Hypothesentest · Zweiseitig

Ein konkreter Fall

In einem beliebten Mobile-Game erhalten Spielerinnen und Spieler nach jeder gespielten Runde mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eine Bonus-Truhe mit einer Zusatzbelohnung. Laut den offiziellen Patch-Notes des Entwicklerstudios liegt diese Wahrscheinlichkeit bei 20 %. Nach einem Update melden sich in einem Spieler-Forum widersprüchliche Stimmen: Manche sind überzeugt, die Truhe erscheine seitdem seltener — andere schwören, sie bekämen sie inzwischen häufiger als vorher.

Ein unabhängiger Datenanalyst wertet 200 von der Community dokumentierte Spielrunden nach dem Update aus. Die Zufallsgröße $X$ zählt dabei, in wie vielen dieser 200 Runden eine Bonus-Truhe erschien.

Die Frage, um die es in diesem Modul geht: Ab welcher Trefferzahl — egal ob auffällig niedrig oder auffällig hoch — kann man mit vertretbarer Sicherheit sagen, dass sich die Wahrscheinlichkeit tatsächlich verändert hat, und nicht nur durch Zufall so ausgefallen ist?

Warum reicht ein einfacher Vergleich nicht?

Selbst wenn die Wahrscheinlichkeit weiterhin genau bei $p = 0{,}20$ läge, würden 200 Spielrunden nicht immer exakt 40 Bonus-Truhen liefern — mal sind es 36, mal 44, mal 39. Diese natürliche Schwankung um den Erwartungswert nennt man Stichprobenschwankung.

Besonders hier ist: Die Vermutungen im Forum gehen in beide Richtungen — „seltener" und „häufiger" gleichzeitig. Ein Hypothesentest muss also nicht nur eine, sondern zwei Grenzen liefern: eine untere und eine obere, jenseits derer „reiner Zufall" als Erklärung unplausibel wird.

Dieses Modul baut auf der Binomialverteilung auf (Module 05/06): Die Anzahl $X$ der Bonus-Truhen ist binomialverteilt, wenn die Voraussetzungen einer Bernoulli-Kette erfüllt sind — was wir hier als gegeben annehmen.

Ablauf eines Hypothesentests — im Überblick

Ein Signifikanztest folgt immer demselben Schema. In diesem Modul lernst du jeden Schritt am Beispiel der Bonus-Truhen-Quote kennen:

Schritt	Was passiert	Tab
1	Null- und Alternativhypothese aufstellen	Hypothesen
2	Zwei Ablehnungsbereiche mithilfe der Sigma-Regeln bestimmen	Ablehnungsbereich
3	Stichprobenergebnis mit den Ablehnungsbereichen vergleichen, Entscheidung treffen	Entscheidung

Warum „zweiseitig"? Die Vermutung lautet nicht „gestiegen" oder „gesunken", sondern nur „verändert" — in welche Richtung, ist offen. Die Alternativhypothese zeigt also nach beiden Seiten. Bei rechts- und linksseitigen Tests (Module 2 und 3) war jeweils nur eine Richtung vermutet.

Die Vermutung als Hypothesenpaar formulieren

Beim Bonus-Truhen-Beispiel gibt es zwei sich ausschließende Möglichkeiten für die wahre (unbekannte) Wahrscheinlichkeit $p$:

Die Wahrscheinlichkeit ist weiterhin genau 20 % (Status quo)

Die Wahrscheinlichkeit hat sich verändert — egal in welche Richtung

Die erste Möglichkeit — der „vorsichtige" Normalfall, der nichts Neues behauptet — heißt Nullhypothese $H_0$. Die zweite, für die man erst überzeugende Evidenz aus den Daten braucht, heißt Alternativhypothese $H_1$.

$$H_0: p = 0{,}20 \qquad\qquad H_1: p \ne 0{,}20$$

Merkregel: Die Nullhypothese enthält immer das Gleichheitszeichen. Bei zweiseitigen Tests steht dort ausnahmsweise nur das Gleichheitszeichen (nicht $\ge$ oder $\le$) — denn „verändert" schließt sowohl „größer" als auch „kleiner" mit ein, und beides zusammen bleibt für $H_0$ nur der eine Punkt $p=p_0$.

Warum „zweiseitig"?

Die Alternativhypothese $H_1: p \ne 0{,}20$ enthält sowohl größere als auch kleinere Werte als der Vergleichswert $p_0 = 0{,}20$. Zeichnet man die möglichen Trefferzahlen auf einer Zahlengeraden, liegt der kritische Bereich also an beiden Rändern der Verteilung — daher zweiseitiger Test.

Testart	Nullhypothese	Alternativhypothese	Ablehnungsbereich liegt …
rechtsseitig (Modul 2)	$p \le p_0$	$p > p_0$	bei großen Werten
linksseitig (Modul 3)	$p \ge p_0$	$p < p_0$	bei kleinen Werten
zweiseitig (dieses Modul)	$p = p_0$	$p \ne p_0$	an beiden Rändern

Woran erkennt man im Aufgabentext, dass ein zweiseitiger Test gemeint ist? Formulierungen wie „verändert", „nicht mehr korrekt", „noch fair?", „unklar, ob gestiegen oder gesunken" deuten auf $H_1: p \ne p_0$ hin.

Die Zufallsgröße festlegen

Für den Test brauchen wir eine binomialverteilte Zufallsgröße. Beim Bonus-Truhen-Beispiel:

$$X: \text{Anzahl der Bonus-Truhen unter 200 gespielten Runden}, \qquad X \sim B(200;\, 0{,}20) \ \text{unter } H_0$$

Wichtig: Für die Herleitung der Ablehnungsbereiche wird immer der Grenzwert aus $H_0$ eingesetzt — hier also $p_0 = 0{,}20$. Man rechnet quasi „im schlechtesten Fall für $H_1$": Nur wenn die Daten selbst dann noch auffällig weit von $p_0$ entfernt sind, spricht das für $H_1$.

Erwartungswert und Standardabweichung

Unter der Annahme $X \sim B(200;\, 0{,}20)$ berechnen sich Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ mit den bekannten Formeln der Binomialverteilung:

$$\mu = n \cdot p = 200 \cdot 0{,}20 = 40$$

$$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{200 \cdot 0{,}20 \cdot 0{,}80} = \sqrt{32} \approx 5{,}66$$

Laplace-Bedingung: Die Sigma-Regeln (Näherung durch die Normalverteilung) dürfen nur angewendet werden, wenn $\sigma > 3$ gilt. Hier: $\sigma \approx 5{,}66 > 3$ ✓ — die Näherung ist zulässig.

Von Sigma-Umgebungen zu zwei Grenzen

Beim zweiseitigen Test verteilt sich das Signifikanzniveau $\alpha$ auf beide Ränder der Verteilung — je $\alpha/2$ pro Seite. Deshalb gehören zu den gängigen Signifikanzniveaus hier andere Faktoren $z$ als beim einseitigen Test (Module 2/3): Statt des $(1-\alpha)$-Quantils der Standardnormalverteilung braucht man das $(1-\alpha/2)$-Quantil.

Signifikanzniveau $\alpha$	je Rand $\alpha/2$	Faktor $z$
$10\,\%$	$5\,\%$	$1{,}64$
$5\,\%$	$2{,}5\,\%$	$1{,}96$
$1\,\%$	$0{,}5\,\%$	$2{,}58$

Beim Bonus-Truhen-Beispiel ist $\alpha = 0{,}05$ vorgegeben, also $z = 1{,}96$. Damit ergeben sich eine untere und eine obere Grenze:

$$\mu - 1{,}96\,\sigma = 40 - 1{,}96 \cdot 5{,}66 \approx 40 - 11{,}09 = 28{,}91$$

$$\mu + 1{,}96\,\sigma = 40 + 1{,}96 \cdot 5{,}66 \approx 40 + 11{,}09 = 51{,}09$$

Da $X$ nur ganzzahlige Werte annimmt, wird nach außen gerundet — die untere Grenze abgerundet, die obere aufgerundet:

$$k_1 = 28 \qquad\qquad k_2 = 52$$

Merkregel zum Runden: Beide Grenzen werden „nach außen" gerundet — unten ab-, oben aufgerundet — damit keiner der beiden Ablehnungsbereiche größer wird als erlaubt (sonst würde $\alpha/2$ auf einer Seite überschritten). Beim einseitigen Test (Module 2/3) wurde nur in eine Richtung gerundet.

Ablehnungsbereich und Annahmebereich

Damit lassen sich alle drei Bereiche angeben:

$$\overline{A} = \{0,\, \ldots,\, 28\} \,\cup\, \{52,\, \ldots,\, 200\} \qquad \text{(Ablehnungsbereich)}$$

$$A = \{29,\, 30,\, \ldots,\, 51\} \qquad \text{(Annahmebereich)}$$

Kontrolle mit dem TI-Nspire CX II-T CAS

Beide Ränder müssen exakt je höchstens $\alpha/2 = 2{,}5\,\%$ betragen:
binomCdf(200, 0.2, 0, 28) $\approx 0{,}0179$ — das ist $\le 0{,}025$ ✓
binomCdf(200, 0.2, 29, 200) bzw. $1-$binomCdf(200, 0.2, 0, 51) $\approx 0{,}0236$ — das ist $\le 0{,}025$ ✓
Zusammen: $P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 0{,}0179 + 0{,}0236 = 0{,}0415 < 0{,}05 = \alpha$. Damit sind $k_1=28$ und $k_2=52$ bestätigt.

Interaktiv: Wie verändern sich die Grenzen mit $\alpha$?

Wähle ein Signifikanzniveau und beobachte, wie sich die beiden Grenzen $k_1$ (lila) und $k_2$ (orange) sowie der markierte Ablehnungsbereich verschieben. Grundlage bleibt $X \sim B(200;\,0{,}20)$.

Faktor $z$

1,96

Untere Grenze $k_1$

Obere Grenze $k_2$

Umfang $A$

Ablehnungsbereich

Größeres $\alpha$ bedeutet: Man ist bereit, ein höheres Risiko einzugehen, $H_0$ fälschlich abzulehnen — dafür rücken beide Grenzen näher an $\mu$ heran, und die beiden Ablehnungsbereiche werden größer, während der Annahmebereich schrumpft.

Die Entscheidungsregel formulieren

Aus den Ablehnungsbereichen $\overline{A} = \{0,\ldots,28\} \cup \{52,\ldots,200\}$ ergibt sich eine konkrete, im Sachkontext formulierte Handlungsanweisung:

Entscheidungsregel

Erscheint die Bonus-Truhe in höchstens 28 oder in mindestens 52 der 200 Runden, wird $H_0$ verworfen — die Wahrscheinlichkeit gilt als signifikant verändert. Liegt die Trefferzahl zwischen 29 und 51 (einschließlich), wird $H_0$ beibehalten — die Abweichung wird als reine Stichprobenschwankung gewertet.

Die Stichprobe auswerten

In den 200 ausgewerteten Spielrunden erschien die Bonus-Truhe $X = 25$-mal.

$$25 \le 28 \quad\Longrightarrow\quad X \in \overline{A}$$

Entscheidung: Da $25$ im (unteren) Ablehnungsbereich liegt, wird $H_0$ verworfen. Auf dem Signifikanzniveau $\alpha = 5\,\%$ gibt es genügend Evidenz dafür, dass sich die Wahrscheinlichkeit gegenüber den bisherigen $20\,\%$ signifikant verändert hat — konkret: sie ist gesunken. Der Verdacht der Spieler, die Truhe erscheine seit dem Update seltener, bestätigt sich statistisch.

Fehler 1. Art

Auch bei korrekt durchgeführtem Test kann die Entscheidung falsch sein — der Test trifft ja nur eine Aussage über Wahrscheinlichkeiten, keine Gewissheit.

Fehler 1. Art (im Sachkontext): Man entscheidet sich für „die Wahrscheinlichkeit hat sich verändert", obwohl sie in Wirklichkeit weiterhin genau $20\,\%$ beträgt und die $25$ Bonus-Truhen (oder ein ebenso auffälliger Wert am oberen Rand) nur zufällig so ausgefallen sind.

Das Signifikanzniveau $\alpha$ ist die Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers — hier addieren sich die Wahrscheinlichkeiten beider Ränder:

$$P(\text{Fehler 1. Art}) = P(X \le 28 \mid p=0{,}20) + P(X \ge 52 \mid p=0{,}20) \approx 0{,}0179 + 0{,}0236 = 0{,}0415 < 0{,}05 = \alpha$$

Exkurs · Der p-Wert beim zweiseitigen Test

Auch hier lässt sich statt einer festen Grenze direkt fragen: „Wie unwahrscheinlich ist das konkret beobachtete Ergebnis (oder ein noch extremeres in derselben Richtung), wenn $H_0$ zutrifft?" Beim zweiseitigen Test wird diese Wahrscheinlichkeit anschließend verdoppelt, um beide Ränder zu berücksichtigen. Für unser Beispiel mit $X = 25$ (unterer Rand, also die kleinere der beiden Richtungen):

$$p\text{-Wert} = 2 \cdot P(X \le 25 \mid p=0{,}20) \approx 2 \cdot 0{,}0036 = 0{,}0073$$

Da $0{,}0073 < 0{,}05 = \alpha$, kommt man zur selben Entscheidung: $H_0$ wird verworfen. Der p-Wert-Ansatz und die Ablehnungsbereich-Methode führen bei gleichem $\alpha$ immer zum gleichen Ergebnis — es sind nur zwei verschiedene Blickwinkel auf denselben Test.

Der p-Wert ist im sächsischen GK-Lehrplan kein Pflichtstoff — die Ablehnungsbereich-Methode aus diesem Modul reicht für die Abiturprüfung völlig aus. Dieser Exkurs dient nur der begrifflichen Einordnung, falls dir der Begriff (z. B. in Statistik-Software) begegnet.

Und der Fehler 2. Art?

Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn $H_0$ beibehalten wird, obwohl in Wirklichkeit $H_1$ zutrifft — die Wahrscheinlichkeit hätte sich also tatsächlich verändert, der Test „übersieht" das aber, weil die Stichprobe zufällig einen Wert im Annahmebereich lieferte. Seine genaue Berechnung hängt vom tatsächlichen (unbekannten) Wert von $p$ ab und ist nicht Teil dieses Moduls — hier reicht die begriffliche Abgrenzung.

Aufgabe 1 · Tombola auf dem Schulfest

Bei der Tombola auf dem Schulfest gewinnt laut Aushang der Organisatoren jedes Los mit einer Wahrscheinlichkeit von 30 % einen Sachpreis. Nach dem Fest gibt es Diskussionen: Einige Helfer haben den Eindruck, das Losrad sei nicht richtig durchmischt worden — dadurch könnten deutlich mehr oder deutlich weniger Gewinne als angegeben ausgegeben worden sein. Zur Überprüfung wird die Verkaufsliste von 150 Losen ausgewertet; $X$ zählt die Gewinn-Lose darunter. Es wird auf dem Signifikanzniveau $\alpha = 5\,\%$ getestet.

a) Formuliere Null- und Alternativhypothese und begründe, warum es sich um einen zweiseitigen Test handelt.

$H_0: p = 0{,}30$ (Gewinnwahrscheinlichkeit weiterhin wie angegeben)
$H_1: p \ne 0{,}30$ (Gewinnwahrscheinlichkeit hat sich verändert)

Zweiseitig, weil $H_1$ sowohl größere als auch kleinere Werte als $p_0=0{,}30$ enthält — die Vermutung geht in beide Richtungen.

b) Berechne Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ unter $H_0$ und prüfe die Laplace-Bedingung.

$\mu = 150 \cdot 0{,}30 = 45$
$\sigma = \sqrt{150 \cdot 0{,}30 \cdot 0{,}70} = \sqrt{31{,}5} \approx 5{,}61$
$\sigma \approx 5{,}61 > 3$ ✓ — Laplace-Bedingung erfüllt, Sigma-Regeln anwendbar.

c) Bestimme beide Ablehnungsbereiche.

TI-Nspire CX II-T CAS

Kontrolle mit binomCdf(150, 0.3, 0, k) für Werte um die untere Grenze und mit dem Gegenereignis für die obere Grenze — jeweils größten/kleinsten Wert mit Wahrscheinlichkeit $\le 0{,}025$ suchen.

$\alpha = 0{,}05 \Rightarrow z = 1{,}96$
$\mu - 1{,}96\,\sigma = 45 - 1{,}96 \cdot 5{,}61 \approx 45 - 11{,}00 = 34{,}00$
$\mu + 1{,}96\,\sigma = 45 + 1{,}96 \cdot 5{,}61 \approx 45 + 11{,}00 = 56{,}00$
Abrunden unten, aufrunden oben: $k_1 = 33$, $k_2 = 57$

$\overline{A} = \{0,\, \ldots,\, 33\} \cup \{57,\, \ldots,\, 150\}$ (Ablehnungsbereich)
$A = \{34,\, \ldots,\, 56\}$ (Annahmebereich)

Probe: $P(X\le33)\approx0{,}0181 \le 0{,}025$ ✓ und $P(X\ge57)\approx0{,}0219 \le 0{,}025$ ✓

d) In der Verkaufsliste fanden sich $X = 60$ Gewinn-Lose. Triff die Testentscheidung und deute sie im Sachkontext.

$60 \ge 57 \Rightarrow X \in \overline{A}$ (oberer Rand)

$H_0$ wird verworfen: Die Gewinnquote liegt auf dem Niveau $\alpha=5\,\%$ signifikant über den angegebenen $30\,\%$ — der Verdacht, das Losrad sei nicht korrekt durchmischt worden, lässt sich statistisch nicht entkräften.

Aufgabe 2 · Kartenmischmaschine im Turnierbetrieb

Bei einem Kartenspiel-Turnier kommt eine automatische Mischmaschine zum Einsatz. Laut Hersteller sollte eine bestimmte Kartenkombination bei korrekter Durchmischung mit einer Wahrscheinlichkeit von 25 % auftreten. Nach einer Reparatur der Maschine wollen die Turnierrichter prüfen, ob sie noch korrekt kalibriert ist — eine Fehlfunktion könnte die Wahrscheinlichkeit sowohl erhöhen als auch verringern. Dazu werden 240 Mischvorgänge ausgewertet; $X$ zählt, wie oft die Kombination auftrat. Signifikanzniveau: $\alpha = 5\,\%$.

a) Formuliere die Hypothesen und die zugehörige Zufallsgröße mit ihrer Verteilung unter $H_0$.

$H_0: p = 0{,}25 \qquad H_1: p \ne 0{,}25$
$X$: Anzahl der Mischvorgänge mit der Kombination unter 240, $X \sim B(240;\, 0{,}25)$ unter $H_0$.

b) Bestimme $\mu$, $\sigma$ und beide Ablehnungsbereiche.

TI-Nspire CX II-T CAS

Kontrolle mit binomCdf(240, 0.25, 0, k) für beide Ränder.

$\mu = 240 \cdot 0{,}25 = 60$
$\sigma = \sqrt{240 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75} = \sqrt{45} \approx 6{,}71$
($\sigma > 3$ ✓)

$\mu - 1{,}96\,\sigma \approx 60 - 13{,}15 = 46{,}85 \Rightarrow k_1 = 46$
$\mu + 1{,}96\,\sigma \approx 60 + 13{,}15 = 73{,}15 \Rightarrow k_2 = 74$

$\overline{A} = \{0,\, \ldots,\, 46\} \cup \{74,\, \ldots,\, 240\}$
$A = \{47,\, \ldots,\, 73\}$

Probe: $P(X\le46)\approx0{,}0199 \le 0{,}025$ ✓ und $P(X\ge74)\approx0{,}0239 \le 0{,}025$ ✓

c) In der Auswertung trat die Kombination $X = 40$-mal auf. Triff die Entscheidung und deute sie im Sachkontext.

$40 \le 46 \Rightarrow X \in \overline{A}$ (unterer Rand), also $X \notin A$.

$H_0$ wird verworfen: Die tatsächliche Auftretenswahrscheinlichkeit liegt auf dem Niveau $\alpha=5\,\%$ signifikant unter den erwarteten $25\,\%$ — die Maschine mischt nach der Reparatur nicht mehr wie spezifiziert, eine erneute Wartung ist angezeigt.

d) Erkläre, was der Fehler 1. Art hier bedeuten würde.

Der Fehler 1. Art läge vor, wenn man aufgrund der Stichprobe behauptet, die Maschine mische fehlerhaft, obwohl sie in Wirklichkeit weiterhin korrekt mit $p=0{,}25$ kalibriert ist und die $40$ beobachteten Kombinationen nur zufällig so niedrig ausgefallen sind.