Idee: Gleiche Querschnittsfläche — gleiches Volumen
Wie berechnet man das Volumen einer Kugel? Der Schlüssel liegt im Cavalieri-Prinzip:
Zwei Körper haben dasselbe Volumen, wenn sie auf jeder Höhe dieselbe Querschnittsfläche besitzen.
Wir vergleichen eine Halbkugel mit einem
Zylinder, aus dem ein Kegel herausgebohrt wurde —
beide mit Radius \(r\) und Höhe \(r\).
Der Slider zeigt die Schnittebene bei Höhe \(x\) (von der Basis gemessen).
\(\sqrt{r^2-x^2}\)
Kreisfläche (Halbkugel)
Ringfläche (Zyl.−Kegel)
Cavalieri-Prinzip
Auf jeder Höhe \(x\) gilt:
Halbkugel: Kreisfläche \(A = \pi(r^2 - x^2)\)
Zylinder − Kegel: Ringfläche \(A = \pi r^2 - \pi x^2 = \pi(r^2-x^2)\)
Da die Querschnittsflächen für alle \(x \in [0,\,r]\) übereinstimmen, folgt: \[V_{\text{Halbkugel}} = V_{\text{Zylinder}} - V_{\text{Kegel}}\]
Halbkugel: Kreisfläche \(A = \pi(r^2 - x^2)\)
Zylinder − Kegel: Ringfläche \(A = \pi r^2 - \pi x^2 = \pi(r^2-x^2)\)
Da die Querschnittsflächen für alle \(x \in [0,\,r]\) übereinstimmen, folgt: \[V_{\text{Halbkugel}} = V_{\text{Zylinder}} - V_{\text{Kegel}}\]
Herleitung des Kugelvolumens
Wir berechnen die Volumina von Zylinder und Kegel (je Radius \(r\), Höhe \(r\))
und nutzen das Cavalieri-Prinzip.
Zylinder
Radius \(r\), Höhe \(r\):
\[V_{\text{Zylinder}} = \pi r^2 \cdot r = \pi r^3\]
Kegel
Radius \(r\), Höhe \(r\):
\[V_{\text{Kegel}} = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot r = \frac{1}{3}\pi r^3\]
Zylinder minus Kegel = Halbkugel
\[V_{\text{Halbkugel}} = V_{\text{Zylinder}} - V_{\text{Kegel}}
= \pi r^3 - \frac{1}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3\]
Volumen der ganzen Kugel
Die ganze Kugel besteht aus zwei Halbkugeln:
\[V_{\text{Kugel}} = 2 \cdot \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3\]
Oberfläche (zur Vollständigkeit)
Die Oberfläche der Kugel beträgt (ohne Herleitung):
\[O = 4\pi r^2\]
Formel
Volumen
\[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]
Oberfläche
\[O = 4\pi r^2\]
Interaktiver Rechner
Volumen
Oberfläche
Aufgaben zum Kugelvolumen
Aufgabe 1 · Wasserball
Ein Wasserball hat einen Durchmesser von \(22\,\text{cm}\).
a) Berechne das Volumen des Balls.
b) Wie viel Liter Luft fasst der Ball (auf zwei Dezimalstellen)?
c) Ein zweiter Ball hat doppelten Radius. Um welchen Faktor ist sein Volumen größer?
a) Berechne das Volumen des Balls.
b) Wie viel Liter Luft fasst der Ball (auf zwei Dezimalstellen)?
c) Ein zweiter Ball hat doppelten Radius. Um welchen Faktor ist sein Volumen größer?
a) \(r = 11\,\text{cm}\)
\[V = \frac{4}{3}\pi \cdot 11^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 1331 \approx 5575{,}3\,\text{cm}^3\]
b) \(1\,\text{l} = 1000\,\text{cm}^3\), also \(V \approx 5{,}58\,\text{l}\)
c) Bei doppeltem Radius \(2r\): \[V' = \frac{4}{3}\pi(2r)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8r^3 = 8V\] Das Volumen ist 8-mal so groß.
b) \(1\,\text{l} = 1000\,\text{cm}^3\), also \(V \approx 5{,}58\,\text{l}\)
c) Bei doppeltem Radius \(2r\): \[V' = \frac{4}{3}\pi(2r)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8r^3 = 8V\] Das Volumen ist 8-mal so groß.
Aufgabe 2 · Kugel im Zylinder
Eine Kugel mit Radius \(r = 6\,\text{cm}\) liegt exakt in einem Zylinder
(Radius und Höhe des Zylinders gleich \(2r = 12\,\text{cm}\)).
a) Berechne das Volumen der Kugel und des Zylinders.
b) Welcher Anteil des Zylindervolumens wird von der Kugel ausgefüllt (in %)?
a) Berechne das Volumen der Kugel und des Zylinders.
b) Welcher Anteil des Zylindervolumens wird von der Kugel ausgefüllt (in %)?
a)
\[V_{\text{Kugel}} = \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi \approx 904{,}8\,\text{cm}^3\]
\[V_{\text{Zylinder}} = \pi \cdot 6^2 \cdot 12 = 432\pi \approx 1357{,}2\,\text{cm}^3\]
b) \[\frac{V_{\text{Kugel}}}{V_{\text{Zylinder}}} = \frac{288\pi}{432\pi} = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%\] Die Kugel füllt stets genau \(\frac{2}{3}\) des umschreibenden Zylinders.
b) \[\frac{V_{\text{Kugel}}}{V_{\text{Zylinder}}} = \frac{288\pi}{432\pi} = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%\] Die Kugel füllt stets genau \(\frac{2}{3}\) des umschreibenden Zylinders.
Aufgabe 3 · Halbkugel-Schüssel
Eine Schüssel hat die Form einer Halbkugel mit Innenradius \(r = 14\,\text{cm}\).
Die Wandstärke beträgt \(0{,}5\,\text{cm}\).
a) Berechne das Fassungsvermögen der Schüssel (Innenvolumen).
b) Berechne das Volumen des Materials der Schüssel.
a) Berechne das Fassungsvermögen der Schüssel (Innenvolumen).
b) Berechne das Volumen des Materials der Schüssel.
a)
\[V_{\text{innen}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi \cdot 14^3 = \frac{2}{3}\pi \cdot 2744 \approx 5747{,}0\,\text{cm}^3\]
Also ca. \(5{,}75\,\text{l}\).
b) Außenradius \(R = 14{,}5\,\text{cm}\): \[V_{\text{außen}} = \frac{2}{3}\pi \cdot 14{,}5^3 = \frac{2}{3}\pi \cdot 3048{,}625 \approx 6384{,}4\,\text{cm}^3\] \[V_{\text{Material}} = V_{\text{außen}} - V_{\text{innen}} \approx 6384{,}4 - 5747{,}0 = 637{,}4\,\text{cm}^3\]
b) Außenradius \(R = 14{,}5\,\text{cm}\): \[V_{\text{außen}} = \frac{2}{3}\pi \cdot 14{,}5^3 = \frac{2}{3}\pi \cdot 3048{,}625 \approx 6384{,}4\,\text{cm}^3\] \[V_{\text{Material}} = V_{\text{außen}} - V_{\text{innen}} \approx 6384{,}4 - 5747{,}0 = 637{,}4\,\text{cm}^3\]
© 2026 Pavel Gitin · KI-assistiert · CC BY-NC-SA 4.0