Definition
Ein Kreis mit Mittelpunkt \(M\) ist die Menge aller Punkte, die von
\(M\) denselben Abstand \(r\) (den Radius) haben. Streng genommen
unterscheidet man die Kreislinie (nur der Rand) von der
Kreisfläche (Rand plus alles, was innen liegt). In diesem Modul ist mit
„Kreis" immer die Kreislinie gemeint — also nur der Rand, nicht die
Fläche dahinter.
Radius und Durchmesser
Ziehe den Punkt \(A\). Links siehst du den Radius \(MA\), rechts den
Durchmesser \(AB\) — er verläuft durch den Mittelpunkt zum
gegenüberliegenden Punkt \(B\) und ist doppelt so lang wie der Radius.
Zusammenhang
Radius: \(r = 5\,\text{cm}\) · Durchmesser: \(d = 2r = 10\,\text{cm}\)
Lage von Punkten zum Kreis
Ziehe den Punkt \(P\). Je nachdem, wie weit \(P\) vom Mittelpunkt entfernt ist, liegt er
innerhalb, auf oder außerhalb des
Kreises.
Innerhalb
Abstand \(MP \approx\) 2.7 cm
· Radius: \(r =\) 5 cm
· Vergleich: \(MP < r\)
Sekante, Tangente, Passante
Eine Gerade kann zu einem Kreis in drei verschiedenen Lagen stehen. Entscheidend ist der
Abstand \(d\) des Mittelpunkts \(M\) von der Geraden im Vergleich zum Radius \(r\).
Ziehe den Punkt F (den Lotfußpunkt) — er bestimmt Abstand und Richtung
der Geraden zugleich.
Sekante
Abstand Mittelpunkt–Gerade: \(d \approx\) 2.7 cm
· Radius: \(r =\) 5 cm
· Vergleich: \(d < r\)
Tangente senkrecht zum Radius
Ziehe den Berührpunkt T auf dem Kreis. Beobachte: Radius \(MT\) und
Tangente stehen im Berührpunkt immer im rechten Winkel zueinander — egal, wo \(T\) liegt.
Satz
Die Tangente in einem Punkt \(T\) eines Kreises steht senkrecht auf dem
Radius \(MT\). Kurz: Tangente \(\perp\) Radius im Berührpunkt.
Tangentenkonstruktion von einem Punkt außerhalb des Kreises
Gegeben ist ein Kreis mit Mittelpunkt \(M\) und ein Punkt \(P\) außerhalb des Kreises.
Gesucht sind die beiden Tangenten von \(P\) an den Kreis. Klicke dich mit
Weiter durch die Konstruktionsschritte.
Ausblick
Warum liegen \(T_1\) und \(T_2\) genau dort, wo der Thaleskreis den gegebenen Kreis
schneidet? Weil jeder Punkt auf dem Thaleskreis über \(MP\) die Strecke \(MP\) unter einem
rechten Winkel sieht. Diesen Zusammenhang — den Satz des Thales — lernst
du genauer in Kreisgeometrie 3.
Zeichenaufgaben — auf Papier
Aufgabe 1 · Lagen erkennen
Zeichenaufgabe (Zirkel, Geodreieck)
Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt \(M\) und Radius \(r = 4\,\text{cm}\).
Zeichne eine Gerade, die vom Mittelpunkt \(4\,\text{cm}\) entfernt ist. Um welche Lage
handelt es sich? Zeichne anschließend eine zweite Gerade mit Abstand \(2\,\text{cm}\)
und markiere ihre Schnittpunkte mit dem Kreis.
Aufgabe 2 · Tangentenkonstruktion
Zeichenaufgabe (Zirkel, Lineal)
Zeichne einen Kreis mit Radius \(r = 3\,\text{cm}\) um einen Punkt \(M\). Markiere einen
Punkt \(P\) mit Abstand \(MP = 6\,\text{cm}\). Konstruiere mit Zirkel und Lineal die
beiden Tangenten von \(P\) an den Kreis (Thaleskreis über \(MP\), wie in Tab
„Konstruktion"). Markiere die Berührpunkte und die rechten Winkel.
Sachaufgabe
Aufgabe 3 · Sendemast
Ein Sendemast strahlt sein Signal kreisförmig mit einer Reichweite von \(10\,\text{km}\)
aus. Eine gerade Bahnstrecke verläuft in einem Abstand von \(6\,\text{km}\) am Sendemast
vorbei.
a) Erreicht das Signal die Bahnstrecke? Begründe mit dem Vergleich von Abstand und Reichweite.
b) Eine zweite Bahnstrecke verläuft im Abstand von \(13\,\text{km}\) am Sendemast vorbei. Erreicht sie das Signal? Wie nennt man die Lage dieser Strecke zum Empfangskreis?
c) Ab welchem Abstand würde eine Bahnstrecke das Signal gerade noch berühren, aber nicht mehr schneiden?
a) Erreicht das Signal die Bahnstrecke? Begründe mit dem Vergleich von Abstand und Reichweite.
b) Eine zweite Bahnstrecke verläuft im Abstand von \(13\,\text{km}\) am Sendemast vorbei. Erreicht sie das Signal? Wie nennt man die Lage dieser Strecke zum Empfangskreis?
c) Ab welchem Abstand würde eine Bahnstrecke das Signal gerade noch berühren, aber nicht mehr schneiden?
a) Der Abstand der Bahnstrecke zum Sendemast beträgt \(d = 6\,\text{km}\), die Reichweite
(der Radius) ist \(r = 10\,\text{km}\). Da \(d < r\) ist, schneidet die Bahnstrecke den
Empfangskreis — sie ist eine Sekante. Das Signal erreicht die
Bahnstrecke.
b) Hier ist \(d = 13\,\text{km} > r = 10\,\text{km}\). Die Strecke ist eine Passante und erreicht das Signal nicht.
c) Genau bei \(d = r = 10\,\text{km}\) — dann ist die Bahnstrecke eine Tangente an den Empfangskreis.
b) Hier ist \(d = 13\,\text{km} > r = 10\,\text{km}\). Die Strecke ist eine Passante und erreicht das Signal nicht.
c) Genau bei \(d = r = 10\,\text{km}\) — dann ist die Bahnstrecke eine Tangente an den Empfangskreis.
Multiple Choice — Verständnisfragen
Frage 1
Eine Gerade hat vom Mittelpunkt eines Kreises den Abstand \(d\), der Kreis
hat den Radius \(r\). In welchem Fall ist die Gerade eine Tangente?
\(d < r\)
\(d = r\)
\(d > r\)
\(d = 0\)
Frage 2
Welche Aussage über die Tangente ist richtig?
Sie schneidet den Kreis in zwei Punkten.
Sie steht im Berührpunkt senkrecht auf dem Radius.
Sie verläuft immer durch den Mittelpunkt.
Sie hat keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis.
Frage 3
Ein Kreis hat den Radius \(r = 4\,\text{cm}\). Wie lang ist der
Durchmesser?
\(2\,\text{cm}\)
\(4\,\text{cm}\)
\(8\,\text{cm}\)
\(16\,\text{cm}\)
Frage 4
Ein Kreis hat Mittelpunkt \(M\) und Radius \(r = 6\,\text{cm}\). Ein
Punkt \(P\) ist \(6\,\text{cm}\) von \(M\) entfernt. Wo liegt \(P\)?
Innerhalb des Kreises
Auf dem Kreis
Außerhalb des Kreises
© 2026 Pavel Gitin · KI-assistiert · CC BY-NC-SA 4.0