Besondere Linien im Dreieck

Besondere Linien im Dreieck Geometrie · Klasse 6

Die vier besonderen Linien im Dreieck

Jedes Dreieck hat vier besondere Linien. Wähle eine Linie aus — das Dreieck unten zeigt sie dynamisch. Die Eckpunkte A, B, C kannst du mit der Maus verschieben.

Höhe

Die Höhe ist das Lot von einem Eckpunkt auf die gegenüberliegende Seite (oder ihre Verlängerung). Der Fußpunkt heißt Lotfußpunkt.

Sprechweise: „Lot fällen" — vom Eckpunkt senkrecht auf die Gegenseite

Konstruktionsvorschriften — Schritt für Schritt

Wähle eine Linie. Mit Weiter siehst du jeden Konstruktionsschritt einzeln — so wie bei Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen im Unterricht.

Der gemeinsame Schnittpunkt — jede Liniensorte trifft sich in einem Punkt

Alle drei Höhen, alle drei Seitenhalbierenden — je drei Linien der gleichen Art schneiden sich stets in einem einzigen Punkt. Diese Eigenschaft gilt für jedes Dreieck. Verschiebe die Eckpunkte und beobachte, wie der Schnittpunkt wandert.

Höhenschnittpunkt H

Schnittpunkt aller drei Höhen
Kann außerhalb des Dreiecks liegen (stumpfwinklig)

Schwerpunkt S

Schnittpunkt aller drei Seitenhalbierenden
Liegt immer im Inneren · teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1

Schnittpunkt der Mittelsenkrechten M

Schnittpunkt aller drei Mittelsenkrechten
Kann außerhalb des Dreiecks liegen (stumpfwinklig)

Schnittpunkt der Winkelhalbierenden I

Schnittpunkt aller drei Winkelhalbierenden
Liegt immer im Inneren des Dreiecks

Sonderfälle: gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck

Gleichschenkliges Dreieck

C ziehbar — grauer Punkt = Ursprung

Beim gleichschenkligen Dreieck fallen vom Scheitel (dem Winkel zwischen den gleich langen Seiten) vier Linien zusammen:

■ Höhe auf die Basis
■ Seitenhalbierende der Basis
■ Winkelhalbierende des Scheitels
■ Mittelsenkrechte der Basis

Das gleichschenklige Dreieck hat eine Symmetrieachse — die Symmetrieachse ist gleichzeitig all diese Linien.

Gleichseitiges Dreieck

C ziehbar — grauer Punkt = Ursprung

Beim gleichseitigen Dreieck fallen alle vier Schnittpunkte in einen einzigen Punkt zusammen:

■ Höhenschnittpunkt H
■ Schwerpunkt S
■ Schnittpunkt der Mittelsenkrechten M
■ Schnittpunkt der Winkelhalbierenden I

Das gleichseitige Dreieck hat drei Symmetrieachsen — von jeder Ecke fällt Höhe, Seitenhalbierende, Winkelhalbierende und Mittelsenkrechte zusammen.

Merkregel

Gleichschenkliges Dreieck: Vom Scheitel fallen vier Linien zusammen (Symmetrieachse).
Gleichseitiges Dreieck: Alle vier Schnittpunkte fallen zusammen — maximale Symmetrie.

Zeichenaufgaben — auf Papier

Aufgabe 1 · Höhe einzeichnen

Zeichenaufgabe (Papier, Geodreieck, Zirkel) Zeichne ein Dreieck \(ABC\) mit \(a = 6\,\text{cm}\), \(b = 5\,\text{cm}\), \(c = 4\,\text{cm}\). Zeichne die Höhe vom Eckpunkt \(C\) auf die Seite \(AB\) ein. Markiere den Lotfußpunkt und den rechten Winkel.

Aufgabe 2 · Seitenhalbierende und Schwerpunkt

Zeichenaufgabe (Papier, Zirkel, Lineal) Zeichne ein beliebiges Dreieck \(ABC\).
Konstruiere alle drei Seitenhalbierenden mit Zirkel und Lineal.
Markiere den Schwerpunkt \(S\) (Schnittpunkt) und überprüfe: Liegt er im Inneren des Dreiecks?

Aufgabe 3 · Stumpfwinkliges Dreieck

Zeichenaufgabe (Papier) Zeichne ein stumpfwinkliges Dreieck \(ABC\) (ein Winkel größer als 90°). Zeichne alle drei Höhen ein — du wirst die Seiten verlängern müssen. Wo liegt der Höhenschnittpunkt \(H\)?

Multiple Choice — Verständnisfragen

Frage 1

Welche Aussage über die Höhe im Dreieck ist richtig?

Die Höhe verbindet zwei Mittelpunkte der Seiten.

Die Höhe steht senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite.

Die Höhe halbiert den Winkel an der Ecke.

Die Höhe geht immer durch den Mittelpunkt einer Seite.

Frage 2

Wo liegt der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden?

Immer auf einer Seite des Dreiecks.

Manchmal außerhalb des Dreiecks.

Immer im Inneren des Dreiecks (Schwerpunkt).

Nur beim gleichseitigen Dreieck im Inneren.

Frage 3

Was gilt für ein gleichschenkliges Dreieck?

Alle vier Schnittpunkte fallen zusammen.

Vom Scheitel fallen Höhe, Seitenhalbierende, Winkelhalbierende und Mittelsenkrechte zusammen.

Der Höhenschnittpunkt liegt immer außerhalb.

Es hat keine Symmetrieachse.

Frage 4

Die Sprechweise „Mittelsenkrechte errichten" bedeutet:

Einen Winkel halbieren.

Vom Eckpunkt ein Lot auf die Gegenseite fällen.

Im Mittelpunkt einer Strecke eine Senkrechte errichten.

Die Strecke in zwei gleiche Hälften teilen und verlängern.

Frage 5

Der Höhenschnittpunkt \(H\) eines Dreiecks …

… liegt immer im Inneren des Dreiecks.

… liegt immer auf einer Seite des Dreiecks.

… kann je nach Dreieckstyp innen, auf einer Ecke oder außen liegen.

… ist immer gleich dem Schwerpunkt.