Kreisgeometrie 2 · Kreise im Dreieck

Kreise im Dreieck Kreisgeometrie 2 · Klasse 7

Rückblick: Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

Aus dem vorigen Modul kennst du schon die Mittelsenkrechte einer Strecke (sie steht senkrecht auf der Strecke und geht durch ihren Mittelpunkt — jeder Punkt auf ihr ist von den beiden Streckenenden gleich weit entfernt) und die Winkelhalbierende (sie teilt einen Winkel in zwei gleich große Teile). Jetzt siehst du, wie diese beiden Linien im Dreieck zu zwei besonderen Kreisen führen.

Sehne — eine Verbindungsstrecke zwischen zwei Kreispunkten

Eine Sehne verbindet zwei Punkte auf einem Kreis. Ziehe P₁ und P₂ auf dem Kreis und beobachte die gestrichelte Mittelsenkrechte der Sehne — sie geht immer durch den Mittelpunkt \(M\).

Warum geht die Mittelsenkrechte durch M?

Für jeden Punkt \(P\) auf dem Kreis gilt \(MP = r\). Also ist auch \(MP_1 = MP_2 = r\) — der Mittelpunkt \(M\) ist von \(P_1\) und \(P_2\) gleich weit entfernt. Genau das ist die Definition der Mittelsenkrechten der Sehne \(P_1P_2\): \(M\) muss also auf ihr liegen.

Umkreis — der Kreis durch alle drei Eckpunkte

Ziehe die Eckpunkte A, B, C. Die drei Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten schneiden sich immer in einem Punkt \(M\) — dort, wo \(MA = MB = MC\) gilt. Das ist der Mittelpunkt des Umkreises.

Satz und Sonderfall

Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich stets in einem Punkt \(M\), dem Umkreismittelpunkt, mit \(MA=MB=MC=r\). Bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt \(M\) außerhalb des Dreiecks, bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt \(M\) genau auf der Hypotenuse, in ihrem Mittelpunkt.

Inkreis — der größte Kreis im Dreieck

Ziehe die Eckpunkte A, B, C. Die drei Winkelhalbierenden schneiden sich immer in einem Punkt \(I\) — von dort aus haben alle drei Seiten den gleichen Abstand \(r\). Das ist der Mittelpunkt des Inkreises.

Satz — kein Sonderfall

Die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich stets in einem Punkt \(I\), dem Inkreismittelpunkt. Er liegt immer im Inneren des Dreiecks — ganz gleich, ob das Dreieck spitz-, recht- oder stumpfwinklig ist. Anders als beim Umkreismittelpunkt gibt es hier keinen Sonderfall.

Konstruktion — Schritt für Schritt

Wähle Umkreis oder Inkreis. Mit Weiter gehst du die Konstruktion Schritt für Schritt durch.

Radius berechnen

Aufgabe 1 · Umkreisradius

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse \(c = 10\,\text{cm}\) lang. Wie groß ist der Umkreisradius \(r\)? Begründe mit dem, was du im Umkreis-Tab beobachtet hast.

Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt \(M\) genau auf der Hypotenuse, in ihrem Mittelpunkt. Der Radius ist daher die halbe Hypotenuse: \(r = c/2 = 10\,\text{cm}/2 = 5\,\text{cm}\).

Aufgabe 2 · Inkreisradius

Für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(a\), \(b\) und der Hypotenuse \(c\) gilt für den Inkreisradius die Formel \(r = (a+b-c)/2\). Berechne \(r\) für \(a=6\,\text{cm}\), \(b=8\,\text{cm}\), \(c=10\,\text{cm}\).

\(r = (6\,\text{cm}+8\,\text{cm}-10\,\text{cm})/2 = 4\,\text{cm}/2 = 2\,\text{cm}\).

Punkt identifizieren — Multiple Choice

Frage 1

Welcher Punkt ist von allen drei Eckpunkten eines Dreiecks gleich weit entfernt?

Umkreismittelpunkt

Inkreismittelpunkt

Schwerpunkt

Höhenschnittpunkt

Frage 2

Welcher Punkt ist von allen drei Seiten eines Dreiecks gleich weit entfernt?

Umkreismittelpunkt

Inkreismittelpunkt

Schwerpunkt

Höhenschnittpunkt

Frage 3

Bei welchem der beiden Mittelpunkte kann es passieren, dass er außerhalb des Dreiecks liegt?

Umkreismittelpunkt

Inkreismittelpunkt

Sachaufgaben

Aufgabe 3 · Trinkwasserbrunnen

Drei Dörfer A, B und C sollen sich einen gemeinsamen Trinkwasserbrunnen teilen. Er soll von allen drei Dörfern gleich weit entfernt liegen. Wie heißt der gesuchte Punkt, und wie konstruiert man ihn?

Gesucht ist der Umkreismittelpunkt der Dörfer A, B, C. Man konstruiert ihn als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Verbindungsstrecken AB und BC — dieser Punkt ist von allen drei Dörfern gleich weit entfernt.

Aufgabe 4 · Springbrunnen im Park

Ein dreieckiges Parkgrundstück hat die Seitenlängen \(a=30\,\text{m}\), \(b=40\,\text{m}\), \(c=50\,\text{m}\) (rechtwinklig, da \(30^2+40^2=50^2\)). In der Mitte soll ein möglichst großer runder Springbrunnen entstehen, der ganz auf dem Grundstück liegt. Berechne seinen Radius mit \(r = \dfrac{2 \cdot \text{Fläche}}{\text{Umfang}}\).

Fläche: \(A = \dfrac{30\,\text{m}\cdot 40\,\text{m}}{2} = 600\,\text{m}^2\).
Umfang: \(U = 30\,\text{m}+40\,\text{m}+50\,\text{m} = 120\,\text{m}\).
Radius: \(r = \dfrac{2\cdot 600\,\text{m}^2}{120\,\text{m}} = 10\,\text{m}\). Der Springbrunnen ist der Inkreis des Grundstücks.