Emma kauft mehrere Hefte. Ein Heft kostet $2$ €, dazu noch einen Stift für $1{,}50$ €. Was zahlt sie insgesamt? Das hängt davon ab, wie viele Hefte sie kauft.
Für $5$ Hefte: $5 \cdot 2 + 1{,}50 = 11{,}50$ €
Statt einer festen Zahl schreiben wir einfach den Buchstaben $n$ für die Anzahl der Hefte. Dann gilt immer:
Dieser Ausdruck heißt Term. Er liefert für jede Zahl, die wir für $n$ einsetzen, einen konkreten Wert.
Eine Variable steht für eine (unbekannte oder veränderliche) Zahl — meist ein Buchstabe wie $x$, $n$ oder $a$.
Der Koeffizient ist die feste Zahl, die direkt vor der Variable steht.
Die Konstante ist eine feste Zahl ohne Variable.
Diese Regel gilt ab sofort immer — in Aufgaben, Lösungen und eigenen Rechnungen.
Terme mit derselben Variable heißen gleichartige Terme. Sie können zusammengefasst werden:
Koeffizient 1 wird nicht geschrieben:
Terme mit verschiedenen Variablen oder eine Variable und eine Konstante können nicht zusammengefasst werden:
Die Reihenfolge bei Addition und Multiplikation kann geändert werden — das nutzen wir, um bequemer und übersichtlicher zu rechnen.
Bei Subtraktion und Division gilt das nicht: $7 - 3 \neq 3 - 7$.
Die Klammerung bei Addition und Multiplikation kann geändert werden — auch das ermöglicht bequemeres Rechnen.
Das Vorzeichen des Ergebnisses hängt von den Vorzeichen der Faktoren ab:
Verschiedene Vorzeichen → negatives Ergebnis
Steht ein Minuszeichen direkt vor einer Klammer, kehren sich die Vorzeichen aller Summanden in der Klammer um:
Ein Faktor vor einer Klammer wird mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert:
Ausklammern ist das Umkehren des Ausmultiplizierens: Man sucht einen gemeinsamen Faktor und schreibt ihn vor die Klammer.
Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht — links und rechts liegen gleich schwere Gewichte. Solange wir auf beiden Seiten dasselbe tun, bleibt die Waage im Gleichgewicht.
beide Seiten $+ 3$, beide Seiten $- 5$, beide Seiten $\cdot 2$, beide Seiten $\div 4$ — immer gleichzeitig.
Eine Klasse macht einen Ausflug zum See. Es ist heiß — alle wollen schwimmen. Aber niemand hat Badesachen dabei. Also trennen sich Jungs und Mädels, gehen in verschiedene Gebüsche und ziehen sich um.
Mädels (Zahlen) → gehen nach rechts.
Das Gebüsch in der Mitte = Gleichheitszeichen.
Wer die Seite wechselt, ändert sein Vorzeichen.