Der Punkt \(C\) liegt auf dem Thaleskreis über \(\overline{AB}\) – das Dreieck \(ABC\) hat bei \(C\) also immer einen rechten Winkel. Die Höhe \(h\) von \(C\) trifft die Hypotenuse im Punkt \(D\) und teilt sie in zwei Abschnitte \(q\) und \(p\).
Verschiebe \(C\) und vergleiche die Zahlen rechts: Welche Werte stimmen immer überein, egal wo \(C\) liegt?
Wo auch immer \(C\) auf dem Thaleskreis liegt:
\(a^2\) ist genauso groß wie \(c\cdot p\), und \(b^2\) ist genauso groß wie \(c\cdot q\).
\(h^2\) ist genauso groß wie \(p\cdot q\).
Warum das in jedem rechtwinkligen Dreieck so ist, zeigen die Tabs Kathetensatz und Höhensatz.
Im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) mit dem rechten Winkel bei \(C\) fällt man das Lot von \(C\) auf die Hypotenuse \(\overline{AB}\). Diese Strecke ist die Höhe \(h\), ihr Fußpunkt heißt \(D\).
Der Punkt \(D\) teilt die Hypotenuse in zwei Hypotenusenabschnitte:
\(q = \overline{AD}\) und \(p = \overline{DB}\), zusammen \(c = p + q\).
Jeder Abschnitt gehört zu der Kathete, mit der er eine Ecke gemeinsam hat – er liegt an ihr an.
\(p\) und \(a\) treffen sich in \(B\). \(\quad q\) und \(b\) treffen sich in \(A\).
Im Tab Entdecken war \(a^2\) immer genauso groß wie \(c\cdot p\). Geometrisch heißt das: Das Quadrat über der Kathete \(a\) hat denselben Flächeninhalt wie ein Rechteck mit den Seiten \(c\) und \(p\).
Wenn ein Dreieck \(ABC\) bei \(C\) rechtwinklig ist, dann ist das Quadrat über jeder Kathete flächengleich zu dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt:
$$a^2 = c\cdot p \qquad\qquad b^2 = c\cdot q$$Die Hypotenuse ist \(12{,}5\,\text{cm}\) lang, der Abschnitt an \(b\) misst \(q = 2\,\text{cm}\).
\(b^2 = c\cdot q = 12{,}5\cdot 2 = 25\), also \(b = 5\,\text{cm}\).
Der andere Abschnitt ist \(p = 12{,}5 - 2 = 10{,}5\,\text{cm}\), also \(a^2 = 12{,}5\cdot 10{,}5 = 131{,}25\) und \(a \approx 11{,}46\,\text{cm}\).
Im Euklid-Beweis des Satzes des Pythagoras wird jedes Kathetenquadrat flächengleich in ein Rechteck im Hypotenusenquadrat verwandelt. Genau das ist der Kathetensatz – hier mit den Abschnitten \(p\) und \(q\) beschriftet.
Scheren: Ein Parallelogramm, dessen Grundseite fest bleibt und dessen gegenüberliegende Seite auf einer Parallelen verschoben wird, behält Grundseite und Höhe – also auch den Flächeninhalt \(A = g\cdot h\).
Verschieben: Beim Verschieben ändert sich an einer Figur gar nichts.
Die Dreiecke \(ABC\) und \(DBC\) sind beide rechtwinklig – das eine bei \(C\), das andere bei \(D\) – und haben den Winkel \(\beta\) bei \(B\) gemeinsam. Sie stimmen also in zwei Winkeln überein und sind ähnlich.
In ähnlichen Dreiecken haben einander entsprechende Seiten dasselbe Verhältnis. Die Hypotenuse ist im großen Dreieck \(c\), im kleinen \(a\). Die Kathete am Winkel \(\beta\) ist im großen Dreieck \(a\), im kleinen \(p\). Also
\(\dfrac{a}{c} = \dfrac{p}{a}\quad\big|\;\cdot ac\)
\(a^2 = c\cdot p\)
Mit dem Dreieck \(ADC\) und dem Winkel \(\alpha\) folgt genauso \(b^2 = c\cdot q\). \(\;\square\)
Im Tab Entdecken war \(h^2\) immer genauso groß wie \(p\cdot q\): Das Quadrat über der Höhe hat denselben Flächeninhalt wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten.
Wenn ein Dreieck \(ABC\) bei \(C\) rechtwinklig ist, dann ist das Quadrat über der Höhe \(h\) flächengleich zu dem Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten:
$$h^2 = p\cdot q$$Die Höhe teilt die Hypotenuse in \(p = 9\,\text{cm}\) und \(q = 4\,\text{cm}\).
\(h^2 = p\cdot q = 9\cdot 4 = 36\), also \(h = 6\,\text{cm}\).
Das Teildreieck \(DBC\) ist bei \(D\) rechtwinklig, seine Katheten sind \(h\) und \(p\), seine Hypotenuse ist \(a\). Nach dem Satz des Pythagoras gilt
\(h^2 + p^2 = a^2,\quad\) also \(\;h^2 = a^2 - p^2.\)
Nach dem Kathetensatz ist \(a^2 = c\cdot p\). Eingesetzt:
\(h^2 = c\cdot p - p^2\) \(\;= p\cdot(c - p)\) \(\;= p\cdot q,\)
denn \(c - p = q\). \(\;\square\)
Das Quadrat über der Höhe wird durch drei Scherungen in ein Rechteck verwandelt. Bei jeder Scherung bleiben Grundseite und Höhe gleich – der Flächeninhalt ändert sich nie.
Die Dreiecke \(ADC\) und \(CDB\) sind beide bei \(D\) rechtwinklig. Im Dreieck \(ADC\) liegt bei \(A\) der Winkel \(\alpha\). Im Dreieck \(CDB\) ist der Winkel bei \(C\) gleich \(90^\circ - \beta\) – und das ist ebenfalls \(\alpha\), denn im Dreieck \(ABC\) gilt \(\alpha + \beta = 90^\circ\).
Zwei gleiche Winkel – die Dreiecke sind ähnlich. Gegenüber von \(\alpha\) liegt im Dreieck \(ADC\) die Kathete \(h\), im Dreieck \(CDB\) die Kathete \(p\). Am Winkel \(\alpha\) liegt im Dreieck \(ADC\) die Kathete \(q\), im Dreieck \(CDB\) die Kathete \(h\). Also
\(\dfrac{h}{q} = \dfrac{p}{h}\quad\big|\;\cdot qh\)
\(h^2 = p\cdot q. \;\square\)
Der Kathetensatz gilt für beide Katheten. Addiert man die beiden Gleichungen, entsteht ein alter Bekannter.
\(a^2 + b^2 = c\cdot p + c\cdot q\) \(\;= c\cdot(p + q)\) \(\;= c\cdot c\) \(\;= c^2\)
denn \(p + q = c\). Das ist der Satz des Pythagoras – und die Euklid-Animation im Tab Kathetensatz ist damit zugleich ein Beweis für ihn.
Aus dem Kathetensatz folgt durch Addieren der Satz des Pythagoras.
Aus dem Kathetensatz und dem Satz des Pythagoras im Teildreieck \(DBC\) folgt der Höhensatz (Tab Höhensatz, Beweis 1).
Die drei Sätze bilden zusammen die Satzgruppe des Pythagoras.
Für jedes Dreieck \(ABC\) mit dem rechten Winkel bei \(C\) gilt:
Tippe auf eine Zeile – das Bild zeigt die flächengleichen Figuren.
| Satz | Gleichung | Flächengleich sind … |
|---|---|---|
| Satz des Pythagoras | \(a^2 + b^2 = c^2\) | beide Kathetenquadrate zusammen und das Hypotenusenquadrat |
| Kathetensatz | \(a^2 = c\cdot p\) \(b^2 = c\cdot q\) | ein Kathetenquadrat und das Rechteck aus Hypotenuse und anliegendem Abschnitt |
| Höhensatz | \(h^2 = p\cdot q\) | das Höhenquadrat und das Rechteck aus beiden Abschnitten |
Sind zwei Seiten des Dreiecks bekannt: Satz des Pythagoras.
Geht es um eine Kathete, die Hypotenuse und einen Abschnitt: Kathetensatz.
Geht es um die Höhe und die beiden Abschnitte: Höhensatz.
Oft braucht man mehrere Sätze nacheinander – zuerst den, für den schon zwei Größen bekannt sind.
Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras kennen wir schon: Aus \(a^2 + b^2 = c^2\) folgt ein rechter Winkel bei \(C\). Gilt das auch für den Höhensatz und den Kathetensatz? Ja – mit einer Bedingung: Der Höhenfußpunkt \(D\) muss zwischen \(A\) und \(B\) liegen.
Wenn in einem Dreieck \(ABC\) der Fußpunkt \(D\) der Höhe von \(C\) zwischen \(A\) und \(B\) liegt und \(h^2 = p\cdot q\) gilt, dann hat das Dreieck bei \(C\) einen rechten Winkel.
Weil \(D\) zwischen \(A\) und \(B\) liegt, ist \(c = p + q\). Die Teildreiecke \(ADC\) und \(DBC\) sind bei \(D\) rechtwinklig, denn \(h\) steht senkrecht auf \(\overline{AB}\). Nach dem Satz des Pythagoras gilt dort
\(a^2 = h^2 + p^2\quad\) und \(\quad b^2 = h^2 + q^2.\)
Addieren und \(h^2 = p\cdot q\) einsetzen:
\(a^2 + b^2 = 2h^2 + p^2 + q^2\) \(\;= p^2 + 2pq + q^2\) \(\;= (p+q)^2\) \(\;= c^2\)
Nach der Umkehrung des Satzes des Pythagoras hat das Dreieck bei \(C\) einen rechten Winkel. \(\;\square\)
Wenn in einem Dreieck \(ABC\) der Fußpunkt \(D\) der Höhe von \(C\) zwischen \(A\) und \(B\) liegt und \(a^2 = c\cdot p\) gilt, dann hat das Dreieck bei \(C\) einen rechten Winkel. Dasselbe gilt mit \(b^2 = c\cdot q\).
Das Teildreieck \(DBC\) ist bei \(D\) rechtwinklig, also \(h^2 = a^2 - p^2\). Mit \(a^2 = c\cdot p\) und \(c - p = q\):
\(h^2 = c\cdot p - p^2\) \(\;= p\cdot(c - p)\) \(\;= p\cdot q\)
Damit gilt der Höhensatz, und nach seiner Umkehrung hat das Dreieck bei \(C\) einen rechten Winkel. \(\;\square\)
Liegt der Höhenfußpunkt \(D\) zwischen \(A\) und \(B\), dann gilt:
Das Dreieck \(ABC\) hat genau dann bei \(C\) einen rechten Winkel, wenn \(h^2 = p\cdot q\) gilt.
Ebenso genau dann, wenn \(a^2 = c\cdot p\) gilt.
Im Beweis wurde \(c = p + q\) benutzt. Das stimmt nur, wenn \(D\) zwischen \(A\) und \(B\) liegt.
Ein Gegenbeispiel: \(D\) liegt außerhalb, \(A\) liegt zwischen \(D\) und \(B\), mit \(q = \overline{AD} = 1\), \(p = \overline{DB} = 4\) und der Höhe \(h = 2\). Dann ist \(h^2 = 4 = p\cdot q\) – die Gleichung stimmt. Aber \(c = p - q = 3\), und
\(a^2 + b^2 = (h^2 + p^2) + (h^2 + q^2) = 20 + 5 = 25 \neq 9 = c^2.\)
Das Dreieck hat bei \(C\) keinen rechten Winkel. Die Gleichung allein reicht also nicht.
Wie im Beweis: \(a^2 + b^2 = 2h^2 + p^2 + q^2 = 18 + 4 + 25 = 47\) und \(c^2 = 7^2 = 49\). Es ist \(a^2 + b^2 < c^2\), also ist der Winkel bei \(C\) stumpf.
Zu einem Rechteck soll ein Quadrat mit demselben Flächeninhalt gezeichnet werden – nur mit Zirkel und Lineal, ohne zu rechnen. Der Höhensatz liefert die Konstruktion.
Mit demselben Trick lässt sich zu jeder natürlichen Zahl \(n\) eine Strecke der Länge \(\sqrt{n}\) konstruieren: Man nimmt ein „Rechteck“ mit den Seiten \(1\) und \(n\).
In allen Aufgaben ist das Dreieck \(ABC\) bei \(C\) rechtwinklig, \(p\) liegt an \(a\) und \(q\) an \(b\).
Dann \(q = c - p = 9 - 4 = 5\,\text{cm}\).
Höhensatz: \(h^2 = p\cdot q = 4\cdot 5 = 20\), also \(h = \sqrt{20}\,\text{cm} \approx 4{,}47\,\text{cm}\).
\(c = p + q = 4 + 9 = 13\,\text{cm}\).
a) Wie hoch liegt der First über dem Dachboden?
b) Wie lang sind die beiden Dachflächen im Querschnitt?
a) Höhensatz: \(h^2 = 2{,}7\cdot 7{,}5 = 20{,}25\), also \(h = 4{,}5\,\text{m}\).
b) Kathetensatz: kurze Dachfläche \(10{,}2\cdot 2{,}7 = 27{,}54\), also \(\approx 5{,}25\,\text{m}\); lange Dachfläche \(10{,}2\cdot 7{,}5 = 76{,}5\), also \(\approx 8{,}75\,\text{m}\).
Probe mit Pythagoras: \(27{,}54 + 76{,}5 = 104{,}04 = 10{,}2^2\).
a) Wie lang wird eine Seite des Quadrats?
b) Konstruiere die Quadratseite im Maßstab 1 : 100.
c) Das alte Beet hatte einen Zaun. Reicht der Zaun für das neue Beet?
b) \(8\,\text{cm}\) und \(4{,}5\,\text{cm}\) hintereinander auf eine Gerade legen (\(12{,}5\,\text{cm}\)), Thaleskreis darüber, Senkrechte im Teilungspunkt: Sie ist bis zum Kreis \(6\,\text{cm}\) lang.
c) Alter Zaun: \(2\cdot(8 + 4{,}5) = 25\,\text{m}\). Neuer Zaun: \(4\cdot 6 = 24\,\text{m}\). Der Zaun reicht, es bleibt 1 m übrig.
a) Wie hoch ist der Mast?
b) Wie lang sind die beiden Seile?
a) \(h^2 = 3{,}2\cdot 12{,}8 = 40{,}96\), also \(h = 6{,}4\,\text{m}\).
b) Kurzes Seil: \(16\cdot 3{,}2 = 51{,}2\), also \(\approx 7{,}16\,\text{m}\). Langes Seil: \(16\cdot 12{,}8 = 204{,}8\), also \(\approx 14{,}31\,\text{m}\).
Probe: \(51{,}2 + 204{,}8 = 256 = 16^2\).
Wie weit ist sie vom Zaun entfernt, und wie weit von den beiden Grenzsteinen?
Höhensatz: \(h^2 = 12\cdot 27 = 324\), also \(h = 18\,\text{m}\).
Kathetensatz: bis \(A\): \(39\cdot 12 = 468\), also \(\approx 21{,}63\,\text{m}\); bis \(B\): \(39\cdot 27 = 1053\), also \(\approx 32{,}45\,\text{m}\).