Die Kreiszahl π

Die Kreiszahl π Geometrie · Klasse 8 · Umfang und Durchmesser

Was ist die Kreiszahl π?

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Definition

Die Kreiszahl π

Bei jedem Kreis ist das Verhältnis von Umfang $U$ zum Durchmesser $d$ gleich: $$\pi = \frac{U}{d} \approx 3{,}14159\ldots$$ π ist eine irrationale Zahl — ihre Dezimalstellen hören niemals auf und wiederholen sich nicht.

Formeln

$$U = \pi \cdot d \qquad\text{bzw.}\qquad U = 2\pi r$$ Mit $d$ = Durchmesser, $r$ = Radius ($r = \tfrac{d}{2}$).

Beispiele

Beispiel 1 — Fahrradrad

Ein Fahrradrad hat den Durchmesser $d = 66\,\text{cm}$. Wie weit rollt es pro Umdrehung? $$U = \pi \cdot d = \pi \cdot 66\,\text{cm} \approx 3{,}14 \cdot 66\,\text{cm} \approx 207{,}3\,\text{cm}$$ Pro Umdrehung legt das Rad etwa $\mathbf{207{,}3\,\text{cm} \approx 2{,}07\,\text{m}}$ zurück.

Beispiel 2 — Brunnen

Ein runder Brunnen hat den Radius $r = 45\,\text{cm}$. Wie lang ist die Umrandung? $$U = 2\pi r = 2 \cdot \pi \cdot 45\,\text{cm} \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 45\,\text{cm} \approx 282{,}7\,\text{cm}$$ Die Umrandung ist etwa $\mathbf{282{,}7\,\text{cm} \approx 2{,}83\,\text{m}}$ lang.

Kreisumfang erkunden

Formel

Verändere Durchmesser oder Radius mit dem Schieberegler und beobachte, wie Umfang und Kreis sich ändern. Es gilt stets: $U = \pi \cdot d = 2\pi r$

Radius r

5,0 cm

Radius r 5,00 cm

Durchmesser d 10,00 cm

Umfang U = π · d 31,42 cm

Näherung (π ≈ 3,14) 31,40 cm

Merke

π ist überall gleich

Egal wie groß oder klein der Kreis ist — das Verhältnis $\dfrac{U}{d}$ ist immer $\pi \approx 3{,}14159\ldots$
Doppelter Durchmesser → doppelter Umfang. Der Faktor π bleibt konstant.

Aufgabe 1 — Karussell

Karussell

Ein Karussell hat einen Durchmesser von $d = 12\,\text{m}$.
a) Berechne den Umfang des Karussells. Runde auf zwei Dezimalstellen.
b) Wie oft dreht sich das Karussell, wenn es insgesamt $1\,\text{km}$ zurücklegt?
c) Ein Kind sitzt am Rand. Wie weit ist es vom Mittelpunkt entfernt?

Lösung

a) $U = \pi \cdot d = \pi \cdot 12\,\text{m} \approx 37{,}70\,\text{m}$

b) Anzahl $= \dfrac{1000\,\text{m}}{37{,}70\,\text{m}} \approx 26{,}5$ Umdrehungen

c) Das Kind sitzt am Rand, also im Abstand $r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{12\,\text{m}}{2} = 6\,\text{m}$ vom Mittelpunkt.

Aufgabe 2 — Laufbahn

Laufbahn

Eine runde Laufbahn hat den Radius $r = 40\,\text{m}$.
a) Berechne den Umfang der Laufbahn.
b) Wie viele Runden muss Leon laufen, um mindestens $5\,\text{km}$ zu erreichen?
c) Lisa läuft genau $10$ Runden. Wie viele Meter legt sie zurück?

Lösung

a) $U = 2\pi r = 2 \cdot \pi \cdot 40\,\text{m} \approx 251{,}33\,\text{m}$

b) $\dfrac{5000\,\text{m}}{251{,}33\,\text{m}} \approx 19{,}89$ — Leon muss also mindestens 20 Runden laufen.

c) $10 \cdot 251{,}33\,\text{m} = 2513{,}3\,\text{m} \approx 2{,}51\,\text{km}$

Aufgabe 3 — Uhr

Minutenzeiger

Der Minutenzeiger einer Uhr ist $r = 9\,\text{cm}$ lang.
a) Welchen Weg legt die Spitze des Minutenzeigers in einer Stunde zurück?
b) Welchen Weg legt sie in 24 Stunden zurück?
c) In welcher Zeit legt die Spitze genau $1\,\text{m}$ zurück?

Lösung

a) Eine Stunde = eine volle Umdrehung: $U = 2\pi r = 2 \cdot \pi \cdot 9\,\text{cm} \approx 56{,}55\,\text{cm}$

b) $24 \cdot 56{,}55\,\text{cm} = 1357{,}2\,\text{cm} \approx 13{,}57\,\text{m}$

c) $\dfrac{100\,\text{cm}}{56{,}55\,\text{cm}} \approx 1{,}77\,\text{h} \approx 1\,\text{h}\;46\,\text{min}$

Aufgabe 4 — Durchmesser gesucht

Gartenteich

Ein kreisförmiger Teich hat einen Umfang von $U = 18{,}85\,\text{m}$.
a) Berechne den Durchmesser des Teichs.
b) Berechne den Radius.
c) Ein Gärtner will rund um den Teich einen Weg von $1\,\text{m}$ Breite anlegen. Welchen Umfang hat der Außenrand des Weges?

Lösung

a) $d = \dfrac{U}{\pi} = \dfrac{18{,}85\,\text{m}}{\pi} \approx \dfrac{18{,}85}{3{,}14159} \approx 6{,}00\,\text{m}$

b) $r = \dfrac{d}{2} = 3{,}00\,\text{m}$

c) Außenradius: $r_\text{außen} = 3{,}00 + 1{,}00 = 4{,}00\,\text{m}$
$U_\text{außen} = 2\pi \cdot 4{,}00\,\text{m} \approx 25{,}13\,\text{m}$