Ein Term, zwei Ergebnisse?
Ich rechne 3 + 4 · 5 von links nach rechts: 3 + 4 = 7, dann 7 · 5 = 35.
Hm. Ich habe 23 raus. Erst 4 · 5 = 20, dann 3 + 20.
Zwei Ergebnisse für denselben Term? Dann braucht es eine Verabredung, wer zuerst dran ist.
Die gibt es – und sie gilt auf der ganzen Welt: Punkt vor Strich. Also 23.
Ein Term ist eine Verabredung: Alle, die ihn lesen, müssen dasselbe Ergebnis bekommen.
Darum haben sich die Mathematiker auf eine feste Reihenfolge geeinigt. Wer sie kennt, weiß bei jedem Term genau, wer dran ist.
Die Verabredung
1
Klammern zuerst
\((3 + 4) \cdot 5 = 7 \cdot 5 = 35\)
2
Punkt vor Strich
\(3 + 4 \cdot 5 = 3 + 20 = 23\)
3
Sonst von links nach rechts
\(20 - 5 - 3 = 15 - 3 = 12\)
„Punkt" heißt Mal und Geteilt (\(\cdot\) und \(:\)), „Strich" heißt Plus und Minus (\(+\) und \(-\)).
Bei Klammern in Klammern gilt: die innerste zuerst.
Widget 1 · Wer ist dran?
Tippe auf das Rechenzeichen, das als Nächstes dran ist. Die beiden Nachbarzahlen ziehen sich dann zu einer Zahl zusammen – so lange, bis nur noch das Ergebnis übrig ist.
Widget 2 · Die Klammer entscheidet
Jetzt umgekehrt: Der Term steht fest, aber du setzt die Klammer. Tippe auf die erste und dann auf die letzte Zahl, die in die Klammer soll. Schaffst du den Zielwert?
Widget 3 · Zwei Wege, ein Term
Mia und Ben rechnen denselben Term. Einer von beiden bricht die Verabredung. Schau dir die Schritte an und finde heraus, wer.
Der klassische Fehler
Bei 20 − 5 − 3 nehme ich die Abkürzung: 5 − 3 = 2, dann 20 − 2 = 18.
Da steht aber keine Klammer. Ohne Klammer geht es von links: 20 − 5 = 15, dann 15 − 3 = 12. Deine Abkürzung hat heimlich eine Klammer gesetzt: 20 − (5 − 3).
Merke
Bei Minus und Geteilt ist die Reihenfolge nicht egal. Deshalb gilt ohne Klammer immer: von links nach rechts.
Bei Plus und Mal darf man die Reihenfolge ändern – warum, erfährst du im nächsten Tab.
Bens Abkürzung
47 + 25? Ich rechne lieber 25 + 47. Fünfundzwanzig und siebenundvierzig – das geht mir leichter von der Hand.
Moment. Darfst du die Zahlen einfach umdrehen? Bei 20 − 5 geht das doch auch nicht.
Bei Plus schon! Ob ich 47 Murmeln zu 25 lege oder 25 zu 47 – es sind immer 72.
Bei Plus und Mal darf man die beiden Zahlen vertauschen. Das nennt man das
Kommutativgesetz (lateinisch commutare = vertauschen) – oder einfach: Vertauschungsgesetz.
Bei Minus und Geteilt gilt es nicht. Schau dir an, warum.
Widget 4 · Stäbe tauschen
Zwei Stäbe liegen hintereinander auf dem Zahlenstrahl. Drehe sie um – wo endet der zweite Stab?
Widget 5 · Punktefeld drehen
Mal ist auch nur ein Feld aus Punkten: 4 Reihen mit je 7 Punkten. Drehe das Feld – jetzt sind es 7 Reihen mit je 4 Punkten. Aber wie viele Punkte?
Kommutativgesetz
Gilt für Plus und Mal
\(a + b = b + a\)
\(a \cdot b = b \cdot a\)
Beispiel: \(47 + 25 = 25 + 47 = 72\)
\(a \cdot b = b \cdot a\)
Beispiel: \(47 + 25 = 25 + 47 = 72\)
Gilt nicht für Minus und Geteilt
\(a - b = b - a\)
\(a : b = b : a\)
\(20 - 5 = 15\), aber \(5 - 20\) geht nicht.
\(a : b = b : a\)
\(20 - 5 = 15\), aber \(5 - 20\) geht nicht.
Widget 6 · Darf man umdrehen?
Ben will vertauschen. Darf er?
Und mit drei Zahlen?
Bei zwei Zahlen ist das klar. Aber bei 25 + 47 + 75 – darf ich da auch umsortieren?
Dafür brauchen wir noch ein Gesetz. Nächster Tab!
Drei Zahlen, eine Klammer
25 + 47 + 75. Von links nach rechts: 25 + 47 = 72, dann 72 + 75 = 147. Puh.
Ich hätte erst 47 + 75 = 122 gerechnet, dann 25 + 122. Auch 147 – aber auch nicht leichter.
Halt: Wenn ich erst umdrehe – 25 + 75 + 47 – und dann die Klammer auf die ersten beiden setze: (25 + 75) + 47 = 100 + 47. Fertig im Kopf.
Bei Plus und Mal ist es egal, welche zwei Zahlen man zuerst zusammenfasst – die Klammer darf wandern.
Das ist das Assoziativgesetz (lateinisch associare = verbinden), auch Verbindungsgesetz genannt.
Zusammen mit dem Vertauschungsgesetz ergibt das Bens und Mias wichtigstes Werkzeug: erst umsortieren, dann geschickt klammern.
Widget 7 · Die Klammer wandert
Schiebe die Klammer nach links oder rechts und rechne beide Wege aus. Welcher Weg ist bequemer?
Assoziativgesetz
Gilt für Plus und Mal
\((a + b) + c = a + (b + c)\)
\((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)
Beispiel: \((25 + 75) + 47 = 25 + (75 + 47) = 147\)
\((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)
Beispiel: \((25 + 75) + 47 = 25 + (75 + 47) = 147\)
Gilt nicht für Minus und Geteilt
\((a - b) - c = a - (b - c)\)
\((a : b) : c = a : (b : c)\)
\((20 - 5) - 3 = 12\), aber \(20 - (5 - 3) = 18\)
\((a : b) : c = a : (b : c)\)
\((20 - 5) - 3 = 12\), aber \(20 - (5 - 3) = 18\)
Beide Gesetze zusammen
Bei einer reinen Plus-Aufgabe oder einer reinen Mal-Aufgabe darfst du die Zahlen beliebig umsortieren und beliebige zwei zuerst zusammenfassen. Sobald ein Minus oder ein Geteilt dabei ist: Vorsicht, dann gilt die Verabredung von Tab 1.
Widget 8 · Darf die Klammer wandern?
Ben will die Klammer verschieben. Darf er?
Widget 9 · Bens Trick
Jetzt du: Tippe die zwei Zahlen an, die zusammen eine glatte Zahl ergeben. Dann laufen beide Gesetze von selbst ab.
Und was ist mit Termen wie 7 · 13? Da gibt es nichts zum Umsortieren.
Dafür gibt es ein drittes Gesetz. Man muss die 13 nur zerschneiden.
Sieben mal dreizehn
7 · 13. Das steht in keiner Einmaleins-Tabelle. Also schriftlich.
Nicht nötig. 13 ist 10 und 3. Also 7 · 10 = 70 und 7 · 3 = 21. Zusammen 91.
Du hast die 13 einfach zerschnitten und beide Teile mit 7 malgenommen. Darf man das?
Schau dir das Rechteck an. Dann siehst du, warum.
Ein Produkt ist ein Rechteck: 7 Reihen mit je 13 Kästchen. Schneidet man es senkrecht durch, entstehen zwei kleinere Rechtecke –
und zusammen haben sie genauso viele Kästchen wie vorher. Das ist das Distributivgesetz (lateinisch distribuere = verteilen), auch Verteilungsgesetz:
Der Faktor vor der Klammer wird auf beide Zahlen in der Klammer verteilt.
Widget 10 · Rechteck zerschneiden
Stell das Rechteck ein, wähle die Schnittstelle und zerschneide es. Die Termzeile zeigt, was dabei passiert.
Distributivgesetz
Ausmultiplizieren – die Klammer auflösen
\(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\)
\(7 \cdot (10 + 3) = 7 \cdot 10 + 7 \cdot 3 = 91\)
\(7 \cdot (10 + 3) = 7 \cdot 10 + 7 \cdot 3 = 91\)
Ausklammern – die Klammer bauen
\(a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)\)
\(25 \cdot 4 + 25 \cdot 6 = 25 \cdot (4 + 6) = 250\)
\(25 \cdot 4 + 25 \cdot 6 = 25 \cdot (4 + 6) = 250\)
Auch mit Minus
\(a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c\) – man schneidet ein Stück ab statt dazu: \(7 \cdot 9 = 7 \cdot (10 - 1) = 70 - 7 = 63\). Das ist der Trick für Aufgaben mit 9, 19, 99 und 199 im nächsten Tab.
Widget 11 · Zerschneiden im Kopf
Zerschneide den zweiten Faktor in Zehner und Einer, rechne beide Teile und trag das Ergebnis ein.
Widget 12 · Ausklammern
Umgekehrt: Zwei Produkte haben einen gemeinsamen Faktor. Tippe ihn an – er wandert vor die Klammer.
Vertauschen, Klammer wandern lassen, zerschneiden – jetzt haben wir alle drei Werkzeuge.
Dann ab auf den Spielplatz. Nächster Tab.
Der Spielplatz
Drei Gesetze, fünf Tricks. Wer sie kennt, rechnet Sachen im Kopf, für die andere ein Blatt Papier brauchen.
Dann zeig sie mir. Alle fünf.
Fünf Tricks
1 · Partner suchen
47 + 25 + 53 + 75
Zahlen, die sich zu 10, 100 oder 1000 ergänzen, zuerst zusammenfassen: (47 + 53) + (25 + 75) = 100 + 100.
2 · Faktorenpaare
25 · 17 · 4
2 · 5, 4 · 25, 8 · 125 ergeben 10, 100, 1000. Erst diese Paare: (25 · 4) · 17 = 100 · 17.
3 · Zerschneiden
17 · 6
Einen Faktor in Zehner und Einer zerlegen: 10 · 6 + 7 · 6 = 60 + 42.
4 · Nachbaraufgabe
99 · 7 · 198 + 57
Bis zur glatten Zahl aufrunden, dann den Rest wieder abziehen: 100 · 7 − 7 = 693, 200 + 57 − 2 = 255.
5 · Ausklammern
25 · 4 + 25 · 6
Gemeinsamer Faktor vor die Klammer: 25 · (4 + 6) = 25 · 10.
Widget 13 · Partner suchen
Tippe zwei Zahlen an, die zusammen eine glatte Zahl ergeben – sie fliegen zueinander und verschmelzen. Wenn keine Partner mehr da sind: Ausrechnen.
Widget 14 · Nachbaraufgabe
Bei 9, 19, 99 oder 198 lohnt der Umweg über die glatte Nachbarzahl. Aufrunden, rechnen, den Rest zurückgeben.
Widget 15 · Welcher Trick passt?
Für jeden Term gibt es einen Trick, der ihn zur Kopfrechenaufgabe macht. Welcher?
Fünf Tricks, alle im Kopf. Jetzt will ich wissen, ob ich sie auch ohne dich hinbekomme.
Dafür ist der letzte Tab da.
Ohne Ben
Jetzt du. Zuerst erkennen, welches Gesetz gerade benutzt wurde – dann selbst geschickt rechnen.
Und ganz unten wartet eine Aufgabenliste wie auf dem Arbeitsblatt. Mit Lösungen zum Aufklappen.
Widget 16 · Welches Gesetz war das?
Ein Term wird umgebaut. Welches Gesetz erlaubt den Umbau – oder wurde nur nach der Verabredung gerechnet?
Widget 17 · Rechne geschickt
Drei Stufen: Erst zeigt dir das Modul den Trick, dann wählst du ihn selbst, zum Schluss rechnest du frei.
Aufgaben zum Aufschreiben
Rechne im Heft. Die Lösung kannst du danach aufklappen.
Vertauschen, verbinden, verteilen – und immer die Verabredung im Kopf. Mehr braucht man nicht.
Und wer die drei Gesetze kennt, kommt in Klasse 7 auch mit Termen mit Buchstaben klar. Aber das ist eine andere Geschichte.
© 2026 Pavel Gitin · KI-assistiert · CC BY-NC-SA 4.0