Transformationen von Funktionsgraphen I
Funktionen · Klasse 9Vier alte Bekannte
Wertetabelle
Vier Funktionen kennst du bereits. Wir legen ihre Werte nebeneinander:
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $x^2$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $16$ |
| $x^3$ | $-8$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $8$ | $64$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $-0{,}5$ | $-1$ | — | $1$ | $0{,}5$ | $0{,}25$ |
| $\sqrt{x}$ | — | — | $0$ | $1$ | $\approx 1{,}41$ | $2$ |
Auffällig: An der Stelle $x=1$ haben alle vier den Wert $1$ (grün). An der Stelle $x=0$ passiert bei jeder Funktion etwas Besonderes (rot).
Die vier Graphen
Normalparabel $f(x)=x^2$
Kubische Parabel $f(x)=x^3$
Hyperbel $f(x)=\dfrac{1}{x}$
Wurzelfunktion $f(x)=\sqrt{x}$
Steckbrief
| Funktion | Definitionsbereich | Wertebereich | Symmetrie | Ankerpunkt |
|---|---|---|---|---|
| $x^2$ | alle reellen Zahlen | $y\ge 0$ | achsensymmetrisch zur y-Achse | Scheitelpunkt $S(0\mid 0)$ |
| $x^3$ | alle reellen Zahlen | alle reellen Zahlen | punktsymmetrisch zum Ursprung | Symmetriezentrum $Z(0\mid 0)$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $x\neq 0$ | $y\neq 0$ | punktsymmetrisch zum Ursprung | Schnittpunkt der Asymptoten $(0\mid 0)$ |
| $\sqrt{x}$ | $x\ge 0$ | $y\ge 0$ | keine | Startpunkt $(0\mid 0)$ |
Ankerpunkt und Kontrollpunkt
Zwei Punkte zum Festhalten
Jeder der vier Graphen hat einen besonderen Punkt, den Ankerpunkt: den Scheitelpunkt der Parabel, das Symmetriezentrum der kubischen Parabel, den Schnittpunkt der beiden Asymptoten der Hyperbel und den Startpunkt der Wurzelkurve. Bei allen vier liegt er im Ursprung $(0\mid 0)$.
Außerdem gehen alle vier Graphen durch den Kontrollpunkt $(1\mid 1)$.
In den nächsten Tabs verändern wir den Funktionsterm und verfolgen genau diese zwei Punkte. Wer weiß, wohin Ankerpunkt und Kontrollpunkt wandern, kann den neuen Graphen sofort zeichnen.
Einstieg
Was passiert, wenn wir eine Zahl addieren?
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $x^2$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ |
| $x^2+2$ | $6$ | $3$ | $2$ | $3$ | $6$ |
| $x^2-3$ | $1$ | $-2$ | $-3$ | $-2$ | $1$ |
An jeder Stelle $x$ ist der Wert von $x^2+2$ um genau $2$ größer als der von $x^2$, der Wert von $x^2-3$ um genau $3$ kleiner. Jeder Punkt des Graphen rutscht also senkrecht um denselben Betrag nach oben bzw. nach unten. Der Scheitelpunkt wandert von $(0\mid 0)$ nach $(0\mid 2)$ bzw. $(0\mid -3)$.
Regel
Verschiebung in y-Richtung
Der Graph von $g(x)=f(x)+e$ entsteht aus dem Graphen von $f$ durch eine Verschiebung um $e$ in y-Richtung:
- $e>0$: nach oben um $e$
- $e<0$: nach unten um $|e|$
Der Ankerpunkt wandert von $(0\mid 0)$ nach $(0\mid e)$. Der Definitionsbereich bleibt gleich, der Wertebereich verschiebt sich mit: Aus $y\ge 0$ wird bei $x^2+2$ der Bereich $y\ge 2$.
Bei der Hyperbel
Bei $g(x)=\dfrac{1}{x}+e$ wandert die waagerechte Asymptote mit: Sie liegt nicht mehr auf der x-Achse, sondern bei $y=e$.
Interaktiv
Wähle eine Grundfunktion und verändere e. Der rote Pfeil zeigt, wohin der Ankerpunkt wandert.
Einstieg
Was passiert, wenn wir in der Klammer etwas abziehen?
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $x^2$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ | $16$ | $25$ |
| $(x-2)^2$ | $9$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ |
Jeder Wert von $x^2$ taucht bei $(x-2)^2$ wieder auf, aber zwei Stellen weiter rechts: die $0$ (rot) bei $x=2$ statt bei $x=0$, die $1$ (grün) bei $x=3$ statt bei $x=1$, die $4$ (blau) bei $x=4$ statt bei $x=2$.
Der Grund: Damit in der Klammer $x-2$ dieselbe Zahl steht wie vorher bei $x$, muss $x$ um $2$ größer sein. Der Graph wandert also nach rechts, obwohl ein Minus dasteht.
Regel
Verschiebung in x-Richtung
Der Graph von $g(x)=f(x-d)$ entsteht aus dem Graphen von $f$ durch eine Verschiebung um $d$ in x-Richtung:
- $d>0$: nach rechts um $d$
- $d<0$: nach links um $|d|$
Der Ankerpunkt wandert von $(0\mid 0)$ nach $(d\mid 0)$.
Achtung, Vorzeichen
$(x+3)^2=\big(x-(-3)\big)^2$, also ist $d=-3$: Der Graph wandert um $3$ nach links.
Merkhilfe: Minus in der Klammer bedeutet rechts, Plus in der Klammer bedeutet links. Allgemein verschiebt $f(x+c)$ den Graphen um $c$ nach links.
Am deutlichsten bei der Wurzel
Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen. Bei $\sqrt{x-2}$ heißt das $x-2\ge 0$, also $x\ge 2$. Der Graph kann erst bei $x=2$ beginnen: Der Startpunkt ist von $(0\mid 0)$ nach $(2\mid 0)$ gewandert, und der Definitionsbereich ist mitgewandert.
grau: $f(x)=\sqrt{x}$ blau: $g(x)=\sqrt{x-2}$
Bei der Hyperbel $\dfrac{1}{x-2}$ wandert entsprechend die senkrechte Asymptote: Sie liegt bei $x=2$, weil man dort durch $0$ teilen würde.
Interaktiv
Verändere d und beobachte das Vorzeichen in der Gleichung: Bei positivem d steht in der Klammer ein Minus.
Einstieg
Was passiert, wenn wir mit einer Zahl multiplizieren?
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $x^2$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ |
| $2x^2$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ |
| $0{,}5x^2$ | $2$ | $0{,}5$ | $0$ | $0{,}5$ | $2$ |
| $-x^2$ | $-4$ | $-1$ | $0$ | $-1$ | $-4$ |
Jeder Funktionswert wird mit derselben Zahl multipliziert. Der Graph wird dadurch in y-Richtung auseinandergezogen ($2x^2$), zusammengedrückt ($0{,}5x^2$) oder umgeklappt ($-x^2$). Die $0$ bleibt immer $0$, denn $a\cdot 0=0$: Nullstellen bleiben an ihrem Platz.
Regel
Streckung, Stauchung, Spiegelung
Der Graph von $g(x)=a\cdot f(x)$ entsteht aus dem Graphen von $f$ so:
- $|a|>1$: gestreckt in y-Richtung mit dem Faktor $|a|$ (bei der Parabel: schmaler, steiler)
- $0<|a|<1$: gestaucht in y-Richtung (bei der Parabel: breiter, flacher)
- $a<0$: zusätzlich an der x-Achse gespiegelt; $a=-1$ ist eine reine Spiegelung
Der Ankerpunkt $(0\mid 0)$ bleibt fest, der Kontrollpunkt wandert von $(1\mid 1)$ nach $(1\mid a)$. An ihm liest man $a$ direkt ab.
Bei der Hyperbel
Bei $\dfrac{2}{x}$ liegen die Äste weiter vom Asymptotenkreuz entfernt, bei $\dfrac{0{,}5}{x}$ näher daran. Bei $-\dfrac{1}{x}$ liegen die Äste im 2. und 4. Quadranten statt im 1. und 3.
Interaktiv
Ziehe a auch durch $0$ und ins Negative. Der grüne Pfeil zeigt, wohin der Kontrollpunkt wandert. Bei $a=0$ fällt der Graph auf die x-Achse zusammen.
Einstieg
Schritt für Schritt zu einem Graphen
Wie sieht der Graph von $g(x)=2(x-3)^2-1$ aus? Wir bauen ihn aus der Normalparabel auf: erst strecken, dann verschieben.
Start: $x^2$
Anker $(0\mid 0)$, Kontrolle $(1\mid 1)$
Anker $(0\mid 0)$, Kontrolle $(1\mid 1)$
Strecken mit $a=2$: $2x^2$
Kontrolle $(1\mid 2)$
Kontrolle $(1\mid 2)$
Verschieben um $3$ nach rechts, $1$ nach unten
Anker $(3\mid -1)$, Kontrolle $(4\mid 1)$
Anker $(3\mid -1)$, Kontrolle $(4\mid 1)$
Regel
Die allgemeine Form
$$g(x)=a\cdot f(x-d)+e$$
$a$ streckt, staucht oder spiegelt, $d$ verschiebt in x-Richtung, $e$ verschiebt in y-Richtung.
Ankerpunkt: $(0\mid 0)\;\to\;(d\mid e)$ Kontrollpunkt: $(1\mid 1)\;\to\;(d+1\mid e+a)$
| Grundfunktion | transformiert | Ankerpunkt | Besonderheit |
|---|---|---|---|
| $x^2$ | $a(x-d)^2+e$ | Scheitelpunkt $S(d\mid e)$ | $a>0$: nach oben geöffnet, $a<0$: nach unten |
| $x^3$ | $a(x-d)^3+e$ | Symmetriezentrum $Z(d\mid e)$ | $a<0$: fällt von links oben nach rechts unten |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\dfrac{a}{x-d}+e$ | Asymptotenkreuz $(d\mid e)$ | Asymptoten $x=d$ und $y=e$ |
| $\sqrt{x}$ | $a\sqrt{x-d}+e$ | Startpunkt $(d\mid e)$ | definiert für $x\ge d$ |
Reihenfolge
Wir strecken bzw. spiegeln zuerst, solange der Ankerpunkt noch im Ursprung liegt, und verschieben danach. So lassen sich $a$, $d$ und $e$ direkt aus der Gleichung ablesen. Ob eine andere Reihenfolge zum selben Graphen führt, untersuchen wir in Klasse 10.
Interaktiv
Alle drei Regler zusammen, in derselben Reihenfolge wie oben: Der grüne Pfeil streckt am Ursprung (orange Zwischenkurve), die roten Pfeile verschieben danach. Stelle Graphen ein und lies die Gleichung ab, oder umgekehrt: Denk dir eine Gleichung aus, sag den Graphen voraus und prüfe.
Offene Frage
Und wenn die Zahl direkt beim x steht?
Was passiert bei $f(2x)$, also wenn $x$ selbst mit einer Zahl multipliziert wird? Für unsere vier Funktionen gilt:
$(2x)^2=4x^2$, $(2x)^3=8x^3$, $\dfrac{1}{2x}=0{,}5\cdot\dfrac{1}{x}$, $\sqrt{2x}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{x}$
Jedes Mal kommt nur eine Streckung in y-Richtung heraus, also nichts Neues. Ist das bei allen Funktionen so? Die Antwort gibt es in Klasse 10: Transformationen von Funktionsgraphen II →
Einstieg
Zwei Terme, ein Graph
Multipliziert man $(x-3)^2-4$ aus, erhält man:
$(x-3)^2-4$ $\;=x^2-6x+9-4$ $\;=x^2-6x+5$
Beide Terme beschreiben also dieselbe Parabel. In der Scheitelpunktform $(x-3)^2-4$ sieht man den Scheitelpunkt $S(3\mid -4)$ sofort, in der Normalform $x^2-6x+5$ nicht.
Die spannende Richtung ist die umgekehrte: Wie kommt man von $x^2-6x+5$ zur Scheitelpunktform? Dafür ergänzt man den Term zu einem vollständigen Quadrat.
Die Idee: ein Quadrat ergänzen
Geometrisch, am Beispiel x² + 6x
Den Term $x^2+6x$ legen wir als Fläche: ein Quadrat mit Seite $x$ und zwei Streifen $3\cdot x$ (zusammen $6x$). Zu einem großen Quadrat mit Seite $x+3$ fehlt genau die Ecke $3\cdot 3=9$.
Also gilt $x^2+6x+9=(x+3)^2$. Weil wir $9$ hinzugefügt haben, müssen wir $9$ auch wieder abziehen, damit der Wert des Terms gleich bleibt: $x^2+6x=(x+3)^2-9$.
Vorgehen Schritt für Schritt
Schritt 1 — Hälfte des x-Koeffizienten
$f(x)=x^2-6x+5$: Vor dem $x$ steht $-6$, die Hälfte ist $-3$.
Schritt 2 — Quadrat ergänzen und wieder abziehen
$(-3)^2=9$ addieren und subtrahieren: $\;f(x)=x^2-6x+9-9+5$
Schritt 3 — Binomische Formel anwenden
$x^2-6x+9=(x-3)^2$, also $\;f(x)=(x-3)^2-4$
Schritt 4 — Scheitelpunkt ablesen
$$S(3\mid -4)$$
Wenn vor dem x² ein Faktor steht
Erst ausklammern, dann ergänzen
$f(x)=2x^2+8x+3$: Den Faktor $2$ klammern wir aus den beiden x-Gliedern aus und ergänzen in der Klammer.
$f(x)=2(x^2+4x)+3$ $\;=2(x^2+4x+4-4)+3$ $\;=2\big((x+2)^2-4\big)+3$ $\;=2(x+2)^2-8+3$ $\;=2(x+2)^2-5$
Scheitelpunkt $S(-2\mid -5)$, Streckfaktor $a=2$.
Allgemein: die Scheitelpunktformel
Dieselben Schritte mit Buchstaben
Für $f(x)=ax^2+bx+c$ mit $a\neq 0$ klammern wir $a$ aus und ergänzen mit der Hälfte von $\tfrac{b}{a}$, also mit $\tfrac{b}{2a}$:
$f(x)=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x\right)+c$ $\;=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\right)+c$ $\;=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a}+c$
Im Vergleich mit $a(x-d)^2+e$ steht in der Klammer $x+\dfrac{b}{2a}=x-\left(-\dfrac{b}{2a}\right)$. Die Stelle des Scheitelpunkts ist also $d=-\dfrac{b}{2a}$.
Die Abkürzung
Für $f(x)=ax^2+bx+c$ gilt:
$$x_S=-\dfrac{b}{2a},\qquad y_S=f(x_S)$$
Erst die Stelle mit der Formel berechnen, dann in $f$ einsetzen.
Probe an den Beispielen von oben
$f(x)=x^2-6x+5$: $\;x_S=-\dfrac{-6}{2\cdot 1}=3$, $\;f(3)=9-18+5=-4$, also $S(3\mid -4)$ ✓
$f(x)=2x^2+8x+3$: $\;x_S=-\dfrac{8}{2\cdot 2}=-2$, $\;f(-2)=8-16+3=-5$, also $S(-2\mid -5)$ ✓
Welcher Weg wann?
Die quadratische Ergänzung liefert die ganze Scheitelpunktform samt Streckfaktor und damit sofort den Graphen. Die Formel liefert nur den Scheitelpunkt, dafür aber am schnellsten.
Interaktiv
Verändere b und c in $f(x)=x^2+bx+c$ (hier ist $a=1$). Rechts siehst du die quadratische Ergänzung und den Weg über die Formel live, links den Scheitelpunkt. Beide Wege liefern denselben Punkt.
Vorgehen Schritt für Schritt
Von der Gleichung zum Graphen
- Grundfunktion erkennen ($x^2$, $x^3$, $\tfrac{1}{x}$ oder $\sqrt{x}$).
- $a$, $d$ und $e$ ablesen (Vorzeichen in der Klammer beachten).
- Ankerpunkt $(d\mid e)$ und Kontrollpunkt $(d+1\mid e+a)$ eintragen.
- Den Graphen in der Form der Grundfunktion durch beide Punkte zeichnen.
Vom Graphen zur Gleichung
- Grundfunktion an der Form erkennen.
- Ankerpunkt ablesen, das liefert $d$ und $e$.
- Einen weiteren Punkt ablesen, einsetzen und nach $a$ auflösen.
- Probe mit einem dritten Punkt.
Beispiel 1 · Von der Gleichung zum Graphen
Worum es geht
Der Graph von $g(x)=-0{,}5(x+1)^2+3$ soll ohne Wertetabelle skizziert werden.
Lösung
Grundfunktion $x^2$, also eine Parabel. Ablesen: $a=-0{,}5$, $d=-1$ (wegen $x+1$), $e=3$.
Ankerpunkt: Scheitelpunkt $S(-1\mid 3)$. Kontrollpunkt: $(d+1\mid e+a)=(0\mid 2{,}5)$.
Weil $a<0$ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet, und weil $|a|<1$ ist, ist sie breiter als die Normalparabel.
Start: $x^2$
Stauchen und spiegeln: $-0{,}5x^2$
Verschieben: $1$ nach links, $3$ nach oben
Beispiel 2 · Vom Graphen zur Gleichung
Worum es geht
Der abgebildete Graph ist eine verschobene und gestreckte Hyperbel. Gesucht ist ihre Gleichung.
Lösung
Die Asymptoten liegen bei $x=2$ und $y=-1$, also ist $d=2$ und $e=-1$. Ansatz: $g(x)=\dfrac{a}{x-2}-1$.
Der Punkt $(3\mid 1)$ liegt auf dem Graphen: $\;1=\dfrac{a}{3-2}-1=a-1\;\Rightarrow\; a=2$
$g(x)=\dfrac{2}{x-2}-1$
Probe mit $(1\mid -3)$: $\;\dfrac{2}{1-2}-1=-2-1=-3$ ✓
Beispiel 3 · Springbrunnen
Worum es geht
Der Wasserstrahl eines Springbrunnens kommt aus einer Düse am Boden. Er erreicht seine größte Höhe von $2\,\text{m}$ in $1{,}5\,\text{m}$ waagerechter Entfernung von der Düse. Gesucht sind eine Gleichung für die Bahn des Strahls und die Stelle, an der das Wasser wieder auf dem Boden auftrifft.
Lösung
Koordinatensystem: Düse im Ursprung, x-Achse auf dem Boden (Einheit $1\,\text{m}$). Der höchste Punkt ist der Scheitelpunkt $S(1{,}5\mid 2)$.
Ansatz: $f(x)=a(x-1{,}5)^2+2$. Die Düse $(0\mid 0)$ liegt auf der Bahn:
$0=a\cdot(0-1{,}5)^2+2$ $\;=2{,}25a+2$ $\;\Rightarrow\; a=-\dfrac{2}{2{,}25}=-\dfrac{8}{9}\approx -0{,}89$
$f(x)=-\dfrac{8}{9}(x-1{,}5)^2+2$
Die Parabel ist symmetrisch zur senkrechten Geraden durch den Scheitelpunkt. Die Düse liegt $1{,}5\,\text{m}$ links davon, also trifft das Wasser $1{,}5\,\text{m}$ rechts davon auf: bei $x=3$, also $3\,\text{m}$ von der Düse entfernt.
Übung 1 · Transformationen beschreiben
AufgabeWie entsteht der Graph aus der Grundfunktion?
Beschreibe jeweils, wie der Graph aus dem Graphen der Grundfunktion entsteht, und gib den Ankerpunkt an.
a) $g(x)=(x+3)^2-1$ b) $g(x)=-2x^3+4$ c) $g(x)=\dfrac{1}{x-1}+2$ d) $g(x)=0{,}5\sqrt{x+4}$
a) Normalparabel um $3$ nach links und $1$ nach unten verschoben; $S(-3\mid -1)$.
b) Kubische Parabel mit Faktor $2$ gestreckt, an der x-Achse gespiegelt, um $4$ nach oben verschoben; $Z(0\mid 4)$.
c) Hyperbel um $1$ nach rechts und $2$ nach oben verschoben; Asymptoten $x=1$ und $y=2$.
d) Wurzelkurve mit Faktor $0{,}5$ gestaucht und um $4$ nach links verschoben; Startpunkt $(-4\mid 0)$, definiert für $x\ge -4$.
Übung 2 · Kubische Parabel
AufgabeGleichung aus dem Graphen
Der Graph ist eine transformierte kubische Parabel mit dem Symmetriezentrum $Z(1\mid 2)$. Außerdem liegt der Punkt $(2\mid 1)$ auf dem Graphen. Bestimme die Gleichung.
Ansatz: $g(x)=a(x-1)^3+2$. Punkt $(2\mid 1)$ einsetzen: $\;1=a\cdot 1^3+2\;\Rightarrow\;a=-1$
$g(x)=\boldsymbol{-(x-1)^3+2}$
Probe mit $x=0$: $\;-(-1)^3+2=1+2=3$, der Graph schneidet die y-Achse bei $3$ ✓
Übung 3 · Wurzelfunktion
AufgabeGleichung aus dem Graphen
Der Graph ist eine transformierte Wurzelkurve. Bestimme ihre Gleichung und ihren Definitionsbereich.
Startpunkt $(-3\mid 1)$, also $d=-3$, $e=1$. Ansatz: $g(x)=a\sqrt{x+3}+1$.
Punkt $(1\mid -3)$: $\;-3=a\sqrt{4}+1=2a+1\;\Rightarrow\;a=-2$
$g(x)=\boldsymbol{-2\sqrt{x+3}+1}$, definiert für $x\ge -3$.
Probe mit $x=6$: $\;-2\sqrt{9}+1=-5$ ✓
Übung 4 · Quadratische Ergänzung
AufgabeScheitelpunktform bestimmen
a), b) Bringe mit quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform und gib den Scheitelpunkt an.
a) $f(x)=x^2+4x-1$ b) $f(x)=3x^2-12x+7$
c) Bestimme den Scheitelpunkt von $f(x)=-2x^2+12x-10$ mit der Formel $x_S=-\dfrac{b}{2a}$.
a) $f(x)=x^2+4x+4-4-1$ $\;=(x+2)^2-5$; $\;S(-2\mid -5)$
Probe mit der Formel: $\;x_S=-\dfrac{4}{2}=-2$, $\;f(-2)=4-8-1=-5$ ✓
b) $f(x)=3(x^2-4x)+7$ $\;=3(x^2-4x+4-4)+7$ $\;=3\big((x-2)^2-4\big)+7$ $\;=3(x-2)^2-12+7$ $\;=3(x-2)^2-5$; $\;S(2\mid -5)$
Probe mit der Formel: $\;x_S=-\dfrac{-12}{2\cdot 3}=2$, $\;f(2)=12-24+7=-5$ ✓
c) $a=-2$, $b=12$: $\;x_S=-\dfrac{12}{2\cdot(-2)}=3$, $\;f(3)=-18+36-10=8$; $\;S(3\mid 8)$
Übung 5 · Klassenfahrt
AufgabeKosten pro Person
Für einen Tagesausflug kostet der Reisebus pauschal $600\,€$, die sich alle Teilnehmenden teilen. Dazu kommen $15\,€$ Eintritt pro Person.
a) Stelle einen Term für die Kosten $k(n)$ pro Person bei $n$ Teilnehmenden auf.
b) Durch welche Transformation entsteht der Graph von $k$ aus dem Graphen von $\tfrac{1}{n}$?
c) Wie viel zahlt jeder bei $24$ Teilnehmenden?
d) Ab wie vielen Teilnehmenden zahlt jeder weniger als $35\,€$?
b) Durch welche Transformation entsteht der Graph von $k$ aus dem Graphen von $\tfrac{1}{n}$?
c) Wie viel zahlt jeder bei $24$ Teilnehmenden?
d) Ab wie vielen Teilnehmenden zahlt jeder weniger als $35\,€$?
a) $k(n)=\dfrac{600}{n}+15$
b) Streckung in y-Richtung mit dem Faktor $600$, dann Verschiebung um $15$ nach oben. Die Kosten nähern sich bei sehr vielen Teilnehmenden den $15\,€$ Eintritt (waagerechte Asymptote), erreichen sie aber nie.
c) $k(24)=\dfrac{600}{24}+15=25+15=\boldsymbol{40\,€}$
d) $\dfrac{600}{n}+15<35 \;\Rightarrow\; \dfrac{600}{n}<20$. Bei $n=30$ ist $\dfrac{600}{30}=20$ genau, also muss $n$ größer sein: ab 31 Teilnehmenden.
Übung 6 · Fadenpendel
AufgabeSchwingungsdauer und Fadenlänge
Für ein Fadenpendel gilt näherungsweise $T(l)=2\sqrt{l}$. Dabei ist $l$ die Fadenlänge in Metern und $T$ die Zeit für eine volle Hin- und Herbewegung in Sekunden.
a) Durch welche Transformation entsteht der Graph von $T$ aus dem Graphen der Wurzelfunktion?
b) Berechne $T$ für $l=1\,\text{m}$ und für $l=0{,}25\,\text{m}$.
c) Wie lang muss der Faden sein, damit eine volle Schwingung $3\,\text{s}$ dauert?
b) Berechne $T$ für $l=1\,\text{m}$ und für $l=0{,}25\,\text{m}$.
c) Wie lang muss der Faden sein, damit eine volle Schwingung $3\,\text{s}$ dauert?
a) Streckung in y-Richtung mit dem Faktor $2$.
b) $T(1)=2\sqrt{1}=\boldsymbol{2\,\text{s}}$, $\;T(0{,}25)=2\cdot 0{,}5=\boldsymbol{1\,\text{s}}$. Ein viermal kürzerer Faden schwingt doppelt so schnell.
c) $3=2\sqrt{l}\;\Rightarrow\;\sqrt{l}=1{,}5\;\Rightarrow\;l=\boldsymbol{2{,}25\,\text{m}}$
Übung 7 · Tunnel
AufgabePasst der Lkw durch?
Der Querschnitt eines Straßentunnels hat die Form einer Parabel. Am Boden ist der Tunnel $8\,\text{m}$ breit, in der Mitte $5\,\text{m}$ hoch.
a) Lege ein Koordinatensystem fest und bestimme eine Gleichung für die Tunneldecke.
b) Ein Lkw ist $2{,}5\,\text{m}$ breit und $4\,\text{m}$ hoch. Passt er durch, wenn er genau in der Mitte fährt?
b) Ein Lkw ist $2{,}5\,\text{m}$ breit und $4\,\text{m}$ hoch. Passt er durch, wenn er genau in der Mitte fährt?
a) Ursprung in der Mitte des Bodens. Scheitelpunkt $S(0\mid 5)$, Ansatz $f(x)=ax^2+5$. Der Punkt $(4\mid 0)$ liegt auf der Decke: $\;0=16a+5\;\Rightarrow\;a=-\dfrac{5}{16}$, also $f(x)=-\dfrac{5}{16}x^2+5$.
b) Die Lkw-Kanten liegen bei $x=\pm1{,}25$: $\;f(1{,}25)=-\dfrac{5}{16}\cdot 1{,}5625+5\approx 4{,}51$. Die Decke ist dort etwa $4{,}51\,\text{m}$ hoch, also passt der Lkw mit rund $0{,}5\,\text{m}$ Luft durch.
Quiz