Idee: Kreis zerschneiden und zusammensetzen
Wir schneiden den Kreis in gleichgroße Sektoren (Kuchenstücke).
Die eine Hälfte zeigen wir mit Spitzen nach oben, die andere mit Spitzen nach unten —
und setzen alles zusammen. Je mehr Sektoren, desto ähnlicher wird die Form einem Rechteck.
Erkenntnis
Mit wachsender Sektoranzahl werden die Wellenränder immer flacher.
Die Breite der zusammengesetzten Form nähert sich dem halben Umfang \(\pi r\),
die Höhe dem Radius \(r\). Damit folgt:
\[A = \pi r \cdot r = \pi r^2\]
Idee: Kreis aufwickeln wie eine Zwiebel
Wir zerlegen den Kreis in konzentrische Ringe — wie die Schichten einer Zwiebel.
Jeden Ring schneiden wir einmal oben auf und rollen ihn gerade aus.
Alle Streifen werden übereinander gelegt: der äußerste (Umfang \(2\pi r\)) ganz unten,
der innerste (sehr kurz) ganz oben. Zusammen bilden sie ein gleichschenkeliges Dreieck.
Ringe werden nacheinander aufgerollt
Was entsteht?
Das Dreieck hat:
- Basis = Umfang des äußersten Rings \(= 2\pi r\)
- Höhe = Radius \(r\) (von innerster bis äußerster Schicht)
Erkenntnis
Je mehr Ringe, desto besser passt das Dreieck — die gezackten Stufen verschwinden.
Im Grenzfall unendlich vieler, unendlich dünner Ringe entsteht ein exaktes Dreieck,
und der Flächeninhalt des Kreises ist genau \(A = \pi r^2\).
Zwei Wege — ein Ergebnis
Wir haben den Flächeninhalt des Kreises auf zwei völlig verschiedene Arten hergeleitet.
Beide Wege führen zur selben Formel. Das ist kein Zufall — es zeigt,
dass die Formel tatsächlich stimmt.
Weg 1 · Kuchenstücke
Wir zerlegen den Kreis in \(2n\) gleiche Sektoren und setzen sie verzahnt zusammen.
Mit wachsendem \(n\) entsteht ein immer rechteckigeres Gebilde:
\[\text{Breite} = \underbrace{n \cdot \frac{2\pi r}{2n}}_{\text{halber Umfang}} = \pi r\]
\[\text{Höhe} \to r\]
Das zusammengesetzte Rechteck hat also:
\[A = \pi r \cdot r = \pi r^2\]
Weg 2 · Zwiebelschichten
Wir zerlegen den Kreis in \(N\) konzentrische Ringe, schneiden jeden auf
und rollen ihn zu einem Streifen aus.
Ring \(i\) hat Radius \(\frac{i \cdot r}{N}\), Umfang \(\approx \frac{2\pi i r}{N}\) und Breite \(\frac{r}{N}\).
Alle Streifen zusammen bilden ein Dreieck:
\[\text{Basis} = 2\pi r \qquad \text{Höhe} = r\]
Flächeninhalt des Dreiecks:
\[A = \frac{1}{2} \cdot 2\pi r \cdot r = \pi r^2\]
Formel
Beide Wege bestätigen: Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius \(r\) beträgt
\[A = \pi r^2\]
Mit \(\pi \approx 3{,}14159\ldots\) gilt zum Beispiel für \(r = 5\,\text{cm}\):
\[A = \pi \cdot 5^2 \approx 3{,}14 \cdot 25 = 78{,}5\,\text{cm}^2\]
Aufgaben zum Flächeninhalt des Kreises
Aufgabe 1 · Pizzavergleich
Eine Pizzeria bietet zwei Pizzen an:
Pizza A: Durchmesser \(26\,\text{cm}\), Preis \(8{,}50\,€\)
Pizza B: Durchmesser \(32\,\text{cm}\), Preis \(12{,}00\,€\)
a) Berechne den Flächeninhalt beider Pizzen.
b) Welche Pizza ist günstiger pro Quadratzentimeter?
c) Um wie viel Prozent ist die größere Pizza flächenmäßig größer?
Pizza A: Durchmesser \(26\,\text{cm}\), Preis \(8{,}50\,€\)
Pizza B: Durchmesser \(32\,\text{cm}\), Preis \(12{,}00\,€\)
a) Berechne den Flächeninhalt beider Pizzen.
b) Welche Pizza ist günstiger pro Quadratzentimeter?
c) Um wie viel Prozent ist die größere Pizza flächenmäßig größer?
a) Radius A: \(r_A = 13\,\text{cm}\), Radius B: \(r_B = 16\,\text{cm}\)
\[A_A = \pi \cdot 13^2 = 169\pi \approx 530{,}9\,\text{cm}^2\] \[A_B = \pi \cdot 16^2 = 256\pi \approx 804{,}2\,\text{cm}^2\]
b) Preis pro cm²:
\[\frac{8{,}50}{530{,}9} \approx 0{,}0160\,\frac{€}{\text{cm}^2}\] \[\frac{12{,}00}{804{,}2} \approx 0{,}0149\,\frac{€}{\text{cm}^2}\] Pizza B ist günstiger pro cm².
c) \[\frac{A_B - A_A}{A_A} = \frac{804{,}2 - 530{,}9}{530{,}9} \approx 0{,}515 = 51{,}5\,\%\] Pizza B ist ca. 51,5 % größer.
\[A_A = \pi \cdot 13^2 = 169\pi \approx 530{,}9\,\text{cm}^2\] \[A_B = \pi \cdot 16^2 = 256\pi \approx 804{,}2\,\text{cm}^2\]
b) Preis pro cm²:
\[\frac{8{,}50}{530{,}9} \approx 0{,}0160\,\frac{€}{\text{cm}^2}\] \[\frac{12{,}00}{804{,}2} \approx 0{,}0149\,\frac{€}{\text{cm}^2}\] Pizza B ist günstiger pro cm².
c) \[\frac{A_B - A_A}{A_A} = \frac{804{,}2 - 530{,}9}{530{,}9} \approx 0{,}515 = 51{,}5\,\%\] Pizza B ist ca. 51,5 % größer.
Aufgabe 2 · Kreisring
Ein Springbrunnen hat ein rundes Becken mit Außenradius \(R = 3{,}5\,\text{m}\).
In der Mitte befindet sich eine kreisförmige Insel mit Radius \(r = 1{,}2\,\text{m}\).
a) Berechne den Flächeninhalt der Wasserfläche (Kreisring).
b) Die Wasserfläche soll mit Folie ausgelegt werden. Die Folie kostet \(4{,}80\,€\) pro \(\text{m}^2\). Was kostet die Folie insgesamt?
c) Wie groß ist der Anteil der Insel an der Gesamtfläche des Beckens (in %)?
a) Berechne den Flächeninhalt der Wasserfläche (Kreisring).
b) Die Wasserfläche soll mit Folie ausgelegt werden. Die Folie kostet \(4{,}80\,€\) pro \(\text{m}^2\). Was kostet die Folie insgesamt?
c) Wie groß ist der Anteil der Insel an der Gesamtfläche des Beckens (in %)?
a)
\[A_{\text{Ring}} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)\]
\[= \pi(3{,}5^2 - 1{,}2^2) = \pi(12{,}25 - 1{,}44) = \pi \cdot 10{,}81 \approx 33{,}96\,\text{m}^2\]
b) \[K = 33{,}96 \cdot 4{,}80 \approx 163{,}00\,€\]
c) \[A_{\text{gesamt}} = \pi \cdot 3{,}5^2 \approx 38{,}48\,\text{m}^2\] \[\frac{\pi \cdot 1{,}2^2}{38{,}48} = \frac{4{,}52}{38{,}48} \approx 11{,}7\,\%\] Die Insel macht ca. 11,7 % der Gesamtfläche aus.
b) \[K = 33{,}96 \cdot 4{,}80 \approx 163{,}00\,€\]
c) \[A_{\text{gesamt}} = \pi \cdot 3{,}5^2 \approx 38{,}48\,\text{m}^2\] \[\frac{\pi \cdot 1{,}2^2}{38{,}48} = \frac{4{,}52}{38{,}48} \approx 11{,}7\,\%\] Die Insel macht ca. 11,7 % der Gesamtfläche aus.
Aufgabe 3 · Halbkreis und Dreieck
Ein Fenster besteht aus einem Rechteck (\(120\,\text{cm} \times 80\,\text{cm}\)),
auf dem oben ein Halbkreis sitzt. Der Halbkreis hat denselben Durchmesser wie das Rechteck breit ist.
a) Berechne den Flächeninhalt des gesamten Fensters.
b) Das Fenster soll mit Milchglas beklebt werden, das \(18{,}00\,€\) pro \(\text{m}^2\) kostet. Wie viel kostet die Folie (auf ganze Euro gerundet)?
c) Wie groß ist der Anteil des Halbkreises am Gesamtfenster?
a) Berechne den Flächeninhalt des gesamten Fensters.
b) Das Fenster soll mit Milchglas beklebt werden, das \(18{,}00\,€\) pro \(\text{m}^2\) kostet. Wie viel kostet die Folie (auf ganze Euro gerundet)?
c) Wie groß ist der Anteil des Halbkreises am Gesamtfenster?
a) Radius des Halbkreises: \(r = 60\,\text{cm}\)
\[A_{\text{Rechteck}} = 120 \cdot 80 = 9600\,\text{cm}^2\] \[A_{\text{Halbkreis}} = \frac{\pi \cdot 60^2}{2} = \frac{3600\pi}{2} \approx 5654{,}9\,\text{cm}^2\] \[A_{\text{gesamt}} \approx 9600 + 5654{,}9 = 15254{,}9\,\text{cm}^2 \approx 1{,}525\,\text{m}^2\]
b) \[K = 1{,}525 \cdot 18{,}00 \approx 27{,}45\,€ \Rightarrow \mathbf{28\,€}\]
c) \[\frac{5654{,}9}{15254{,}9} \approx 37{,}1\,\%\] Der Halbkreis macht ca. 37,1 % des Fensters aus.
\[A_{\text{Rechteck}} = 120 \cdot 80 = 9600\,\text{cm}^2\] \[A_{\text{Halbkreis}} = \frac{\pi \cdot 60^2}{2} = \frac{3600\pi}{2} \approx 5654{,}9\,\text{cm}^2\] \[A_{\text{gesamt}} \approx 9600 + 5654{,}9 = 15254{,}9\,\text{cm}^2 \approx 1{,}525\,\text{m}^2\]
b) \[K = 1{,}525 \cdot 18{,}00 \approx 27{,}45\,€ \Rightarrow \mathbf{28\,€}\]
c) \[\frac{5654{,}9}{15254{,}9} \approx 37{,}1\,\%\] Der Halbkreis macht ca. 37,1 % des Fensters aus.
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