Hypothesentest · Linksseitig

Ein konkreter Fall

Eine bundesweite Studie zur Mediennutzung Jugendlicher (die sogenannte PINTA-Studie) ergab: 25 % der Jugendlichen zählen zu den „Wenignutzern" des Internets — sie sind seltener als der Durchschnitt online. Ein Schulsozialarbeiter, der seit einiger Zeit verstärkt Medienkompetenz-Projekte an seiner Schule durchführt, vermutet, dass der Anteil der Wenignutzer inzwischen gesunken ist.

Um diese Vermutung zu überprüfen, werden 100 zufällig ausgewählte Jugendliche der Schule befragt. Die Zufallsgröße $X$ zählt dabei die Anzahl der Jugendlichen unter diesen 100, die zu den Wenignutzern zählen.

Die Frage, um die es in diesem Modul geht: Wie wenige der 100 befragten Jugendlichen dürften höchstens Wenignutzer sein, damit man mit einer vertretbaren Sicherheit sagen kann, der Anteil sei tatsächlich gesunken — und nicht nur durch Zufall so niedrig ausgefallen?

Warum reicht „weniger als 25" nicht als Antwort?

Selbst wenn der wahre Anteil weiterhin genau $p = 0{,}25$ betrüge, würde eine Stichprobe von 100 Jugendlichen nicht immer exakt 25 Wenignutzer liefern — mal sind es 21, mal 28, mal 23. Diese natürliche Schwankung um den Erwartungswert nennt man Stichprobenschwankung.

Ein Hypothesentest (auch Signifikanztest) liefert eine feste Regel, ab welcher (niedrigen) Trefferzahl eine Abweichung so groß ist, dass „reiner Zufall" als Erklärung unplausibel wird. Genau diese Grenze werden wir in diesem Modul Schritt für Schritt herleiten.

Dieses Modul baut auf der Binomialverteilung auf (Module 05/06): Die Anzahl $X$ der Wenignutzer ist binomialverteilt, wenn die Voraussetzungen einer Bernoulli-Kette erfüllt sind — was wir hier als gegeben annehmen.

Ablauf eines Hypothesentests — im Überblick

Ein Signifikanztest folgt immer demselben Schema. In diesem Modul lernst du jeden Schritt am Beispiel der Wenignutzer-Quote kennen:

Schritt	Was passiert	Tab
1	Null- und Alternativhypothese aufstellen	Hypothesen
2	Ablehnungsbereich mithilfe der Sigma-Regeln bestimmen	Ablehnungsbereich
3	Stichprobenergebnis mit dem Ablehnungsbereich vergleichen, Entscheidung treffen	Entscheidung

Warum „linksseitig"? Der Sozialarbeiter vermutet einen niedrigeren Anteil als bisher — die Alternativhypothese zeigt also nach „links", zu kleineren Werten. Bei rechtsseitigen Tests (Modul 2) wird umgekehrt ein höherer Wert vermutet; bei zweiseitigen Tests (Modul 4) irgendeine Abweichung in beide Richtungen.

Die Vermutung als Hypothesenpaar formulieren

Beim Wenignutzer-Beispiel gibt es zwei sich ausschließende Möglichkeiten für den wahren (unbekannten) Anteil $p$:

Der Anteil ist weiterhin mindestens 25 % (Status quo)

Der Anteil ist tatsächlich gesunken, also kleiner als 25 %

Die erste Möglichkeit — der „vorsichtige" Normalfall, der nichts Neues behauptet — heißt Nullhypothese $H_0$. Die zweite, für die man erst überzeugende Evidenz aus den Daten braucht, heißt Alternativhypothese $H_1$.

$$H_0: p \ge 0{,}25 \qquad\qquad H_1: p < 0{,}25$$

Merkregel: Die Nullhypothese enthält immer das Gleichheitszeichen (hier versteckt in „$\ge$"). Man geht so lange von $H_0$ aus, bis die Stichprobe genügend starke Evidenz gegen $H_0$ liefert.

Warum „linksseitig"?

Die Alternativhypothese $H_1: p < 0{,}25$ enthält nur kleinere Werte als der Vergleichswert $p_0 = 0{,}25$. Zeichnet man die möglichen Trefferzahlen auf einer Zahlengeraden, liegt der kritische Bereich also am linken Rand der Verteilung — daher linksseitiger Test.

Testart	Nullhypothese	Alternativhypothese	Ablehnungsbereich liegt …
rechtsseitig (Modul 2)	$p \le p_0$	$p > p_0$	bei großen Werten
linksseitig (dieses Modul)	$p \ge p_0$	$p < p_0$	bei kleinen Werten
zweiseitig (Modul 4)	$p = p_0$	$p \ne p_0$	an beiden Rändern

Woran erkennt man im Aufgabentext, dass ein linksseitiger Test gemeint ist? Formulierungen wie „gesunken", „verringert", „weniger als vermutet" deuten auf $H_1: p < p_0$ hin.

Die Zufallsgröße festlegen

Für den Test brauchen wir eine binomialverteilte Zufallsgröße. Beim Wenignutzer-Beispiel:

$$X: \text{Anzahl der Wenignutzer unter 100 befragten Jugendlichen}, \qquad X \sim B(100;\, 0{,}25) \ \text{unter } H_0$$

Wichtig: Für die Herleitung des Ablehnungsbereichs wird immer der Grenzwert aus $H_0$ eingesetzt — hier also $p_0 = 0{,}25$. Man rechnet quasi „im schlechtesten Fall für $H_1$": Nur wenn die Daten selbst dann noch auffällig niedrig sind, spricht das für $H_1$.

Erwartungswert und Standardabweichung

Unter der Annahme $X \sim B(100;\, 0{,}25)$ berechnen sich Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ mit den bekannten Formeln der Binomialverteilung:

$$\mu = n \cdot p = 100 \cdot 0{,}25 = 25$$

$$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{100 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75} = \sqrt{18{,}75} \approx 4{,}33$$

Laplace-Bedingung: Die Sigma-Regeln (Näherung durch die Normalverteilung) dürfen nur angewendet werden, wenn $\sigma > 3$ gilt. Hier: $\sigma \approx 4{,}33 > 3$ ✓ — die Näherung ist zulässig.

Von Sigma-Umgebungen zur Grenze $k$

Die Sigma-Regeln beschreiben, wie sich binomialverteilte Werte um $\mu$ streuen. Für einseitige Tests (rechts- oder linksseitig) gehören zu den gängigen Signifikanzniveaus dieselben Vielfachen von $\sigma$ wie beim rechtsseitigen Test — nur wird jetzt subtrahiert statt addiert, weil der Ablehnungsbereich links liegt:

Signifikanzniveau $\alpha$	Faktor $z$	Grenze
$10\,\%$	$1{,}28$	$\mu - 1{,}28\,\sigma$
$5\,\%$	$1{,}64$	$\mu - 1{,}64\,\sigma$
$1\,\%$	$2{,}33$	$\mu - 2{,}33\,\sigma$

Beim Wenignutzer-Beispiel ist $\alpha = 0{,}05$ vorgegeben, also $z = 1{,}64$:

$$\mu - 1{,}64\,\sigma = 25 - 1{,}64 \cdot 4{,}33 \approx 25 - 7{,}10 = 17{,}90$$

Da $X$ nur ganzzahlige Werte annimmt und der Ablehnungsbereich linksseitig ist (wir suchen die größte Trefferzahl, die noch auffällig niedrig ist), wird abgerundet:

$$k = 17$$

Merkregel zum Runden: Beim linksseitigen Test wird die berechnete Grenze stets abgerundet — der Ablehnungsbereich soll ja bei einer ganzen Trefferzahl enden und darf nicht „zu groß" werden (sonst würde $\alpha$ überschritten). Beim rechtsseitigen Test (Modul 2) war es umgekehrt: dort wurde aufgerundet.

Ablehnungsbereich und Annahmebereich

Damit lassen sich beide Bereiche angeben:

$$\overline{A} = \{0,\, 1,\, \ldots,\, 17\} \qquad \text{(Ablehnungsbereich)}$$

$$A = \{18,\, 19,\, \ldots,\, 100\} \qquad \text{(Annahmebereich)}$$

Kontrolle mit dem TI-Nspire CX II-T CAS

Der exakte Wert lässt sich mit binomCdf überprüfen:
binomCdf(100, 0.25, 0, 17) $\approx 0{,}0376$ — das ist $\le 0{,}05$ ✓
binomCdf(100, 0.25, 0, 18) $\approx 0{,}0630$ — das ist $> 0{,}05$ ✗
Damit ist $k=17$ bestätigt: die größte Zahl, bis zu der die Wahrscheinlichkeit höchstens $5\,\%$ beträgt.

Interaktiv: Wie verändert sich $k$ mit $\alpha$?

Wähle ein Signifikanzniveau und beobachte, wie sich die Grenze $k$ und der lila markierte Ablehnungsbereich verschieben. Grundlage bleibt $X \sim B(100;\,0{,}25)$.

Faktor $z$

1,64

Grenze $\mu-z\sigma$

17,90

Kritischer Wert $k$

Ablehnungsbereich

Größeres $\alpha$ bedeutet: Man ist bereit, ein höheres Risiko einzugehen, $H_0$ fälschlich abzulehnen — dafür rückt die Grenze $k$ näher an $\mu$ heran, und der Ablehnungsbereich wird größer.

Die Entscheidungsregel formulieren

Aus dem Ablehnungsbereich $\overline{A} = \{0, \ldots, 17\}$ ergibt sich eine konkrete, im Sachkontext formulierte Handlungsanweisung:

Entscheidungsregel

Sind unter den 100 befragten Jugendlichen höchstens 17 Wenignutzer, wird $H_0$ verworfen — der Anteil gilt als signifikant gesunken. Sind es mindestens 18, wird $H_0$ beibehalten — die Abweichung vom bisherigen Wert wird als reine Stichprobenschwankung gewertet.

Die Stichprobe auswerten

In der tatsächlichen Stichprobe von 100 Jugendlichen zählten $X = 16$ zu den Wenignutzern.

$$16 \le 17 \quad\Longrightarrow\quad X \in \overline{A}$$

Entscheidung: Da $16$ im Ablehnungsbereich liegt, wird $H_0$ verworfen. Auf dem Signifikanzniveau $\alpha = 5\,\%$ gibt es genügend Evidenz für die Vermutung, dass der Anteil der Wenignutzer gegenüber den bisherigen $25\,\%$ signifikant gesunken ist.

Fehler 1. Art

Auch bei korrekt durchgeführtem Test kann die Entscheidung falsch sein — der Test trifft ja nur eine Aussage über Wahrscheinlichkeiten, keine Gewissheit.

Fehler 1. Art (im Sachkontext): Man entscheidet sich für „der Anteil der Wenignutzer ist gesunken", obwohl der wahre Anteil in Wirklichkeit weiterhin $25\,\%$ beträgt und die $16$ Wenignutzer nur zufällig so niedrig ausgefallen sind.

Das Signifikanzniveau $\alpha$ ist die Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers. Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit liegt wegen der Rundung auf ganze Trefferzahlen meist etwas darunter:

$$P(\text{Fehler 1. Art}) = P(X \le 17 \mid p=0{,}25) \approx 0{,}0376 < 0{,}05 = \alpha$$

Exkurs · Der p-Wert

Statt vorab eine feste Grenze $k$ zu berechnen, kann man auch direkt fragen: „Wie unwahrscheinlich ist das konkret beobachtete Ergebnis (oder ein noch extremeres), wenn $H_0$ zutrifft?" Diese Wahrscheinlichkeit heißt p-Wert. Für unser Beispiel mit $X = 16$:

$$p\text{-Wert} = P(X \le 16 \mid p=0{,}25) \approx 0{,}0211$$

Da $0{,}0211 < 0{,}05 = \alpha$, kommt man zur selben Entscheidung: $H_0$ wird verworfen. Der p-Wert-Ansatz und die Ablehnungsbereich-Methode führen bei gleichem $\alpha$ immer zum gleichen Ergebnis — es sind nur zwei verschiedene Blickwinkel auf denselben Test.

Der p-Wert ist im sächsischen GK-Lehrplan kein Pflichtstoff — die Ablehnungsbereich-Methode aus diesem Modul reicht für die Abiturprüfung völlig aus. Dieser Exkurs dient nur der begrifflichen Einordnung, falls dir der Begriff (z. B. in Statistik-Software) begegnet.

Und der Fehler 2. Art?

Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn $H_0$ beibehalten wird, obwohl in Wirklichkeit $H_1$ zutrifft — der Anteil wäre also tatsächlich gesunken, der Test „übersieht" das aber, weil die Stichprobe zufällig zu viele Wenignutzer zeigte. Seine Berechnung braucht einen konkreten alternativen Wert $p_1$ für den wahren Anteil — der ist im Sachkontext zunächst unbekannt, kann aber z. B. durch eine spätere Erhebung bekannt werden.

Angenommen, eine spätere, umfassendere Erhebung zeigt: Der wahre Anteil der Wenignutzer ist tatsächlich auf $p_1 = 0{,}18$ gesunken. Wie wahrscheinlich wäre es dann gewesen, dass unser Test das nicht erkannt hätte?

Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn das Stichprobenergebnis trotz $p_1 = 0{,}18$ im Annahmebereich $A = \{18, \ldots, 100\}$ landet:

$$\beta = P(X \in A \mid p_1 = 0{,}18) = P(X \ge 18 \mid p_1 = 0{,}18)$$

TI-Nspire CX II-T CAS

1 - binomCdf(100, 0.18, 0, 17) $\approx 0{,}5408$

$$\beta \approx 0{,}5408$$

Obwohl die Wenignutzer-Quote tatsächlich auf $18\,\%$ gesunken wäre, hätte unser Test das mit einer Wahrscheinlichkeit von rund $54\,\%$ nicht erkannt und fälschlich bei $H_0$ geblieben — bei dieser Stichprobengröße und diesem $p_1$ ist die „Trefferquote" des Tests also nur etwa $1-\beta \approx 45{,}9\,\%$.

Diese konkrete $\beta$-Berechnung geht über den Pflichtstoff des sächsischen GK hinaus — der Lehrplan nennt den Fehler 2. Art nicht explizit. Nützlich ist sie trotzdem: Sie zeigt, warum ein bestandener Test allein noch keine Garantie ist, dass „nichts passiert ist" — bei kleinem $n$ oder $p_1$ nah an $p_0$ kann der Test eine echte Veränderung leicht übersehen.

Aufgabe 1 · Vertriebsquote einer Schuhmarke

Der Vertreter einer Schuhmarke behauptet, dass mindestens 70 % aller Schuhgeschäfte in der Region seine Marke im Sortiment führen. Ein Konkurrenzunternehmen bezweifelt das und vermutet, der tatsächliche Anteil sei geringer. Dazu wird eine Stichprobe von 90 Schuhgeschäften geprüft; $X$ zählt die Geschäfte, die die Marke führen. Es wird auf dem Signifikanzniveau $\alpha = 5\,\%$ getestet.

a) Formuliere Null- und Alternativhypothese und begründe, warum es sich um einen linksseitigen Test handelt.

$H_0: p \ge 0{,}70$ (Anteil weiterhin mindestens wie behauptet)
$H_1: p < 0{,}70$ (Anteil ist geringer)

Linksseitig, weil $H_1$ nur kleinere Werte als $p_0=0{,}70$ enthält — der vermutete geringere Anteil liegt „links" vom behaupteten Wert.

b) Berechne Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ unter $H_0$ und prüfe die Laplace-Bedingung.

$\mu = 90 \cdot 0{,}70 = 63$
$\sigma = \sqrt{90 \cdot 0{,}70 \cdot 0{,}30} = \sqrt{18{,}9} \approx 4{,}35$
$\sigma \approx 4{,}35 > 3$ ✓ — Laplace-Bedingung erfüllt, Sigma-Regeln anwendbar.

c) Bestimme den Ablehnungsbereich.

TI-Nspire CX II-T CAS

Kontrolle mit binomCdf(90, 0.7, 0, k) für Werte um die berechnete Grenze — größten Wert $\le 0{,}05$ suchen.

$\alpha = 0{,}05 \Rightarrow z = 1{,}64$
$\mu - 1{,}64\,\sigma = 63 - 1{,}64 \cdot 4{,}35 \approx 63 - 7{,}13 = 55{,}87$
Abrunden: $k = 55$

$\overline{A} = \{0,\, 1,\, \ldots,\, 55\}$ (Ablehnungsbereich)
$A = \{56,\, 57,\, \ldots,\, 90\}$ (Annahmebereich)

d) In der Stichprobe führten $X = 52$ Geschäfte die Marke. Triff die Testentscheidung und deute sie im Sachkontext.

$52 \le 55 \Rightarrow X \in \overline{A}$

$H_0$ wird verworfen: Der Anteil der Geschäfte, die die Marke führen, liegt auf dem Niveau $\alpha=5\,\%$ signifikant unter den behaupteten $70\,\%$ — die Behauptung des Vertreters lässt sich statistisch nicht halten.

Aufgabe 2 · Keimquote von Saatgut

Ein Saatgut-Hersteller garantiert für eine bestimmte Getreidesorte eine Keimquote von mindestens 85 %. Ein landwirtschaftliches Prüflabor bezweifelt diese Angabe nach mehreren Beschwerden von Landwirten und testet 200 Samenkörner unter Laborbedingungen; $X$ zählt die gekeimten Körner. Signifikanzniveau: $\alpha = 5\,\%$.

a) Formuliere die Hypothesen und die zugehörige Zufallsgröße mit ihrer Verteilung unter $H_0$.

$H_0: p \ge 0{,}85 \qquad H_1: p < 0{,}85$
$X$: Anzahl der gekeimten Körner unter 200 Samen, $X \sim B(200;\, 0{,}85)$ unter $H_0$.

b) Bestimme $\mu$, $\sigma$ und den Ablehnungsbereich.

TI-Nspire CX II-T CAS

Kontrolle mit binomCdf(200, 0.85, 0, k).

$\mu = 200 \cdot 0{,}85 = 170$
$\sigma = \sqrt{200 \cdot 0{,}85 \cdot 0{,}15} = \sqrt{25{,}5} \approx 5{,}05$
($\sigma > 3$ ✓)

$\mu - 1{,}64\,\sigma \approx 170 - 8{,}28 = 161{,}72 \Rightarrow k = 161$
$\overline{A} = \{0,\, \ldots,\, 161\}$

c) Im Test keimten $X = 155$ von 200 Samenkörnern. Triff die Entscheidung und deute sie im Sachkontext.

$155 \le 161 \Rightarrow X \in \overline{A}$, also $X \notin A$.

$H_0$ wird verworfen: Die tatsächliche Keimquote liegt auf dem Niveau $\alpha=5\,\%$ signifikant unter den garantierten $85\,\%$ — die Beschwerden der Landwirte sind statistisch begründet.

d) Erkläre, was der Fehler 1. Art hier bedeuten würde.

Der Fehler 1. Art läge vor, wenn man aufgrund der Stichprobe behauptet, die Keimquote sei tatsächlich unter die garantierten $85\,\%$ gesunken, obwohl das Saatgut in Wirklichkeit weiterhin eine Keimquote von $85\,\%$ hat und die $155$ gekeimten Körner nur zufällig so niedrig ausgefallen sind.