Transformationen von Funktionsgraphen II
Klasse 10Wo es anfängt
Fortsetzung von Teil I
Dieses Modul setzt Transformationen von Funktionsgraphen I aus Klasse 9 fort. Dort werden Verschieben, Strecken in y-Richtung und Spiegeln an der x-Achse an Parabel, Hyperbel und Wurzelfunktion eingeführt. Wer das noch nicht kennt oder wiederholen möchte, fängt am besten dort an:
Die Sinusfunktion
Steckbrief
In Klasse 9 haben wir Graphen verschoben und gestreckt, vor allem an Parabeln. Jetzt nehmen wir eine Funktion, an der man jede Transformation besonders deutlich sieht: die Sinusfunktion $f(x)=\sin x$ (mit $x$ im Bogenmaß).
$f(x)=\sin x$: Ankerpunkt $(0\mid 0)$, Kontrollpunkt = Hochpunkt $\left(\tfrac{\pi}{2}\mid 1\right)$
| Eigenschaft | $\sin x$ |
|---|---|
| Periode | $2\pi$: Nach $2\pi$ wiederholt sich der Graph. |
| Wertebereich | $-1\le y\le 1$, die Amplitude ist $1$ |
| Mittellinie | die x-Achse, $y=0$ |
| Nullstellen | $\dots,\,-\pi,\;0,\;\pi,\;2\pi,\,\dots$ |
Ankerpunkt und Kontrollpunkt
Dieselbe Idee wie in Klasse 9
Als Ankerpunkt nehmen wir den Ursprung $(0\mid 0)$. Dort beginnt eine Periode: Der Graph schneidet die Mittellinie und steigt.
Als Kontrollpunkt nehmen wir den Hochpunkt $\left(\tfrac{\pi}{2}\mid 1\right)$. An ihm sieht man, wie hoch die Welle ist und wie lang sie ist.
Die drei bekannten Transformationen
$2\sin x$: Streckung in y-Richtung.
Die Amplitude ist $2$.
Die Amplitude ist $2$.
$\sin x+1$: Verschiebung nach oben.
Die Mittellinie ist $y=1$.
Die Mittellinie ist $y=1$.
$\sin\!\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right)$: Verschiebung nach rechts.
Die Welle startet bei $\tfrac{\pi}{2}$.
Die Welle startet bei $\tfrac{\pi}{2}$.
Zusammengefasst
$$g(x)=a\cdot\sin(x-d)+e$$
$a$ ist die Amplitude (bei $a<0$ zusätzlich an der Mittellinie gespiegelt), $d$ verschiebt in x-Richtung, $e$ verschiebt in y-Richtung und legt die Mittellinie $y=e$ fest.
Ankerpunkt: $(0\mid 0)\;\to\;(d\mid e)$ Kontrollpunkt: $\left(\tfrac{\pi}{2}\mid 1\right)\;\to\;\left(d+\tfrac{\pi}{2}\mid e+a\right)$
Interaktiv
Der grüne Pfeil streckt am Ursprung (orange Zwischenkurve), die roten Pfeile verschieben danach, genau wie in Klasse 9. Die Verschiebung d läuft hier in Schritten von $\tfrac{\pi}{4}$.
Die offene Frage aus Klasse 9
Und wenn die Zahl direkt beim x steht?
Bei $x^2$, $x^3$, $\tfrac{1}{x}$ und $\sqrt{x}$ ergab $f(2x)$ nur eine Streckung in y-Richtung, zum Beispiel $(2x)^2=4x^2$. Beim Sinus geht das nicht: $\sin(2x)$ hat Nullstellen bei $\tfrac{\pi}{2}$, $\pi$, $\tfrac{3\pi}{2}$, … – also doppelt so viele wie $\sin x$. Eine Streckung in y-Richtung lässt Nullstellen aber an ihrem Platz. $\sin(2x)$ ist also etwas wirklich Neues. Darum geht es im nächsten Tab.
Einstieg
Was passiert, wenn x mit einer Zahl multipliziert wird?
| $x$ | $0$ | $\tfrac{\pi}{4}$ | $\tfrac{\pi}{2}$ | $\tfrac{3\pi}{4}$ | $\pi$ | $\tfrac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $0{,}71$ | $1$ | $0{,}71$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $\sin(2x)$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $0$ | $0$ |
Jeder Wert von $\sin x$ taucht bei $\sin(2x)$ schon an der halben Stelle auf: der Hochpunkt (grün) bei $\tfrac{\pi}{4}$ statt bei $\tfrac{\pi}{2}$, die Nullstelle $\pi$ (rot) schon bei $\tfrac{\pi}{2}$, das Ende der ersten Periode (blau) schon bei $\pi$ statt bei $2\pi$.
Der Grund: Damit in der Klammer $2x$ dieselbe Zahl steht wie vorher bei $x$, reicht die Hälfte von $x$. Der Graph wird also in x-Richtung zur y-Achse hin zusammengedrückt, mit dem Faktor $\tfrac{1}{2}$.
grau: $\sin x$ blau: $\sin(2x)$
Periode $\pi$, doppelt so viele Wellen
Periode $\pi$, doppelt so viele Wellen
grau: $\sin x$ blau: $\sin\!\left(\tfrac{1}{2}x\right)$
Periode $4\pi$, halb so viele Wellen
Periode $4\pi$, halb so viele Wellen
Regel
Streckung in x-Richtung
Der Graph von $g(x)=f(b\cdot x)$ mit $b>0$ entsteht aus dem Graphen von $f$ durch eine Streckung in x-Richtung mit dem Faktor $\tfrac{1}{b}$:
- $b>1$: in x-Richtung gestaucht (zur y-Achse hin zusammengedrückt)
- $0
Jeder Punkt $(x\mid y)$ wandert nach $\left(\tfrac{x}{b}\mid y\right)$. Die y-Werte bleiben gleich, nur die Stellen ändern sich. Der Punkt auf der y-Achse bleibt fest.
Achtung, Kehrwert
Wie bei der Verschiebung $f(x-d)$ wirkt die Zahl beim $x$ „verkehrt herum“: Der Faktor $2$ macht den Graphen nicht doppelt so breit, sondern halb so breit.
Beim Sinus: die Periode
Die Periode $2\pi$ wird mit $\tfrac{1}{b}$ multipliziert:
$$p=\frac{2\pi}{b}$$
Der Hochpunkt wandert von $\left(\tfrac{\pi}{2}\mid 1\right)$ nach $\left(\tfrac{\pi}{2b}\mid 1\right)$. Amplitude und Mittellinie bleiben gleich.
Antwort auf die Frage aus Klasse 9
Warum sah man bei der Parabel nichts Neues?
Auch bei der Normalparabel wird $(2x)^2$ in x-Richtung mit $\tfrac{1}{2}$ gestaucht. Dass dasselbe herauskommt wie bei einer Streckung in y-Richtung mit $4$, ist ein Zufall der Parabel: Eine schmalere Parabel und eine steilere Parabel sind dasselbe. Die Rechnung $(2x)^2=4x^2$ zeigt es.
Beim Sinus gibt es diesen Zufall nicht: Eine Stauchung in y-Richtung macht die Welle flacher, eine Stauchung in x-Richtung macht sie kürzer. Das sieht man sofort, und deshalb ist der Sinus die beste Funktion, um $f(b\cdot x)$ kennenzulernen.
Interaktiv
Verändere b und vergleiche die drei Funktionen. Der grüne Pfeil zeigt, wohin der Kontrollpunkt wandert: immer waagerecht, denn der y-Wert bleibt gleich. Rechts unten siehst du, wie man dasselbe bei $x^2$ und $2^x$ auch anders schreiben kann. Negative Werte von b kommen im nächsten Tab.
Einstieg
Was passiert, wenn man x durch −x ersetzt?
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $2^x$ | $0{,}125$ | $0{,}25$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ |
| $2^{-x}$ | $8$ | $4$ | $2$ | $1$ | $0{,}5$ | $0{,}25$ | $0{,}125$ |
Die Zeile von $2^{-x}$ ist die Zeile von $2^x$, nur rückwärts gelesen: Jeder Wert, der bei $2^x$ an der Stelle $x$ steht, steht bei $2^{-x}$ an der Stelle $-x$. Der Graph wird an der y-Achse gespiegelt.
Regel
Spiegelung an der y-Achse
Der Graph von $g(x)=f(-x)$ entsteht aus dem Graphen von $f$ durch Spiegelung an der y-Achse. Jeder Punkt $(x\mid y)$ wandert nach $(-x\mid y)$.
Das ist der Fall $b=-1$ von $f(b\cdot x)$. Bei einem anderen negativen $b$ wird gespiegelt und mit dem Faktor $\tfrac{1}{|b|}$ in x-Richtung gestreckt.
| Spiegelung an der x-Achse | Spiegelung an der y-Achse | |
|---|---|---|
| Gleichung | $g(x)=-f(x)$ | $g(x)=f(-x)$ |
| Punkt | $(x\mid y)\to(x\mid -y)$ | $(x\mid y)\to(-x\mid y)$ |
| Das Minus steht … | vor dem Funktionswert | beim $x$ |
Vier Beispiele
grau: $2^x$ blau: $2^{-x}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$
Wachstum wird zu Zerfall.
Wachstum wird zu Zerfall.
grau: $\sqrt{x}$ blau: $\sqrt{-x}$
definiert für $x\le 0$
definiert für $x\le 0$
$(-x)^2=x^2$
Die Parabel bleibt, wie sie ist.
Die Parabel bleibt, wie sie ist.
grau: $\sin x$ blau: $\sin(-x)=-\sin x$
Spiegeln an der y-Achse wirkt wie an der x-Achse.
Spiegeln an der y-Achse wirkt wie an der x-Achse.
Symmetrie entscheidet
Ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse (wie bei $x^2$), dann gilt $f(-x)=f(x)$: Die Spiegelung ändert nichts.
Ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung (wie bei $x^3$ und $\sin x$), dann gilt $f(-x)=-f(x)$: Spiegeln an der y-Achse ergibt dasselbe wie Spiegeln an der x-Achse.
Nur bei Graphen ohne solche Symmetrie (wie $2^x$ oder $\sqrt{x}$) entsteht durch $f(-x)$ ein wirklich neuer Graph.
Interaktiv
Ziehe b von positiven zu negativen Werten. Beim Durchgang durch $0$ klappt der Graph auf die andere Seite der y-Achse. Bei $b=0$ steht in der Klammer immer $0$, der Graph ist dann eine waagerechte Gerade.
Einstieg
Eine typische Falle
Wie entsteht der Graph von $g(x)=\sin\!\left(2x-\tfrac{\pi}{2}\right)$ aus der Sinuskurve? Naheliegend wäre: mit $\tfrac{1}{2}$ in x-Richtung stauchen und um $\tfrac{\pi}{2}$ nach rechts verschieben. Das stimmt aber nicht.
Der Trick: Den Faktor beim $x$ ausklammern.
$$2x-\tfrac{\pi}{2}=2\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)$$
Also ist $g(x)=\sin\!\left(2\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\right)$. Erst stauchen, dann um $\tfrac{\pi}{4}$ nach rechts verschieben.
Start: $\sin x$
Anker $(0\mid 0)$, Hochpunkt $\left(\tfrac{\pi}{2}\mid 1\right)$
Anker $(0\mid 0)$, Hochpunkt $\left(\tfrac{\pi}{2}\mid 1\right)$
Stauchen mit $\tfrac{1}{2}$: $\sin(2x)$
Hochpunkt $\left(\tfrac{\pi}{4}\mid 1\right)$
Hochpunkt $\left(\tfrac{\pi}{4}\mid 1\right)$
Verschieben um $\tfrac{\pi}{4}$ nach rechts
Anker $\left(\tfrac{\pi}{4}\mid 0\right)$, Hochpunkt $\left(\tfrac{\pi}{2}\mid 1\right)$
Anker $\left(\tfrac{\pi}{4}\mid 0\right)$, Hochpunkt $\left(\tfrac{\pi}{2}\mid 1\right)$
blau: richtig, $\sin\!\left(2x-\tfrac{\pi}{2}\right)$ orange: falsch, $\sin(2x)$ um $\tfrac{\pi}{2}$ verschoben
Andere Reihenfolge, gleicher Graph
Erst verschieben, dann stauchen
Man kann auch zuerst um $\tfrac{\pi}{2}$ nach rechts verschieben: $\sin\!\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right)$. Stauchen heißt dann: überall $x$ durch $2x$ ersetzen.
$\sin\!\left(2x-\tfrac{\pi}{2}\right)$ ✓ Das ist derselbe Graph.
Beim Stauchen wird nämlich auch die Verschiebung mitgestaucht: Aus $\tfrac{\pi}{2}$ werden $\tfrac{\pi}{4}$. Beide Reihenfolgen funktionieren, aber die Zahlen sind verschieden. Wer die Zahlen direkt aus der Gleichung ablesen will, klammert aus und streckt zuerst.
Auch in y-Richtung zählt die Reihenfolge
Erst strecken, dann verschieben: $2\sin x+1$, Mittellinie $y=1$.
Erst verschieben, dann strecken: $2(\sin x+1)=2\sin x+2$, Mittellinie $y=2$. Die Verschiebung wurde mitgestreckt.
Regel
Die allgemeine Form
$$g(x)=a\cdot f\big(b\,(x-d)\big)+e$$
Aus dieser Form liest man alles direkt ab, wenn man in dieser Reihenfolge vorgeht:
- mit $\tfrac{1}{b}$ in x-Richtung strecken (bei $b<0$ zusätzlich an der y-Achse spiegeln),
- mit $a$ in y-Richtung strecken (bei $a<0$ zusätzlich an der x-Achse spiegeln),
- um $d$ in x-Richtung und um $e$ in y-Richtung verschieben.
Ankerpunkt: $(0\mid 0)\;\to\;(d\mid e)$ Hochpunkt: $\left(\tfrac{\pi}{2}\mid 1\right)\;\to\;\left(d+\tfrac{\pi}{2b}\mid e+a\right)$
| Parameter | Wirkung beim Sinus | ablesen am Graphen |
|---|---|---|
| $a$ | Amplitude $|a|$ | halber Abstand zwischen Hoch- und Tiefpunkt |
| $b$ | Periode $p=\tfrac{2\pi}{|b|}$ | Abstand zweier benachbarter Hochpunkte |
| $d$ | Verschiebung in x-Richtung | Stelle, an der die Welle die Mittellinie steigend schneidet |
| $e$ | Mittellinie $y=e$ | Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkt |
Interaktiv
Alle vier Regler zusammen. Die orange Zwischenkurve ist nur gestreckt (in x- und y-Richtung), noch nicht verschoben. Probiere: Stelle eine Welle mit Periode $\pi$, Amplitude $3$ und Mittellinie $y=-1$ ein und lies die Gleichung ab.
Ausblick: gedämpfte Schwingung
Wenn die Amplitude kleiner wird
Eine Schaukel, die niemand mehr anschubst, schwingt immer schwächer. Mathematisch heißt das: Der Streckfaktor $a$ ist keine feste Zahl mehr, sondern wird mit der Zeit kleiner, zum Beispiel exponentiell wie $3\cdot 0{,}8^x$.
$$f(x)=3\cdot 0{,}8^x\cdot\sin(2x)$$
Die Welle bleibt zwischen den beiden Kurven $y=3\cdot 0{,}8^x$ und $y=-3\cdot 0{,}8^x$ eingesperrt. Periode und Nullstellen bestimmt weiterhin der Sinus, die Höhe der Ausschläge bestimmt die Exponentialfunktion.
blau: $3\cdot 0{,}8^x\cdot\sin(2x)$ grau: $\pm\,3\cdot 0{,}8^x$
Einstieg
Wann sehen verschiedene Transformationen gleich aus?
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $2^x$ | $0{,}25$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ | $4$ |
| $2^{x+1}$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ |
| $2\cdot 2^x$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ |
$2^{x+1}$ ist $2^x$ um $1$ nach links verschoben. $2\cdot 2^x$ ist $2^x$ mit dem Faktor $2$ in y-Richtung gestreckt. Die Tabelle zeigt: Es kommt genau dasselbe heraus.
Das ist kein Zufall, sondern ein Potenzgesetz: $2^{x+1}=2^1\cdot 2^x=2\cdot 2^x$.
Exponentialfunktion
Verschieben in x-Richtung = Strecken in y-Richtung
$$2^{x-d}=2^{-d}\cdot 2^x$$
Eine Verschiebung um $d$ in x-Richtung wirkt wie eine Streckung in y-Richtung mit dem Faktor $2^{-d}$. Um $1$ nach links ist dasselbe wie das Doppelte, um $1$ nach rechts dasselbe wie die Hälfte, um $3$ nach links dasselbe wie das Achtfache.
Der rote Pfeil verschiebt den Punkt $(0\mid 1)$ waagerecht, der grüne Pfeil streckt ihn senkrecht. Beide landen auf derselben blauen Kurve, und die orange gestrichelte Kurve (gestreckt) liegt genau auf der blauen (verschoben).
Aber nicht jede Transformation
$2^x+3$ lässt sich nicht als Verschiebung in x-Richtung schreiben: Die Asymptote wandert von $y=0$ nach $y=3$. Eine Verschiebung in x-Richtung oder eine Streckung in y-Richtung lässt die Asymptote $y=0$ dagegen an ihrem Platz.
Strecken in x-Richtung ändert die Basis
Alle Exponentialfunktionen sind Verwandte
$$2^{b\cdot x}=\left(2^b\right)^x$$
Eine Streckung in x-Richtung macht aus $2^x$ eine Exponentialfunktion mit einer anderen Basis:
- $b=2$: $\;2^{2x}=4^x$
- $b=-1$: $\;2^{-x}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$, die Spiegelung aus dem letzten Tab
- $b\approx 3{,}32$: $\;2^{3{,}32x}\approx 10^x$
Die Graphen von $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$, $2^x$, $10^x$ und $e^x$ entstehen also alle durch Strecken und Spiegeln in x-Richtung auseinander.
Logarithmusfunktion
Die Umkehrung von 2 hoch x
$\log_2 x$ ist die Zahl, mit der man $2$ potenzieren muss, um $x$ zu erhalten: $\log_2 8=3$, weil $2^3=8$. Ihr Graph ist der Graph von $2^x$, gespiegelt an der Geraden $y=x$. Dabei tauschen x und y ihre Rollen.
Strecken in x-Richtung = Verschieben in y-Richtung
$$\log_2(b\cdot x)=\log_2 x+\log_2 b$$
Eine Streckung in x-Richtung wirkt wie eine Verschiebung in y-Richtung um $\log_2 b$. Zum Beispiel ist $\log_2(4x)=\log_2 x+2$: Mit $\tfrac{1}{4}$ in x-Richtung stauchen ist dasselbe wie um $2$ nach oben verschieben.
Das ist genau das Spiegelbild der Exponentialfunktion: Dort wurde Verschieben in x-Richtung zu Strecken in y-Richtung, hier wird Strecken in x-Richtung zu Verschieben in y-Richtung.
Der grüne Pfeil staucht den Punkt $(1\mid 0)$ waagerecht, der rote Pfeil verschiebt ihn senkrecht. Wieder liegen beide Ergebnisse auf derselben Kurve.
Übersicht
| Funktion | Diese Transformationen ergeben denselben Graphen | Grund |
|---|---|---|
| $x^2$ | Stauchen in x-Richtung $\leftrightarrow$ Strecken in y-Richtung | $(bx)^2=b^2x^2$ |
| $2^x$ | Verschieben in x-Richtung $\leftrightarrow$ Strecken in y-Richtung | $2^{x-d}=2^{-d}\cdot 2^x$ |
| $\log_2 x$ | Strecken in x-Richtung $\leftrightarrow$ Verschieben in y-Richtung | $\log_2(bx)=\log_2 x+\log_2 b$ |
| $\sin x$ | Verschieben um eine ganze Periode ändert nichts | $\sin(x-2\pi)=\sin x$ |
Beim Sinus wirken alle vier Parameter verschieden. Darum lernt man die Transformationen am besten an ihm und schaut dann, was bei anderen Funktionen zusammenfällt.
Über den Lehrplan hinaus
1 · Der Funktionswert unter dem Betrag
Nach oben klappen
Bei $g(x)=|f(x)|$ bleiben alle positiven Funktionswerte, wie sie sind, die negativen werden positiv. Alle Teile des Graphen unter der x-Achse werden nach oben geklappt, also an der x-Achse gespiegelt. An den Nullstellen entstehen Knicke.
grau: $x^2-4$ blau: $\left|x^2-4\right|$
grau: $\sin x$ blau: $|\sin x|$ Die Periode halbiert sich auf $\pi$.
2 · Die Variable unter dem Betrag
Die rechte Seite spiegeln
Bei $g(x)=f(|x|)$ ist $g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x)$. Für $x\ge 0$ ist $g(x)=f(x)$, der rechte Teil bleibt also. Der linke Teil wird weggeworfen und durch das Spiegelbild des rechten Teils ersetzt. Das Ergebnis ist immer achsensymmetrisch zur y-Achse.
grau: $\sin x$ blau: $\sin|x|$ nicht mehr periodisch
grau: $2^x$ blau: $2^{|x|}$ mit einer Spitze bei $(0\mid 1)$
3 · Wo steht der Betrag?
Drei Plätze, drei Graphen
Wir nehmen $f(x)=x^2-2x$ (eine Parabel mit Scheitelpunkt $(1\mid -1)$) und setzen Betrag und Verschiebung um $2$ auf drei verschiedene Arten zusammen. Es entstehen drei verschiedene Graphen.
$f(|x|-2)$
erst um $2$ nach rechts, dann den rechten Teil an der y-Achse spiegeln
erst um $2$ nach rechts, dann den rechten Teil an der y-Achse spiegeln
$f(|x-2|)$
erst $f(|x|)$ bilden, dann alles um $2$ nach rechts
erst $f(|x|)$ bilden, dann alles um $2$ nach rechts
$|f(x-2)|$
erst um $2$ nach rechts, dann nach oben klappen
erst um $2$ nach rechts, dann nach oben klappen
So liest man es
$f(|x|-2)$: Zuerst $f(x-2)$ bilden, also nach rechts verschieben, und dann den rechten Teil an der y-Achse spiegeln. Der Betrag steht direkt beim $x$, also wirkt er zuletzt.
$f(|x-2|)$: Zuerst $f(|x|)$ bilden, dann alles um $2$ nach rechts. Die Symmetrieachse ist jetzt $x=2$.
$|f(x-2)|$: Zuerst verschieben, dann den Teil unter der x-Achse hochklappen.
4 · Verschachtelte Beträge
Schritt für Schritt von innen nach außen
Der Graph von $g(x)=\big||x|-2\big|-1$ sieht kompliziert aus, entsteht aber in vier einfachen Schritten.
$|x|$
$|x|-2$: um $2$ nach unten
$\big||x|-2\big|$: nach oben klappen, ein W entsteht
$\big||x|-2\big|-1$: um $1$ nach unten
Wie viele Lösungen?
Eine typische Olympiade-Frage: Wie viele Lösungen hat die Gleichung $\big||x-2|-1\big|=a$, je nach $a$?
Ohne Rechnung: Man zeichnet den Graphen von $h(x)=\big||x-2|-1\big|$ und schneidet ihn mit der waagerechten Geraden $y=a$. Jeder Schnittpunkt ist eine Lösung.
Ziehe die Gerade nach oben und unten. Bei welchen Werten von a ändert sich die Anzahl der Lösungen?
$a<0$: keine Lösung $a=0$: $2$ Lösungen ($x=1$, $x=3$) $0
$a=1$: $3$ Lösungen ($x=0$, $x=2$, $x=4$) $a>1$: $2$ Lösungen
Die Anzahl ändert sich genau an den Höhen der Knicke: bei $0$ (die unteren Spitzen) und bei $1$ (die mittlere Spitze).
5 · Summen von Beträgen
Hier hilft Transformieren nicht mehr
Der Graph von $g(x)=|x-1|+|x+2|$ entsteht nicht durch Verschieben, Strecken oder Spiegeln aus einem bekannten Graphen. Man betrachtet ihn abschnittsweise. Die Stellen, an denen ein Betrag sein Vorzeichen wechselt, sind $x=-2$ und $x=1$.
| Abschnitt | $|x-1|$ | $|x+2|$ | $g(x)$ |
|---|---|---|---|
| $x\le -2$ | $-x+1$ | $-x-2$ | $-2x-1$ |
| $-2\le x\le 1$ | $-x+1$ | $x+2$ | $3$ |
| $x\ge 1$ | $x-1$ | $x+2$ | $2x+1$ |
$g(x)=|x-1|+|x+2|$ mit flachem Boden zwischen $-2$ und $1$
Anschaulich: $|x-1|$ ist der Abstand von $x$ zur $1$, $|x+2|$ der Abstand zur $-2$. Für jeden Punkt zwischen $-2$ und $1$ ist die Summe der beiden Abstände genau die Länge der Strecke, also $3$.
Vorgehen Schritt für Schritt
Von der Gleichung zum Graphen
- Gleichung in die Form $a\sin\big(b(x-d)\big)+e$ bringen, dazu $b$ ausklammern.
- Amplitude $|a|$, Periode $\tfrac{2\pi}{|b|}$, Verschiebung $d$ und Mittellinie $y=e$ ablesen.
- Ankerpunkt $(d\mid e)$ und Hochpunkt $\left(d+\tfrac{p}{4}\mid e+a\right)$ eintragen (bei $a,b>0$).
- Eine Periode durch diese Punkte zeichnen und dann fortsetzen.
Vom Graphen zur Gleichung
- Hoch- und Tiefpunkt ablesen: Die Mitte liefert $e$, der halbe Abstand liefert $a$.
- Abstand zweier Hochpunkte ablesen: Das ist die Periode $p$, daraus $b=\tfrac{2\pi}{p}$.
- Eine Stelle suchen, an der die Welle die Mittellinie steigend schneidet: Das ist $d$.
- Probe mit einem weiteren Punkt.
Beispiel 1 · Von der Gleichung zum Graphen
Worum es geht
Der Graph von $g(x)=2\sin(3x-\pi)+1$ soll ohne Wertetabelle skizziert werden.
Lösung
Ausklammern: $3x-\pi=3\left(x-\tfrac{\pi}{3}\right)$, also $g(x)=2\sin\!\left(3\left(x-\tfrac{\pi}{3}\right)\right)+1$.
Ablesen: Amplitude $2$, Periode $p=\tfrac{2\pi}{3}$, Verschiebung $\tfrac{\pi}{3}$ nach rechts, Mittellinie $y=1$.
Ankerpunkt $\left(\tfrac{\pi}{3}\mid 1\right)$, Hochpunkt $\left(\tfrac{\pi}{3}+\tfrac{\pi}{6}\mid 1+2\right)=\left(\tfrac{\pi}{2}\mid 3\right)$.
Start: $\sin x$
Strecken: $2\sin(3x)$
Hochpunkt $\left(\tfrac{\pi}{6}\mid 2\right)$
Hochpunkt $\left(\tfrac{\pi}{6}\mid 2\right)$
Verschieben: $\tfrac{\pi}{3}$ nach rechts, $1$ nach oben
Beispiel 2 · Vom Graphen zur Gleichung
Worum es geht
Der abgebildete Graph ist eine transformierte Sinuskurve. Gesucht ist ihre Gleichung.
Lösung
Hochpunkte bei $y=3$, Tiefpunkte bei $y=-1$: Mittellinie $e=\tfrac{3+(-1)}{2}=1$, Amplitude $a=\tfrac{3-(-1)}{2}=2$.
Benachbarte Hochpunkte bei $\tfrac{\pi}{2}$ und $\tfrac{3\pi}{2}$: Periode $p=\pi$, also $b=\tfrac{2\pi}{\pi}=2$.
Die Welle schneidet die Mittellinie steigend bei $x=\tfrac{\pi}{4}$: $d=\tfrac{\pi}{4}$.
$g(x)=2\sin\!\left(2\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)\right)+1$
Probe mit dem Tiefpunkt $(0\mid -1)$: $\;2\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)+1=-2+1=-1$ ✓
Beispiel 3 · Ebbe und Flut
Worum es geht
In einem Nordseehafen steht das Wasser bei Niedrigwasser $0{,}5\,\text{m}$ und bei Hochwasser $3{,}5\,\text{m}$ über dem Hafenboden. Von einem Niedrigwasser bis zum nächsten vergehen etwa $12{,}4$ Stunden. Heute ist um $0$ Uhr Niedrigwasser. Ein Fischkutter braucht mindestens $3\,\text{m}$ Wassertiefe. Gesucht sind eine Gleichung für den Wasserstand und die Zeit, in der der Kutter in den Hafen einlaufen kann.
Lösung
Mittellinie $e=\tfrac{0{,}5+3{,}5}{2}=2$, Amplitude $a=\tfrac{3{,}5-0{,}5}{2}=1{,}5$, Periode $12{,}4$, also $b=\tfrac{2\pi}{12{,}4}\approx 0{,}507$.
Die Welle schneidet die Mittellinie steigend eine Viertelperiode nach dem Niedrigwasser: $d=\tfrac{12{,}4}{4}=3{,}1$.
$h(t)=1{,}5\sin\big(0{,}507\,(t-3{,}1)\big)+2$
Wasserstand $3\,\text{m}$: $\;1{,}5\sin(u)+2=3$, also $\sin u=\tfrac{2}{3}$ mit $u=0{,}507\,(t-3{,}1)$.
Der Taschenrechner liefert $u\approx 0{,}730$, und wegen der Symmetrie der Sinuskurve auch $u\approx\pi-0{,}730\approx 2{,}412$.
$t\approx 3{,}1+\tfrac{0{,}730}{0{,}507}\approx 4{,}54$ und $t\approx 3{,}1+\tfrac{2{,}412}{0{,}507}\approx 7{,}86$
Der Kutter kann etwa von $4{:}32$ Uhr bis $7{:}52$ Uhr einlaufen, also gut $3$ Stunden lang.
Wasserstand $h$ in m, Zeit $t$ in h. Grün: Zeitraum mit mindestens $3\,\text{m}$.
Übung 1 · Transformationen beschreiben
AufgabeWie entsteht der Graph aus der Sinuskurve?
Beschreibe jeweils, wie der Graph aus dem Graphen von $\sin x$ entsteht. Gib Amplitude, Periode und Mittellinie an.
a) $g(x)=3\sin\!\left(\tfrac{1}{2}x\right)$ b) $g(x)=-\sin(2x)+1$ c) $g(x)=\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{3}\right)-2$ d) $g(x)=\sin(4x+\pi)$
a) In x-Richtung mit $2$ gestreckt, in y-Richtung mit $3$ gestreckt. Amplitude $3$, Periode $4\pi$, Mittellinie $y=0$.
b) In x-Richtung mit $\tfrac{1}{2}$ gestaucht, an der x-Achse gespiegelt, um $1$ nach oben verschoben. Amplitude $1$, Periode $\pi$, Mittellinie $y=1$.
c) Um $\tfrac{\pi}{3}$ nach links und um $2$ nach unten verschoben. Amplitude $1$, Periode $2\pi$, Mittellinie $y=-2$.
d) Ausklammern: $4x+\pi=4\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)$. In x-Richtung mit $\tfrac{1}{4}$ gestaucht, dann um $\tfrac{\pi}{4}$ nach links verschoben. Amplitude $1$, Periode $\tfrac{\pi}{2}$, Mittellinie $y=0$.
Übung 2 · Gleichung aus dem Graphen
AufgabeWelche Sinuskurve ist das?
Bestimme eine Gleichung der Form $g(x)=a\sin\big(b(x-d)\big)+e$ für den abgebildeten Graphen.
Hochpunkte bei $y=3$, Tiefpunkte bei $y=-1$: $e=1$, Amplitude $2$.
Hochpunkte bei $-\tfrac{\pi}{4}$ und $\tfrac{3\pi}{4}$: Periode $\pi$, also $b=2$.
Steigender Schnitt mit der Mittellinie bei $x=\tfrac{\pi}{2}$: $d=\tfrac{\pi}{2}$.
$g(x)=\boldsymbol{2\sin\!\left(2\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right)\right)+1}$
Am Graphen sieht man auch: Bei $x=0$ schneidet die Welle die Mittellinie fallend. Deshalb passt ebenso $g(x)=-2\sin(2x)+1$. Beide Gleichungen beschreiben denselben Graphen, denn $\sin(2x-\pi)=-\sin(2x)$.
Übung 3 · Reihenfolge
AufgabeErst verschieben oder erst stauchen?
a) Die Sinuskurve wird zuerst um $\tfrac{\pi}{3}$ nach rechts verschoben und danach in x-Richtung mit dem Faktor $\tfrac{1}{2}$ gestaucht. Gib die Gleichung an.
b) Jetzt umgekehrt: erst mit $\tfrac{1}{2}$ stauchen, dann um $\tfrac{\pi}{3}$ nach rechts verschieben. Gib die Gleichung an.
c) Um wie viel muss man in b) verschieben, damit derselbe Graph wie in a) entsteht?
b) Jetzt umgekehrt: erst mit $\tfrac{1}{2}$ stauchen, dann um $\tfrac{\pi}{3}$ nach rechts verschieben. Gib die Gleichung an.
c) Um wie viel muss man in b) verschieben, damit derselbe Graph wie in a) entsteht?
a) Verschieben: $\sin\!\left(x-\tfrac{\pi}{3}\right)$. Stauchen heißt, $x$ durch $2x$ zu ersetzen: $\boldsymbol{\sin\!\left(2x-\tfrac{\pi}{3}\right)}$.
b) Stauchen: $\sin(2x)$. Verschieben heißt, $x$ durch $x-\tfrac{\pi}{3}$ zu ersetzen: $\sin\!\left(2\left(x-\tfrac{\pi}{3}\right)\right)=\boldsymbol{\sin\!\left(2x-\tfrac{2\pi}{3}\right)}$.
c) $2x-\tfrac{\pi}{3}=2\left(x-\tfrac{\pi}{6}\right)$: Man muss nur um $\tfrac{\pi}{6}$ verschieben. Die Verschiebung wurde in a) mitgestaucht.
Übung 4 · Exponentialfunktion
AufgabeVerschieben oder strecken?
a) Zeige, dass $2^{x+3}=8\cdot 2^x$ gilt, und beschreibe beide Seiten als Transformation von $2^x$.
b) Wie muss man den Graphen von $2^x$ verschieben, damit der Graph von $\tfrac{1}{4}\cdot 2^x$ entsteht?
c) Begründe, dass der Graph von $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$ durch Spiegelung aus dem Graphen von $2^x$ entsteht.
d) Kann man $2^x+3$ auch als Verschiebung in x-Richtung schreiben?
b) Wie muss man den Graphen von $2^x$ verschieben, damit der Graph von $\tfrac{1}{4}\cdot 2^x$ entsteht?
c) Begründe, dass der Graph von $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$ durch Spiegelung aus dem Graphen von $2^x$ entsteht.
d) Kann man $2^x+3$ auch als Verschiebung in x-Richtung schreiben?
a) $2^{x+3}=2^3\cdot 2^x=8\cdot 2^x$. Links: Verschiebung um $3$ nach links. Rechts: Streckung in y-Richtung mit dem Faktor $8$.
b) $\tfrac{1}{4}=2^{-2}$, also $\tfrac{1}{4}\cdot 2^x=2^{x-2}$: um $2$ nach rechts.
c) $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x=\left(2^{-1}\right)^x=2^{-x}$. Das ist $f(-x)$ mit $f(x)=2^x$, also eine Spiegelung an der y-Achse.
d) Nein. Bei $2^x+3$ wandert die Asymptote nach $y=3$, bei jeder Verschiebung in x-Richtung bleibt sie bei $y=0$.
Übung 5 · Riesenrad
AufgabeWie hoch ist die Gondel?
Ein Riesenrad hat einen Durchmesser von $50\,\text{m}$, seine Achse liegt $28\,\text{m}$ über dem Boden. Für eine volle Umdrehung braucht es $20$ Minuten. Zur Zeit $t=0$ steigt eine Gondel unten ein.
a) Bestimme eine Gleichung für die Höhe $h(t)$ der Gondel ($t$ in Minuten, $h$ in Metern).
b) Wie hoch ist die Gondel nach $8$ Minuten?
c) Wie lange ist die Gondel während einer Umdrehung höher als $40\,\text{m}$?
b) Wie hoch ist die Gondel nach $8$ Minuten?
c) Wie lange ist die Gondel während einer Umdrehung höher als $40\,\text{m}$?
a) Mittellinie $e=28$, Amplitude $a=25$, Periode $20$, also $b=\tfrac{2\pi}{20}=\tfrac{\pi}{10}$. Unten ist die Gondel bei $t=0$, die Mittellinie erreicht sie steigend nach einer Viertelumdrehung: $d=5$.
$h(t)=\boldsymbol{25\sin\!\left(\tfrac{\pi}{10}(t-5)\right)+28}$ Probe: $h(0)=25\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)+28=3$, die Gondel ist $3\,\text{m}$ über dem Boden ✓
b) $h(8)=25\sin(0{,}3\pi)+28\approx 25\cdot 0{,}809+28\approx \boldsymbol{48{,}2\,\text{m}}$
c) $25\sin u+28=40\;\Rightarrow\;\sin u=0{,}48$, also $u\approx 0{,}501$ oder $u\approx\pi-0{,}501\approx 2{,}641$. Mit $t=5+\tfrac{10}{\pi}u$: $t\approx 6{,}59$ und $t\approx 13{,}41$. Die Gondel ist etwa $6{,}8$ Minuten lang höher als $40\,\text{m}$.
Übung 6 · Spiegeln
AufgabeWas ändert sich?
a) Bei welchen der Funktionen $x^2$, $x^3$, $|x|$, $\sin x$, $2^x$ ändert sich der Graph durch Spiegelung an der y-Achse nicht?
b) Bei welchen ergibt die Spiegelung an der y-Achse denselben Graphen wie die Spiegelung an der x-Achse?
c) Gib eine Gleichung für die Spiegelung von $\sqrt{x-1}$ an der y-Achse an. Wo ist sie definiert?
b) Bei welchen ergibt die Spiegelung an der y-Achse denselben Graphen wie die Spiegelung an der x-Achse?
c) Gib eine Gleichung für die Spiegelung von $\sqrt{x-1}$ an der y-Achse an. Wo ist sie definiert?
a) $x^2$ und $|x|$: Beide sind achsensymmetrisch zur y-Achse.
b) $x^3$ und $\sin x$: Beide sind punktsymmetrisch zum Ursprung, also $f(-x)=-f(x)$.
c) $x$ durch $-x$ ersetzen: $g(x)=\sqrt{-x-1}$. Definiert für $-x-1\ge 0$, also $x\le -1$. Der Startpunkt ist von $(1\mid 0)$ nach $(-1\mid 0)$ gewandert.
Übung 7 · Beträge
Über den Lehrplan hinausMit dem Graphen zählen
a) Wie viele Lösungen hat die Gleichung $\left|x^2-4\right|=a$, je nach $a$? Nutze den Graphen aus dem Tab „Beträge“.
b) Löse die Gleichung $|x-1|+|x+2|=5$.
b) Löse die Gleichung $|x-1|+|x+2|=5$.
a) Der Graph hat Spitzen bei $(\pm 2\mid 0)$ und einen Hochpunkt bei $(0\mid 4)$. $a<0$: keine Lösung; $a=0$: $2$; $04$: $2$ Lösungen.
b) Im Abschnitt $-2\le x\le 1$ ist der Wert immer $3$, dort gibt es keine Lösung. Für $x\ge 1$: $2x+1=5$, also $x=2$. Für $x\le -2$: $-2x-1=5$, also $x=-3$. Lösungen: $\boldsymbol{x=-3}$ und $\boldsymbol{x=2}$.
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