Aufgabe des Tages – Pizza-Radius

Ein Halbkreis steht auf der Kathete CB eines rechtwinkligen Dreiecks und berührt die Hypotenuse CA von innen. Gegeben: CB = 12 dm, AB = 5 dm. Bestimme den Radius $r$ des Halbkreises in Dezimetern.

Lösung 1 — Kongruenz & Ähnlichkeit

Schritt 1 — Hypotenuse

Satz des Pythagoras: $$CA = \sqrt{CB^2 + AB^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ dm}$$

Schritt 2 — Kongruenz $\triangle MAB \cong \triangle MAL$

$M$ = Mittelpunkt des Halbkreises auf $CB$, $L$ = Berührpunkt auf $CA$.

$MA$ gemeinsam (grün)
$MB = ML = r$ (beide Radien) (weiß)
$\angle MBA = \angle MLA = 90°$

$\Rightarrow\; \triangle MAB \cong \triangle MAL$ (SWS) $\;\Longrightarrow\; AL = AB = 5 \text{ dm}$

MA (gemeinsame Seite) ML = r (Radius, Lot auf CA)

Schritt 3 — Reststrecke $LC$

$$LC = CA - AL = 13 - 5 = 8 \text{ dm}$$

Schritt 4 — Ähnlichkeit $\triangle MLC \sim \triangle ABC$

(AA: rechter Winkel bei $L$ bzw. $B$, gemeinsamer Winkel bei $C$) $$\frac{ML}{AB} = \frac{LC}{CB} \quad\Longrightarrow\quad \frac{r}{5} = \frac{8}{12}$$ $$12r = 40 \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$$

Ergebnis: $r = \dfrac{10}{3} \approx 3{,}33 \text{ dm}$

Lösung 2 — Symmetrie & Inkreis

Idee

Spiegelt man das Dreieck an der Kathete $CB$, entsteht ein gleichschenkliges Dreieck $CAA'$ mit den Seiten $13, 13, 10$ und der Höhe $12$. Der Halbkreis wird zum Inkreis dieses Dreiecks.

Skizze

Berechnung

Halbumfang: $$s = \frac{13 + 13 + 10}{2} = 18 \text{ dm}$$ Fläche: $$F = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60 \text{ dm}^2$$ Inkreisradius: $$r = \frac{F}{s} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} \text{ dm}$$

Ergebnis: $r = \dfrac{10}{3} \approx 3{,}33 \text{ dm}$