Schon vor über 4000 Jahren mussten Baumeister und Landvermesser rechte Winkel abstecken – für Felder, Kanäle, Tempel und Pyramiden. Ein Geodreieck hatten sie nicht.
Erzählt wird von einem einfachen Trick: Man nimmt ein Seil mit 12 Knoten in gleichen Abständen, legt es zu einer geschlossenen Schlinge und spannt es mit drei Pflöcken zu einem Dreieck.
Probiere alle Lagen aus: Wie viele verschiedene Dreiecke lassen sich mit dem Seil spannen – und bei welchem entsteht ein rechter Winkel?
Mit 12 Knotenabständen gibt es nur drei verschiedene Dreiecke: 4, 4, 4 (gleichseitig), 2, 5, 5 (gleichschenklig) und 3, 4, 5. Nur das Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 hat einen rechten Winkel – er liegt der längsten Seite gegenüber. Warum gerade diese Zahlen? Das klärt der Satz, um den es in diesem Modul geht.
Pythagoras von Samos (um 570 – um 510 v. Chr.) gründete in Kroton in Süditalien eine Gemeinschaft, die Pythagoreer. Ihr Leitgedanke: Alles ist Zahl. Sie entdeckten, dass harmonische Töne einfachen Zahlenverhältnissen von Saitenlängen entsprechen (Oktave 1 : 2, Quinte 2 : 3), untersuchten gerade und ungerade Zahlen und stießen auf Strecken, deren Verhältnis sich durch keinen Bruch ausdrücken lässt – den Anfang der irrationalen Zahlen.
Vor allem aber machten sie die Mathematik zu einer Wissenschaft, in der man Aussagen beweist, statt sie nur auszuprobieren.
Griechische Schriftsteller berichten von ägyptischen Harpedonapten, den „Seilspannern“, die nach jeder Nilüberschwemmung die Feldgrenzen neu vermaßen. Dass sie dabei ein Seil mit 12 Knoten für den rechten Winkel benutzten, ist allerdings nicht belegt – die Geschichte wird gern erzählt, eine ägyptische Quelle dafür gibt es nicht. Sicher ist: Der Trick funktioniert, wie das Seil oben zeigt.
Die Keilschrifttafel Plimpton 322 (heute in der Columbia University, New York) ist rund 3800 Jahre alt. Sie enthält 15 Zeilen mit Zahlenpaaren, die jeweils eine kurze Seite und die Diagonale eines Rechtecks angeben. In der ersten Zeile stehen 119 und 169 – die fehlende Seite ist 120, und tatsächlich gilt
\(119^2 + 120^2 = 14161 + 14400 = 28561 = 169^2.\)
Die Babylonier kannten den Zusammenhang also mehr als tausend Jahre vor Pythagoras – einen Beweis haben sie uns aber nicht hinterlassen.
Die Sulbasutras („Schnur-Regeln“) sind Anleitungen für den Bau von Feueraltären mit genau vorgeschriebenen Formen und Flächen. Im Sulbasutra des Baudhayana (etwa 800–500 v. Chr.) steht sinngemäß: Die Diagonale eines Rechtecks erzeugt zusammen eine so große Fläche wie Länge und Breite einzeln. Genannt werden auch Zahlen wie 3, 4, 5 und 5, 12, 13.
In China heißt der Satz Gougu-Satz: gou ist die kürzere, gu die längere Kathete. Er steht im Zhoubi Suanjing, einem Buch über Astronomie und Rechnen, dessen Endfassung auf etwa 100 v. Chr. datiert wird; Teile sind vermutlich älter. Spätere Kommentatoren begründeten den Satz mit einer Figur aus vier gleichen Dreiecken in einem Quadrat – sehr ähnlich dem Ergänzungsbeweis in diesem Modul.
Der Zusammenhang war in mehreren Kulturen lange vor Pythagoras bekannt – als Rechenregel, die man an Beispielen ausprobiert hatte. Der Überlieferung nach waren Pythagoras oder seine Schüler die Ersten, die ihn für jedes rechtwinklige Dreieck bewiesen. Die Legende erzählt, Pythagoras habe aus Freude darüber hundert Ochsen geopfert.
Eigene Schriften von Pythagoras sind nicht erhalten. Der älteste Beweis, den wir heute noch lesen können, steht in Euklids Elementen (Buch I, Satz 47) – genau dieser Beweis ist im Tab Euklid-Beweis zu sehen.
Über jeder Seite des Dreiecks steht ein Quadrat. Verschiebe den Punkt C und vergleiche die Flächeninhalte: Wann ist die Summe der beiden kleinen Quadrate genauso groß wie das Quadrat über der Seite \(c\)?
Ist der Winkel bei \(C\) spitz (kleiner als 90°), dann ist \(a^2 + b^2 > c^2\).
Ist er stumpf (größer als 90°), dann ist \(a^2 + b^2 < c^2\).
Nur bei einem rechten Winkel gilt \(a^2 + b^2 = c^2\).
In einem rechtwinkligen Dreieck heißen die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, Katheten. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse. Sie ist immer die längste Seite des Dreiecks.
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse.
Für ein Dreieck \(ABC\) mit dem rechten Winkel bei \(C\) heißt das:
$$a^2 + b^2 = c^2$$Die Gleichung \(a^2 + b^2 = c^2\) gilt nur, wenn der rechte Winkel bei \(C\) liegt. Liegt er bei \(A\), dann ist \(a\) die Hypotenuse und es gilt \(b^2 + c^2 = a^2\).
Deshalb immer zuerst fragen: Wo ist der rechte Winkel? Die Seite gegenüber ist die Hypotenuse – sie steht allein auf einer Seite der Gleichung.
In ein Quadrat mit der Seitenlänge \(a + b\) werden vier gleiche rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten \(a\) und \(b\) und der Hypotenuse \(c\) gelegt. Dann werden sie umgelegt – das große Quadrat bleibt dasselbe, ebenso die vier Dreiecke. Was bleibt frei?
Man berechnet den Flächeninhalt des großen Quadrats auf zwei Arten.
Erstens als Quadrat mit der Seite \(a+b\): \(\;A = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
Zweitens als inneres Quadrat plus vier Dreiecke: \(\;A = c^2 + 4\cdot\tfrac{1}{2}ab = c^2 + 2ab\)
Beide Ergebnisse beschreiben dieselbe Fläche, also
\(a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab\) \(\quad\big|\; -2ab\)
\(a^2 + b^2 = c^2\)
Dieser Beweis steht in Euklids Elementen (Buch I, Satz 47, um 300 v. Chr.). Jedes Kathetenquadrat wird in Schritten so verformt, dass sich sein Flächeninhalt nie ändert – bis es genau in das Hypotenusenquadrat passt. Der Punkt \(D\) ist der Fußpunkt der Höhe von \(C\) auf \(AB\).
Scheren: Ein Parallelogramm, dessen Grundseite fest bleibt und dessen gegenüberliegende Seite auf einer Parallelen verschoben wird, behält Grundseite und Höhe – also auch den Flächeninhalt \(A = g\cdot h\).
Verschieben: Beim Verschieben ändert sich an einer Figur gar nichts.
Der Satz des Pythagoras sagt: Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, dann gilt \(a^2+b^2=c^2\). Die Seilspanner haben es andersherum benutzt: Sie wussten, dass \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\) ist, und schlossen daraus auf einen rechten Winkel. Ist dieser Schluss erlaubt?
Wenn in einem Dreieck \(ABC\) die Gleichung \(a^2 + b^2 = c^2\) gilt, dann hat das Dreieck bei \(C\) einen rechten Winkel.
Gegeben ist ein Dreieck \(ABC\) mit \(a^2 + b^2 = c^2\). Über seinen Winkel \(\gamma\) wissen wir noch nichts.
Konstruktion: Wir zeichnen ein zweites Dreieck \(A'B'C'\) mit einem rechten Winkel bei \(C'\) und den Katheten \(a\) und \(b\).
Schluss: Das zweite Dreieck ist rechtwinklig, also gilt dort nach dem Satz des Pythagoras \(c'^2 = a^2 + b^2\). Nach Voraussetzung ist auch \(c^2 = a^2 + b^2\). Also ist \(c'^2 = c^2\) und damit \(c' = c\).
Beide Dreiecke stimmen in allen drei Seiten überein. Nach dem Kongruenzsatz SSS sind sie kongruent – auch in ihren Winkeln. Also ist \(\gamma = \gamma' = 90^\circ\).
Ein indirekter Beweis nimmt das Gegenteil der Behauptung an und zeigt, dass diese Annahme zu einem Widerspruch führt. Dafür brauchen wir zuerst, was wir im Tab Entdecken nur beobachtet haben: wie \(c^2\) bei spitzem und stumpfem Winkel ausfällt.
Wir fällen die Höhe \(h\) von \(A\) auf die Gerade \(CB\). Ihr Fußpunkt heißt \(D\), die Strecke \(\overline{CD}\) hat die Länge \(x > 0\).
Fall γ < 90°: \(D\) liegt auf dem Strahl von \(C\) durch \(B\). Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck \(ADC\) liefert \(b^2 = x^2 + h^2\). Im rechtwinkligen Dreieck \(ADB\) ist \(\overline{DB} = a - x\) (liegt \(D\) hinter \(B\), ist es \(x - a\) – das Quadrat ist dasselbe):
\(c^2 = (a-x)^2 + h^2\) \(\;= a^2 - 2ax + x^2 + h^2\) \(\;= a^2 + b^2 - 2ax\)
Wegen \(x > 0\) ist \(2ax > 0\), also \(c^2 < a^2 + b^2\).
Fall γ > 90°: \(D\) liegt auf der Verlängerung von \(BC\) über \(C\) hinaus, also \(\overline{DB} = a + x\):
\(c^2 = (a+x)^2 + h^2\) \(\;= a^2 + 2ax + x^2 + h^2\) \(\;= a^2 + b^2 + 2ax\)
Also \(c^2 > a^2 + b^2\).
Voraussetzung: \(a^2 + b^2 = c^2\).
Annahme (Gegenteil der Behauptung): \(\gamma \neq 90^\circ\).
Folgerung: Ist \(\gamma < 90^\circ\), dann ist nach dem Hilfssatz \(c^2 < a^2 + b^2\). Ist \(\gamma > 90^\circ\), dann ist \(c^2 > a^2 + b^2\). In beiden Fällen ist \(c^2 \neq a^2 + b^2\).
Widerspruch zur Voraussetzung. Die Annahme war falsch, also ist \(\gamma = 90^\circ\). \(\;\square\)
Ein Dreieck \(ABC\) hat genau dann bei \(C\) einen rechten Winkel, wenn \(a^2 + b^2 = c^2\) gilt.
„Genau dann, wenn“ fasst beide Richtungen zusammen: Der Satz liefert „wenn rechtwinklig, dann Gleichung“, die Umkehrung „wenn Gleichung, dann rechtwinklig“.
Nimm die längste Seite als \(c\) und vergleiche \(a^2 + b^2\) mit \(c^2\):
\(a^2 + b^2 = c^2\): rechtwinklig. \(\quad a^2 + b^2 > c^2\): spitzwinklig. \(\quad a^2 + b^2 < c^2\): stumpfwinklig.
Der größte Winkel liegt der längsten Seite gegenüber – ist er spitz, sind es alle drei.
Das Seil-Dreieck hat ganzzahlige Seiten: \(3^2 + 4^2 = 5^2\). Solche Zahlen sind selten – meistens ergibt der Satz des Pythagoras eine Wurzel, die nicht aufgeht.
Drei natürliche Zahlen \(a\), \(b\), \(c\) mit \(a^2 + b^2 = c^2\) heißen pythagoreisches Zahlentripel. Haben die drei Zahlen keinen gemeinsamen Teiler außer 1, heißt das Tripel primitiv.
Aus einem Tripel entstehen unendlich viele weitere: Verdoppelt man alle Seiten, bleibt das Dreieck rechtwinklig, es wird nur größer.
\(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\)
Allgemein: Ist \((a, b, c)\) ein Tripel, dann auch \((ka, kb, kc)\), denn \((ka)^2 + (kb)^2 = k^2(a^2+b^2) = k^2c^2 = (kc)^2\).
| \(a\) | \(b\) | \(c\) |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
| 12 | 35 | 37 |
| 9 | 40 | 41 |
Wähle zwei natürliche Zahlen \(m > n\). Dann ist
$$a = m^2 - n^2,\qquad b = 2mn,\qquad c = m^2 + n^2$$immer ein pythagoreisches Zahlentripel.
Mit den binomischen Formeln:
\(a^2 + b^2 = (m^2-n^2)^2 + (2mn)^2\)
\(= m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2\)
\(= m^4 + 2m^2n^2 + n^4\)
\(= (m^2+n^2)^2 = c^2\)
Das Tripel ist genau dann primitiv, wenn \(m\) und \(n\) teilerfremd sind und eine der beiden Zahlen gerade, die andere ungerade ist. Man kann zeigen, dass auf diese Weise jedes primitive Tripel entsteht (eventuell mit vertauschten \(a\) und \(b\)); alle übrigen sind Vielfache davon.
\(49 + 64 = 113 \neq 121 = 11^2\): nein.
\(225 + 1296 = 1521 = 39^2\): ja – das Dreifache von \((5;\,12;\,13)\), also nicht primitiv.
Rampenlänge: \(l^2 = 5{,}00^2 + 0{,}30^2 = 25 + 0{,}09 = 25{,}09\), also \(l \approx 5{,}01\,\text{m}\). Die schräge Fläche ist kaum länger als die waagerechte Strecke – bei so flachen Rampen ist der Unterschied winzig.