 2 · Trefferquote beim Elfmeterschießen

Ein Fußballspieler verwandelte in der Vergangenheit Elfmeter mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 %. Nach einem gezielten Techniktraining vermutet der Trainer, dass sich die Trefferquote verbessert hat. Zur Überprüfung schießt der Spieler 45 Elfmeter; $X$ zählt die Treffer. Signifikanzniveau: $\alpha = 5\,\%$.

a) Formuliere die Hypothesen und die zugehörige Zufallsgröße mit ihrer Verteilung unter $H_0$.

$H_0: p \le 0{,}60 \qquad H_1: p > 0{,}60$
$X$: Anzahl der verwandelten Elfmeter unter 45 Versuchen, $X \sim B(45;\, 0{,}60)$ unter $H_0$.

b) Bestimme $\mu$, $\sigma$ und den Ablehnungsbereich.

TI-Nspire CX II-T CAS

Kontrolle mit 1 - binomCdf(45, 0.6, k-1).

$\mu = 45 \cdot 0{,}60 = 27$
$\sigma = \sqrt{45 \cdot 0{,}60 \cdot 0{,}40} = \sqrt{10{,}8} \approx 3{,}29$ ($\sigma > 3$ ✓)

$\mu + 1{,}64\,\sigma \approx 27 + 5{,}39 = 32{,}39 \Rightarrow k = 33$
$\overline{A} = \{33,\, \ldots,\, 45\}$

c) Beim Test verwandelt der Spieler $X = 31$ von 45 Elfmetern. Triff die Entscheidung und deute sie im Sachkontext.

$31 < 33 \Rightarrow X \notin \overline{A}$, also $X \in A$.

$H_0$ wird beibehalten: Obwohl der Spieler mit 31 von 45 Treffern (ca. $68{,}9\,\%$) rein rechnerisch besser als früher trifft, reicht diese Abweichung auf dem Niveau $\alpha=5\,\%$ nicht aus, um sie sicher vom bloßen Zufall zu unterscheiden — die Verbesserung ist statistisch nicht signifikant.

d) Erkläre, was der Fehler 1. Art hier bedeuten würde.

Der Fehler 1. Art läge vor, wenn man aufgrund der Stichprobe behauptet, die Trefferquote des Spielers habe sich durch das Techniktraining tatsächlich verbessert, obwohl seine wahre Trefferquote in Wirklichkeit weiterhin nur $60\,\%$ beträgt und ein hoher Treffer-Wert nur zufällig zustande kam.