Rückblick: die Sehne
Aus Kreisgeometrie 2 kennst du die Sehne — eine Verbindungsstrecke zwischen
zwei Punkten auf einem Kreis. Die Strecke AB unten ist so eine Sehne. Jetzt
schauen wir uns die Winkel an, die von ihr aus gesehen werden.
Zentriwinkel und Peripheriewinkel
Der Zentriwinkel \(\angle AMB\) liegt am Mittelpunkt \(M\). Der
Peripheriewinkel \(\angle APB\) liegt an einem Punkt \(P\) auf dem Kreisrand
("Peripherie"). Ziehe zuerst P auf dem Kreis und beobachte beide Winkel
gleichzeitig. Zieh danach auch A oder B — damit veränderst
du den Zentriwinkel selbst. Die Anzeige unten aktualisiert sich live: Das Verhältnis bleibt
immer 2:1.
Zentri-Peripheriewinkelsatz
Der Peripheriewinkel ist immer halb so groß wie der Zentriwinkel über
demselben Bogen: \(\angle APB = \dfrac{1}{2}\angle AMB\). Das gilt, solange \(P\) auf dem
größeren der beiden Bögen liegt, die die Sehne \(AB\) erzeugt.
Peripheriewinkelsatz
Weil der Zentriwinkel \(\angle AMB\) sich nicht ändert, egal wo \(P\) auf dem größeren Bogen
liegt, bleibt auch der Peripheriewinkel \(\angle APB\) für jede Lage von
\(P\) auf diesem Bogen gleich groß. Läge \(P\) stattdessen auf dem
kleineren Bogen, wäre der Peripheriewinkel nicht mehr
gleich groß, sondern würde sich zu \(180°\) ergänzen — genau diesen Fall siehst du im
Sehnenviereck-Tab bei den Winkeln auf gegenüberliegenden Bogenseiten derselben Sehne.
Sehnenviereck — vier Punkte auf einem Kreis
Ziehe die vier Eckpunkte A, B, C,
D auf dem Kreis. Ein Viereck, dessen Eckpunkte alle auf einem Kreis liegen,
heißt Sehnenviereck. Wähle unten eine Diagonale, um zu sehen, wie sich damit
ein Zusammenhang zwischen zwei gegenüberliegenden Winkeln begründen lässt.
Herleitung über den Peripheriewinkel
Gegenwinkelsatz im Sehnenviereck
In jedem Sehnenviereck ergänzen sich gegenüberliegende Winkel zu \(180°\):
\(\angle A + \angle C = 180°\) und \(\angle B + \angle D = 180°\).
Der Sonderfall: Sehne AB ist ein Durchmesser
Jetzt ist die Sehne AB ein Durchmesser — sie geht durch den
Mittelpunkt \(M\). Ziehe P auf dem Kreis und beobachte den Winkel
\(\angle APB\).
Satz des Thales
Liegt \(P\) auf einem Kreis über dem Durchmesser \(AB\), dann ist \(\angle APB\) immer ein
rechter Winkel — das ist der Sonderfall des Peripheriewinkelsatzes für einen
Zentriwinkel von \(180°\) (ein gestreckter Winkel): \(\angle APB = \dfrac{1}{2}\cdot 180° = 90°\).
Rückblick: die Tangentenkonstruktion aus Kreisgeometrie 1
In Kreisgeometrie 1 hast du Tangenten von einem Punkt \(Q\) außerhalb eines Kreises
konstruiert — die Begründung wurde damals vertagt. Jetzt kannst du sie verstehen: Geh die
Schritte durch.
Rechnen
Aufgabe 1 · Zentriwinkel und Peripheriewinkel
Über einem Kreisbogen beträgt der Zentriwinkel \(\angle AMB = 124°\). Wie groß ist der
Peripheriewinkel \(\angle APB\) über demselben Bogen (für \(P\) auf dem größeren Bogen)?
Nach dem Zentri-Peripheriewinkelsatz ist der Peripheriewinkel halb so groß wie der
Zentriwinkel: \(\angle APB = 124°/2 = 62°\).
Aufgabe 2 · Sehnenviereck
In einem Sehnenviereck \(ABCD\) ist der Winkel bei \(A\) genau \(95°\) groß. Wie groß ist der
gegenüberliegende Winkel bei \(C\)?
Gegenüberliegende Winkel im Sehnenviereck ergänzen sich zu \(180°\):
\(\angle C = 180° - 95° = 85°\).
Sachaufgabe
Aufgabe 3 · Brückenbogen
Eine kleine Fußgängerbrücke hat die Form eines Halbkreisbogens mit dem Durchmesser
\(AB = 24\,\text{m}\) am Boden. Ein Vogel sitzt genau auf dem höchsten Punkt \(P\) des Bogens.
Unter welchem Winkel sieht der Vogel die beiden Enden \(A\) und \(B\) der Brücke — und
brauchst du dafür überhaupt die \(24\,\text{m}\)?
\(P\) liegt auf dem Halbkreis über dem Durchmesser \(AB\), also gilt nach dem Satz des Thales
\(\angle APB = 90°\) — ganz unabhängig von der Länge des Durchmessers. Die \(24\,\text{m}\)
werden für den Winkel gar nicht gebraucht.
Multiple Choice
Frage 1
Welcher Winkel ist immer halb so groß wie der zugehörige Zentriwinkel?
Peripheriewinkel
Wechselwinkel
Stufenwinkel
Nebenwinkel
Frage 2
In einem Sehnenviereck ergänzen sich gegenüberliegende Winkel stets zu …
90°
180°
270°
360°
© 2026 Pavel Gitin · KI-assistiert · CC BY-NC-SA 4.0