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Quadratische Gleichungen I

Grundlagen · Klasse 9
Einstieg
Ein Zahlenrätsel
Gesucht ist eine Zahl, deren Quadrat um $2$ größer ist als die Zahl selbst.
Probieren hilft: Für $2$ gilt $2^2=4=2+2$ ✓. Für $-1$ gilt $(-1)^2=1=-1+2$ ✓. Andere Zahlen passen nicht, zum Beispiel $3^2=9$, aber $3+2=5$.
Mit einer Variablen geschrieben heißt das Rätsel $x^2=x+2$. Bringt man alles auf die linke Seite, steht rechts eine Null:
$$x^2-x-2=0$$
Weil $x$ im Quadrat vorkommt (und in keiner höheren Potenz), heißt eine solche Gleichung quadratische Gleichung. Sie hat hier zwei Lösungen, $x_1=2$ und $x_2=-1$. Probieren findet sie nicht immer. Darum lernen wir in diesem Modul Verfahren, die sicher zum Ziel führen.
Die allgemeine Form
Quadratische Gleichung
Jede quadratische Gleichung lässt sich in die allgemeine Form bringen:
$$ax^2+bx+c=0\qquad\text{mit } a\neq 0$$
Die Zahlen $a$, $b$ und $c$ heißen Koeffizienten:
ZahlNamegehört zum …im Rätsel
$a$quadratischer Koeffizientquadratischen Glied $ax^2$$a=1$
$b$linearer Koeffizientlinearen Glied $bx$$b=-1$
$c$absolutes Glied(steht ohne $x$)$c=-2$
Warum $a\neq 0$? Für $a=0$ fällt das quadratische Glied weg, und übrig bleibt die lineare Gleichung $bx+c=0$.
Koeffizienten richtig ablesen
Abgelesen wird erst, wenn rechts eine $0$ steht. Das Vorzeichen gehört immer zum Koeffizienten, und ein fehlendes Glied hat den Koeffizienten $0$.
Gleichungallgemeine Form$a$$b$$c$
$2x^2+3x-5=0$$2x^2+3x-5=0$$2$$3$$-5$
$x^2=x+2$$x^2-x-2=0$$1$$-1$$-2$
$5x-x^2=2$$-x^2+5x-2=0$$-1$$5$$-2$
$3x^2=7x$$3x^2-7x=0$$3$$-7$$0$
$4-x^2=0$$-x^2+4=0$$-1$$0$$4$
Die normierte Form
Quadratischer Koeffizient gleich 1
Ist $a=1$, heißt die Gleichung normiert. Man schreibt sie meist mit den Buchstaben $p$ und $q$:
$$x^2+px+q=0$$
Diese Form heißt auch Normalform. Das Rätsel $x^2-x-2=0$ ist schon normiert, mit $p=-1$ und $q=-2$.
Eine Gleichung normieren: durch a teilen
Bei einer Gleichung darf man beide Seiten durch dieselbe Zahl $a\neq 0$ teilen. Die Lösungen ändern sich dabei nicht.
$2x^2-6x+4=0\;\;\big|:2$   $\Longrightarrow$   $x^2-3x+2=0$
Beide Gleichungen haben die Lösungen $1$ und $2$. Probe in der ersten: $2-6+4=0$ ✓ und $8-12+4=0$ ✓.
Eine Funktion normieren? Nur ausklammern!
Bei der Funktion $f(x)=2x^2-6x+4$ gibt es keine zweite Seite, die man ebenfalls durch $a$ teilen könnte. Man kann $a$ nur ausklammern:
$f(x)=2\,(x^2-3x+2)$
Die Funktion $g(x)=x^2-3x+2$ in der Klammer ist eine andere Funktion als $f$: Es ist $f(0)=4$, aber $g(0)=2$. Der Graph von $f$ ist doppelt so steil wie der von $g$.
Trotzdem haben $f$ und $g$ dieselben Nullstellen. Denn $f(x)=2\cdot g(x)$, und ein Produkt mit dem Faktor $2$ ist genau dann null, wenn $g(x)=0$ ist. Für die Nullstellen darf man also mit der normierten Funktion rechnen, für alles andere (Scheitelpunkt, y-Achsenabschnitt) nicht.
blau: $f(x)=2x^2-6x+4$   orange: $g(x)=x^2-3x+2$
grün: gemeinsame Nullstellen $1$ und $2$
Gleichung und Funktion
Dasselbe von zwei Seiten
Zur Gleichung $x^2-x-2=0$ gehört die quadratische Funktion $f(x)=x^2-x-2$. Ihr Graph ist eine Parabel.
Eine Nullstelle von $f$ ist eine Stelle $x$ mit $f(x)=0$. Das ist genau eine Lösung der Gleichung $x^2-x-2=0$. Im Graphen liegt dort ein Schnittpunkt mit der x-Achse.
$f(x)=x^2-x-2$ schneidet die x-Achse bei $x=-1$ und $x=2$.
Drei Namen für dieselben Zahlen
SichtweiseNameim Beispiel
GleichungLösungen von $ax^2+bx+c=0$$x_1=-1$, $x_2=2$
FunktionNullstellen von $f(x)=ax^2+bx+c$$x_1=-1$, $x_2=2$
GraphSchnittpunkte der Parabel mit der x-Achse$(-1\mid 0)$, $(2\mid 0)$
Eine Nullstelle ist eine Zahl, ein Schnittpunkt ist ein Punkt mit zwei Koordinaten. Die y-Koordinate ist dabei immer $0$.
Die Normalparabel
Der einfachste Fall
Die einfachste quadratische Funktion ist $f(x)=x^2$. Ihr Graph heißt Normalparabel.
$x$$-2$$-1$$0$$1$$2$
$x^2$$4$$1$$0$$1$$4$
Scheitelpunkt $S(0\mid 0)$, Symmetrieachse ist die y-Achse
Der tiefste Punkt heißt Scheitelpunkt, hier $S(0\mid 0)$. Die Parabel ist achsensymmetrisch: $x$ und $-x$ haben denselben Funktionswert. Die Symmetrieachse geht senkrecht durch den Scheitelpunkt.
Die Normalparabel berührt die x-Achse genau in einem Punkt: Die Gleichung $x^2=0$ hat genau eine Lösung, $x=0$.
Die Parabel wandert nach oben und unten
Eine Zahl addieren
$x$$-2$$-1$$0$$1$$2$
$x^2$$4$$1$$0$$1$$4$
$x^2+1$$5$$2$$1$$2$$5$
$x^2-4$$0$$-3$$-4$$-3$$0$
An jeder Stelle ist der Wert von $x^2+1$ um $1$ größer, der von $x^2-4$ um $4$ kleiner als der von $x^2$. Die ganze Parabel rutscht nach oben bzw. nach unten, ihre Form bleibt gleich. Dabei ändert sich, ob und wo sie die x-Achse trifft.
$f(x)=x^2-4$
2 Schnittpunkte
$f(x)=x^2$
1 Berührpunkt
$f(x)=x^2+1$
kein Schnittpunkt
0, 1 oder 2
Die zentrale Einsicht
Eine Parabel kann die x-Achse in zwei Punkten schneiden, in einem Punkt berühren oder sie gar nicht treffen. Mehr Möglichkeiten gibt es nicht. Deshalb gilt:
Parabel und x-AchseFunktionGleichung
$2$ Schnittpunkte$2$ Nullstellen$2$ Lösungen
$1$ Berührpunkt$1$ Nullstelle$1$ Lösung
kein gemeinsamer Punktkeine Nullstellekeine Lösung
Eine quadratische Gleichung hat also nie mehr als zwei Lösungen. Eine Lösung oder keine Lösung ist kein Rechenfehler, sondern ein mögliches Ergebnis.
Die Parabel wandert nach links und rechts
In der Klammer abziehen
$x$$-1$$0$$1$$2$$3$$4$$5$
$x^2$$1$$0$$1$$4$$9$$16$$25$
$(x-2)^2$$9$$4$$1$$0$$1$$4$$9$
Jeder Wert von $x^2$ erscheint bei $(x-2)^2$ zwei Stellen weiter rechts. Damit in der Klammer dieselbe Zahl steht, muss $x$ um $2$ größer sein. Der Scheitelpunkt wandert nach $S(2\mid 0)$, also nach rechts, obwohl ein Minus dasteht. Entsprechend wandert $(x+3)^2$ um $3$ nach links.
Die Scheitelpunktform
Alles zusammen
$$f(x)=a\,(x-d)^2+e$$
Der Scheitelpunkt ist $S(d\mid e)$. Der Faktor $a$ bestimmt die Form: Für $a>0$ ist die Parabel nach oben geöffnet, für $a<0$ nach unten. Ist $|a|>1$, ist sie schmaler als die Normalparabel, für $|a|<1$ breiter.
Anzahl der Nullstellen am Scheitelpunkt ablesen
  • Nach oben geöffnet ($a>0$): Liegt $S$ unter der x-Achse ($e<0$), gibt es $2$ Nullstellen. Liegt $S$ auf der x-Achse ($e=0$), gibt es $1$. Liegt $S$ darüber ($e>0$), gibt es keine.
  • Nach unten geöffnet ($a<0$): genau umgekehrt. Liegt $S$ über der x-Achse, gibt es $2$ Nullstellen.
Beispiel: $f(x)=-2(x+1)^2+3$ ist nach unten geöffnet, $S(-1\mid 3)$ liegt oberhalb der x-Achse, also hat $f$ zwei Nullstellen.
Interaktiv
Lass die Normalparabel wandern. Der rote Pfeil zeigt, wohin der Scheitelpunkt wandert. Schiebe die Parabel über die x-Achse und beobachte, wie aus zwei Nullstellen erst eine und dann keine wird.
Symmetrie und Scheitelpunkt
Die Nullstellen liegen symmetrisch
Weil die Parabel achsensymmetrisch ist, liegen zwei Nullstellen immer gleich weit links und rechts von der Symmetrieachse. Der Scheitelpunkt liegt also genau in der Mitte zwischen den Nullstellen:
$$x_S=\frac{x_1+x_2}{2}$$
Beispiel: $f(x)=x^2-x-2$ hat die Nullstellen $-1$ und $2$. Also ist $x_S=\frac{-1+2}{2}=0{,}5$ und $y_S=f(0{,}5)=0{,}25-0{,}5-2=-2{,}25$, also $S(0{,}5\mid -2{,}25)$.
Die Symmetrieachse $x=0{,}5$ liegt genau in der Mitte zwischen $-1$ und $2$.
Der Scheitelpunkt aus der allgemeinen Form
Für $f(x)=ax^2+bx+c$ zuerst ohne $c$: Die Funktion $h(x)=ax^2+bx=x\,(ax+b)$ wird null für $x=0$ und für $ax+b=0$, also für $x=-\frac{b}{a}$. Ihr Scheitelpunkt liegt in der Mitte, bei $x=-\frac{b}{2a}$.
Das absolute Glied $c$ verschiebt die Parabel nur nach oben oder unten. Die Stelle des Scheitelpunkts ändert sich dabei nicht. Also gilt für jede quadratische Funktion:
$$x_S=-\frac{b}{2a},\qquad y_S=f(x_S)$$
Probe: $f(x)=x^2-x-2$ mit $a=1$, $b=-1$: $\;x_S=-\frac{-1}{2}=0{,}5$ ✓
Einstieg
Eine Parabel, drei Terme
Die drei Terme
$-x^2+2x+3$     $-(x-1)^2+4$     $-(x+1)(x-3)$
beschreiben dieselbe Funktion. Ausmultiplizieren zeigt es:
$-(x-1)^2+4$ $\;=-(x^2-2x+1)+4$ $\;=-x^2+2x+3$
$-(x+1)(x-3)$ $\;=-(x^2-3x+x-3)$ $\;=-x^2+2x+3$
Jeder Term verrät aber etwas anderes auf einen Blick.
Scheitelpunkt $S(1\mid 4)$, Nullstellen $-1$ und $3$, y-Achsenabschnitt $3$
Die vier Formen
FormTermWas man sofort siehtim Beispiel
allgemeine Form$ax^2+bx+c$Öffnung ($a$), y-Achsenabschnitt $c$, denn $f(0)=c$$-x^2+2x+3$
Normalform$x^2+px+q$Sonderfall $a=1$: nach oben geöffnete Normalparabel—
Scheitelpunktform$a(x-d)^2+e$Scheitelpunkt $S(d\mid e)$, Öffnung$-(x-1)^2+4$
Linearfaktorform$a(x-x_1)(x-x_2)$Nullstellen $x_1$ und $x_2$, Öffnung$-(x+1)(x-3)$
Achtung bei der Linearfaktorform
  • In der Klammer steht $x$ minus Nullstelle. Aus $(x+1)$ liest man die Nullstelle $-1$ ab, aus $(x-3)$ die Nullstelle $3$.
  • Hat die Funktion nur eine Nullstelle, kommt sie doppelt vor: $a(x-x_1)^2$. Linearfaktorform und Scheitelpunktform fallen dann zusammen.
  • Hat die Funktion keine Nullstelle, gibt es keine Linearfaktorform.
Von Form zu Form
Hin ist leicht, zurück ist die Arbeit
Von der Scheitelpunktform oder der Linearfaktorform zur allgemeinen Form kommt man immer durch Ausmultiplizieren. Die Gegenrichtungen sind die eigentliche Arbeit:
vonnachWerkzeug
allgemeine FormLinearfaktorformFaktorisieren (Tab „Faktorisieren“)
allgemeine FormScheitelpunktformQuadratische Ergänzung (Tab „Ergänzung“)
Eine quadratische Gleichung lösen heißt also: die linke Seite in eine Form bringen, in der man die Nullstellen ablesen oder leicht ausrechnen kann. Jede Lösungsmethode ist ein Weg von der allgemeinen Form zu einer anderen Form.
Interaktiv
Stelle mit den Reglern eine Parabel in Scheitelpunktform ein. Rechts siehst du dieselbe Funktion in den anderen Formen. Beobachte, wann die Linearfaktorform verschwindet und wann ihre Zahlen „krumm“ werden.
Einstieg
Wenn ein Glied fehlt
In $ax^2+bx+c=0$ ist nur $a\neq 0$ vorgeschrieben. Ist $b=0$ oder $c=0$, heißt die Gleichung unvollständig. Solche Gleichungen löst man ohne jede Formel, und sie kommen sehr oft vor.
FallGleichungBeispiel
$b=0$$ax^2+c=0$$2x^2-18=0$
$c=0$$ax^2+bx=0$$3x^2-12x=0$
$b=c=0$$ax^2=0$$5x^2=0$
Fall 1 · Ohne lineares Glied
Nach x² auflösen, dann Wurzel ziehen
$2x^2-18=0$ $\;\Longrightarrow\; 2x^2=18$ $\;\Longrightarrow\; x^2=9$ $\;\Longrightarrow\; x=3\;$ oder $\;x=-3$
Beide Zahlen ergeben quadriert $9$. Wer nur $x=3$ schreibt, verliert eine Lösung. Kurz schreibt man $x_{1,2}=\pm 3$.
Wie viele Lösungen hat x² = r?
  • $r>0$: zwei Lösungen, $x_{1,2}=\pm\sqrt{r}$. Beispiel: $x^2=7$, also $x_{1,2}=\pm\sqrt 7\approx\pm 2{,}65$
  • $r=0$: eine Lösung, $x=0$
  • $r<0$: keine Lösung, denn ein Quadrat ist nie negativ. Beispiel: $x^2+4=0$, also $x^2=-4$
Dasselbe mit Klammer
Der Trick funktioniert auch, wenn statt $x$ eine Klammer quadriert wird:
$(x-1)^2=4$ $\;\Longrightarrow\; x-1=2\;$ oder $\;x-1=-2$ $\;\Longrightarrow\; x_1=3,\;\; x_2=-1$
Diese Form wird bei der quadratischen Ergänzung wichtig: Dort bringt man jede Gleichung in genau diese Gestalt.
Fall 2 · Ohne absolutes Glied
Der Satz vom Nullprodukt
Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist:
$$u\cdot v=0\quad\Longleftrightarrow\quad u=0\;\text{ oder }\;v=0$$
Das gilt nur für die Null. Aus $u\cdot v=6$ folgt nichts Entsprechendes.
x ausklammern
$3x^2-12x=0$ $\;\Longrightarrow\; 3x\,(x-4)=0$
Nach dem Satz vom Nullprodukt ist $3x=0$ oder $x-4=0$, also $x_1=0$ und $x_2=4$.
Allgemein: $ax^2+bx=x\,(ax+b)=0$ hat immer die beiden Lösungen $x_1=0$ und $x_2=-\frac{b}{a}$.
Typischer Fehler: durch x teilen
$3x^2=12x\;\;\big|:x$   $\Longrightarrow$   $3x=12$   $\Longrightarrow$   $x=4$   Lösung $x=0$ verloren!
Durch $x$ darf man nur teilen, wenn $x\neq 0$ ist, und genau das weiß man vorher nicht. Darum wird $x$ nie gekürzt, sondern ausgeklammert.
Fall 3 · Nur das quadratische Glied
Eine doppelte Lösung
$5x^2=0$ $\;\Longrightarrow\; x^2=0$ $\;\Longrightarrow\; x=0$. Das ist die einzige Lösung. Man nennt sie eine doppelte Lösung, weil $5x^2=5\cdot x\cdot x$ den Faktor $x$ zweimal enthält. Die Parabel berührt die x-Achse im Scheitelpunkt.
Im Graphen
$b=0$: $\;0{,}5x^2-2$
symmetrisch zur y-Achse
$c=0$: $\;x^2-3x$
geht durch den Ursprung
$b=c=0$: $\;2x^2$
Scheitelpunkt im Ursprung
FallWegLösungenGraph
$b=0$nach $x^2$ auflösen, Wurzel ziehen$2$, $1$ oder keineScheitelpunkt auf der y-Achse
$c=0$$x$ ausklammern, Nullproduktimmer $2$: $0$ und $-\frac{b}{a}$geht durch den Ursprung
$b=c=0$durch $a$ teilennur $x=0$Scheitelpunkt im Ursprung
Die Idee
Rückwärts ausmultiplizieren
Die Gleichung $(x-3)(x-5)=0$ ist mit dem Satz vom Nullprodukt sofort gelöst: $x_1=3$, $x_2=5$. Multipliziert man sie aus, erhält man
$(x-3)(x-5)=x^2-5x-3x+15=x^2-8x+15$.
Wer also $x^2-8x+15=0$ lösen soll, muss nur den Rückweg finden: die linke Seite als Produkt schreiben. Das heißt Faktorisieren. Das Ergebnis ist die Linearfaktorform.
Werkzeug 1 · Ausklammern
Gemeinsame Faktoren zuerst
Steht in allen Gliedern derselbe Faktor, wird er ausgeklammert, zum Beispiel $x$ wie im Tab „Unvollständig“ oder eine Zahl:
$3x^2+6x-24=3\,(x^2+2x-8)$
Bei einer Gleichung darf man den Zahlenfaktor danach auch einfach wegteilen: Aus $3x^2+6x-24=0$ wird $x^2+2x-8=0$.
Werkzeug 2 · Binomische Formeln
Rückwärts gelesen
$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$     $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
GleichungfaktorisiertLösungen
$x^2-6x+9=0$$(x-3)^2=0$$x=3$ (doppelt)
$x^2+10x+25=0$$(x+5)^2=0$$x=-5$ (doppelt)
Eine Gleichung, die die 1. oder 2. binomische Formel ist, hat immer genau eine (doppelte) Lösung.
Die 3. binomische Formel $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ führt auf Gleichungen ohne lineares Glied wie $x^2-25=0$. Die löst man schneller direkt: $x^2=25$, also $x_{1,2}=\pm 5$ (Tab „Unvollständig“).
Werkzeug 3 · Zwei Zahlen suchen
Was beim Ausmultiplizieren passiert
Multipliziert man $(x+m)(x+n)$ allgemein aus, erhält man
$$(x+m)(x+n)=x^2+(m+n)\,x+m\cdot n$$
Um $x^2+px+q$ zu faktorisieren, sucht man also zwei Zahlen $m$ und $n$ mit
$$m+n=p\qquad\text{und}\qquad m\cdot n=q$$
Systematisch suchen
Beispiel: $x^2+x-12=0$, also $p=1$ und $q=-12$. Man geht alle Zerlegungen von $-12$ in zwei ganze Zahlen durch und prüft die Summe:
$m\cdot n$$1\cdot(-12)$$-1\cdot 12$$2\cdot(-6)$$-2\cdot 6$$3\cdot(-4)$$-3\cdot 4$
$m+n$$-11$$11$$-4$$4$$-1$$1$
Gefunden: $m=-3$, $n=4$. Also $x^2+x-12=(x-3)(x+4)=0$ mit den Lösungen $x_1=3$ und $x_2=-4$.
Die Vorzeichen helfen beim Suchen: Ist $q>0$, haben beide Zahlen dasselbe Vorzeichen, und zwar das von $p$. Ist $q<0$, haben sie verschiedene Vorzeichen.
Vorgehen Schritt für Schritt
Eine Gleichung durch Faktorisieren lösen
  • Alles auf eine Seite bringen, sodass rechts $0$ steht.
  • Gemeinsame Faktoren ausklammern, bei Zahlen normieren.
  • Binomische Formel prüfen.
  • Sonst zwei Zahlen mit Summe $p$ und Produkt $q$ suchen.
  • Mit dem Satz vom Nullprodukt die Lösungen ablesen.
  • Probe durch Einsetzen.
Beispiel 1 · Mit Zahlenfaktor
Worum es geht
Gelöst werden soll $3x^2+6x-24=0$. Vor dem $x^2$ steht eine $3$, die beim Suchen stört.
Lösung
Durch $3$ teilen: $x^2+2x-8=0$, also $p=2$ und $q=-8$.
Zwei Zahlen mit Produkt $-8$ und Summe $2$: $\;4$ und $-2$.
$(x+4)(x-2)=0$ $\;\Longrightarrow\;$ $x_1=-4,\;\; x_2=2$
Probe mit $x=2$ in der Ausgangsgleichung: $3\cdot 4+12-24=0$ ✓
Beispiel 2 · Erst umformen
Worum es geht
Gelöst werden soll $x\,(x+3)=10$. Die linke Seite ist schon ein Produkt. Darf man jetzt $x=10$ oder $x+3=10$ setzen?
Lösung
Nein. Der Satz vom Nullprodukt gilt nur, wenn rechts eine $0$ steht. Mit $x=10$ wäre die linke Seite $10\cdot 13=130$.
Also zuerst ausmultiplizieren und alles auf eine Seite bringen: $x^2+3x-10=0$.
Produkt $-10$, Summe $3$: $\;5$ und $-2$. Also $(x+5)(x-2)=0$ $\;\Longrightarrow\;$ $x_1=-5,\;\; x_2=2$
Probe: $2\cdot 5=10$ ✓ und $(-5)\cdot(-2)=10$ ✓
Wann lohnt sich das?
Stärken und Grenzen
  • Faktorisieren ist der schnellste Weg, wenn die Lösungen ganze Zahlen (oder einfache Brüche) sind und man das Zahlenpaar schnell findet.
  • Das Ergebnis ist zugleich die Linearfaktorform der Funktion.
  • Die Grenze: $x^2-2x-1=0$ hat die Lösungen $1+\sqrt 2$ und $1-\sqrt 2$. Kein Paar ganzer Zahlen hat Produkt $-1$ und Summe $-2$. Hier hilft nur ein Verfahren, das immer funktioniert: die quadratische Ergänzung.
Die Idee
Auf ein Quadrat zurückführen
Die Gleichung $x^2-2x-1=0$ lässt sich nicht mit ganzen Zahlen faktorisieren. Aber $x^2-2x$ ist fast ein vollständiges Quadrat: $(x-1)^2=x^2-2x+1$. Es fehlt nur die $1$.
Also addieren wir auf beiden Seiten so viel, dass links ein vollständiges Quadrat steht:
$x^2-2x-1=0$ $\;\Longrightarrow\; x^2-2x=1$ $\;\Longrightarrow\; x^2-2x+1=1+1$ $\;\Longrightarrow\; (x-1)^2=2$
Das ist der Fall „Klammer im Quadrat“ aus dem Tab „Unvollständig“:
$x-1=\pm\sqrt 2$ $\;\Longrightarrow\;$ $x_{1,2}=1\pm\sqrt 2$, also $x_1\approx 2{,}41$ und $x_2\approx -0{,}41$.
$f(x)=x^2-2x-1=(x-1)^2-2$: Scheitelpunkt $S(1\mid -2)$,
Nullstellen symmetrisch um $x=1$
Ein Blick in die Geschichte
Über den Lehrplan hinaus
Al-Chwarizmi ergänzt wirklich ein Quadrat
Der Name „quadratische Ergänzung“ ist wörtlich gemeint. Schon um 820 hat der Mathematiker al-Chwarizmi in Bagdad solche Gleichungen mit Flächen gelöst.
Sein berühmtestes Beispiel ist $x^2+10x=39$. Er stellt $x^2$ als Quadrat mit der Seite $x$ dar. Die $10x$ teilt er in zwei Rechtecke $5\cdot x$ und legt sie an zwei Seiten des Quadrats an. Zu einem großen Quadrat fehlt nur noch die Ecke $5\cdot 5=25$.
Ergänzt man die Ecke, wächst die Fläche von $39$ auf $39+25=64$. Das große Quadrat hat also die Seite $8$:
$(x+5)^2=64$ $\;\Longrightarrow\; x+5=8$ $\;\Longrightarrow\; x=3$
Die zweite Lösung $x=-13$ fehlt im Bild, denn eine Seitenlänge ist nie negativ. Probe: $(-13)^2+10\cdot(-13)=169-130=39$ ✓. Hier sieht man, was die Algebra mehr kann als die Geometrie.
Al-Chwarizmis Buch trug im Titel das Wort al-ǧabr, daraus wurde „Algebra“. Aus seinem Namen entstand das Wort „Algorithmus“.
Vorgehen Schritt für Schritt
Für eine normierte Gleichung
  • Auf die Normalform $x^2+px+q=0$ bringen (eventuell durch $a$ teilen).
  • Das absolute Glied auf die rechte Seite bringen: $x^2+px=-q$.
  • Auf beiden Seiten das Quadrat der Hälfte von $p$ addieren: $x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$.
  • Links die binomische Formel anwenden: $\left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$.
  • Die rechte Seite entscheidet: positiv, dann zwei Lösungen; null, dann eine; negativ, dann keine.
  • Wurzel ziehen (mit $\pm$) und nach $x$ auflösen.
Gleichung oder Funktion?
Bei einer Gleichung addiert man die Ergänzung auf beiden Seiten. Bei einer Funktion gibt es keine zweite Seite. Dort addiert und subtrahiert man sie im selben Term und erhält die Scheitelpunktform:
$f(x)=x^2-2x-1$ $\;=x^2-2x+1-1-1$ $\;=(x-1)^2-2$
Beides ist dieselbe Rechnung. Die Zahl rechts in $(x-1)^2=2$ ist genau das Negative der y-Koordinate des Scheitelpunkts $S(1\mid -2)$.
Beispiel 1 · Zwei Lösungen
Worum es geht
Gelöst werden soll $x^2+6x+5=0$, mit $p=6$ und $q=5$.
Lösung
$x^2+6x=-5$. Die Hälfte von $6$ ist $3$, also $3^2=9$ ergänzen:
$x^2+6x+9=-5+9$ $\;\Longrightarrow\; (x+3)^2=4$
$x+3=2$ oder $x+3=-2$ $\;\Longrightarrow\;$ $x_1=-1,\;\; x_2=-5$
Beispiel 2 · Keine Lösung
Worum es geht
Gelöst werden soll $x^2+4x+7=0$.
Lösung
$x^2+4x=-7$ $\;\Longrightarrow\; x^2+4x+4=-7+4$ $\;\Longrightarrow\; (x+2)^2=-3$
Ein Quadrat ist nie negativ. Die Gleichung hat keine Lösung. Im Graphen: Die Parabel $f(x)=(x+2)^2+3$ ist nach oben geöffnet, und ihr Scheitelpunkt $S(-2\mid 3)$ liegt über der x-Achse.
$f(x)=x^2+4x+7$ trifft die x-Achse nicht.
Beispiel 3 · Mit Faktor vor dem x²
Worum es geht
Gelöst werden soll $3x^2+4x-4=0$. Zuerst muss die Gleichung normiert werden.
Lösung
Durch $3$ teilen: $x^2+\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}=0$ $\;\Longrightarrow\; x^2+\frac{4}{3}x=\frac{4}{3}$
Die Hälfte von $\frac{4}{3}$ ist $\frac{2}{3}$, also $\frac{4}{9}$ ergänzen: $\;\left(x+\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{3}+\frac{4}{9}=\frac{16}{9}$
$x+\frac{2}{3}=\pm\frac{4}{3}$ $\;\Longrightarrow\;$ $x_1=\frac{2}{3},\;\; x_2=-2$
Das klappt, ist aber mühsam: Durch das Teilen entstehen Brüche, und mit Brüchen ergänzt es sich schlecht.
Zusatz · Die Übertragung
Über den Lehrplan hinaus
Multiplizieren statt teilen
Brüche lassen sich vermeiden. Statt durch $a$ zu teilen, multipliziert man mit $a$. Dann wird der erste Summand ein Quadrat:
$3x^2+4x-4=0\;\;\big|\cdot 3$   $\Longrightarrow$   $9x^2+12x-12=0$   $\Longrightarrow$   $(3x)^2+4\cdot(3x)-12=0$
Mit $t=3x$ steht da eine normierte Gleichung mit ganzen Zahlen:
$t^2+4t-12=0$ $\;\Longrightarrow\; (t+2)^2=16$ $\;\Longrightarrow\; t_1=2,\;\; t_2=-6$
Zurück zu $x=\frac{t}{3}$: $x_1=\frac{2}{3},\;\; x_2=-2$, wie in Beispiel 3.
Allgemein
Aus $ax^2+bx+c=0$ wird durch Multiplikation mit $a$ und die Ersetzung $t=ax$ die Gleichung
$$t^2+bt+ac=0$$
Der Koeffizient $a$ „wandert“ zum absoluten Glied hinüber, daher der Name Übertragung. Die neue Gleichung ist normiert und hat ganzzahlige Koeffizienten, wenn die alte sie hatte. Am Ende teilt man die Lösungen $t$ durch $a$. Die neue Gleichung kann man ergänzen oder, wie hier, oft auch gleich faktorisieren: $t^2+4t-12=(t+6)(t-2)$.
Wann lohnt sich das?
Stärken und Grenzen
  • Die quadratische Ergänzung funktioniert immer, auch wenn die Lösungen Wurzeln sind oder es keine Lösung gibt.
  • Besonders bequem ist sie, wenn $p$ eine gerade Zahl ist. Dann ist $\frac{p}{2}$ ganz.
  • Nebenbei liefert sie den Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel.
  • Bei krummen Koeffizienten wird sie rechenaufwendig. Die Übertragung hilft, wenn $a\neq 1$ ist.
Interaktiv
Verändere p und q in $x^2+px+q=0$. Rechts läuft die quadratische Ergänzung Schritt für Schritt mit. Achte auf die rechte Seite der vorletzten Zeile: Ihr Vorzeichen entscheidet über die Anzahl der Lösungen, und im Graphen siehst du, warum.
Offene Frage
Geht das ein für alle Mal?
Bei jeder Gleichung haben wir dieselben Schritte wiederholt, nur mit anderen Zahlen. Was passiert, wenn man die quadratische Ergänzung einmal mit den Buchstaben $p$ und $q$ durchrechnet? Dann muss man nie wieder ergänzen, sondern nur noch einsetzen:
Übung 1 · Begriffe
AufgabeKoeffizienten bestimmen und normieren
Bringe jede Gleichung in die allgemeine Form und gib $a$, $b$ und $c$ an. Normiere sie dann und gib $p$ und $q$ an.
a) $4x^2-8x+12=0$    b) $x^2=6-5x$    c) $7x-2x^2=0$    d) $3(x^2-1)=x$
a) $a=4$, $b=-8$, $c=12$; normiert $x^2-2x+3=0$, $p=-2$, $q=3$
b) $x^2+5x-6=0$: $a=1$, $b=5$, $c=-6$; schon normiert, $p=5$, $q=-6$
c) $-2x^2+7x=0$: $a=-2$, $b=7$, $c=0$; normiert $x^2-3{,}5x=0$, $p=-3{,}5$, $q=0$
d) $3x^2-3=x$, also $3x^2-x-3=0$: $a=3$, $b=-1$, $c=-3$; normiert $x^2-\frac{1}{3}x-1=0$, $p=-\frac{1}{3}$, $q=-1$
Übung 2 · Parabel
AufgabeWie viele Nullstellen? Ohne zu rechnen!
Gib den Scheitelpunkt und die Öffnung an und entscheide, wie viele Nullstellen die Funktion hat.
a) $f(x)=(x-4)^2-1$    b) $f(x)=2(x+1)^2+3$    c) $f(x)=-(x-2)^2+5$    d) $f(x)=-3(x+5)^2$    e) $f(x)=-0{,}5x^2-2$
a) $S(4\mid -1)$, nach oben, unter der x-Achse: 2 Nullstellen
b) $S(-1\mid 3)$, nach oben, über der x-Achse: keine
c) $S(2\mid 5)$, nach unten, über der x-Achse: 2
d) $S(-5\mid 0)$, auf der x-Achse: 1
e) $S(0\mid -2)$, nach unten, unter der x-Achse: keine
Übung 3 · Darstellungsformen
AufgabeVon der Scheitelpunktform zu den anderen Formen
Gegeben ist $f(x)=-(x-2)^2+9$.
a) Gib den Scheitelpunkt an und bringe $f$ in die allgemeine Form.
b) Bestimme die Nullstellen, indem du $-(x-2)^2+9=0$ nach dem Muster „Klammer im Quadrat“ löst.
c) Gib die Linearfaktorform an und prüfe sie durch Ausmultiplizieren.
a) $S(2\mid 9)$; $\;f(x)=-(x^2-4x+4)+9=-x^2+4x+5$
b) $(x-2)^2=9$ $\;\Longrightarrow\; x-2=\pm 3$ $\;\Longrightarrow\; x_1=5,\;\; x_2=-1$
c) $f(x)=-(x-5)(x+1)$; $\;-(x^2+x-5x-5)=-(x^2-4x-5)=-x^2+4x+5$ ✓
Übung 4 · Unvollständige Gleichungen
AufgabeOhne Formel lösen
a) $5x^2-45=0$    b) $4x^2+7x=0$    c) $x^2+16=0$    d) $(x+2)^2=9$    e) $7x^2=0$    f) $2x^2=3x$
a) $x^2=9$, $\;x_{1,2}=\pm 3$
b) $x\,(4x+7)=0$, $\;x_1=0$, $x_2=-\frac{7}{4}=-1{,}75$
c) $x^2=-16$: keine Lösung
d) $x+2=\pm 3$, $\;x_1=1$, $x_2=-5$
e) $x=0$ (doppelte Lösung)
f) $2x^2-3x=0$, $\;x\,(2x-3)=0$, $\;x_1=0$, $x_2=1{,}5$. Nicht durch $x$ teilen!
Übung 5 · Faktorisieren
AufgabeDurch Faktorisieren lösen
a) $x^2-9x+20=0$    b) $x^2+2x-15=0$    c) $2x^2-8x-10=0$    d) $x^2-12x+36=0$    e) $x^2+7x+12=0$    f) $x\,(x-1)=12$
a) $(x-4)(x-5)=0$, $\;x_1=4$, $x_2=5$
b) $(x+5)(x-3)=0$, $\;x_1=-5$, $x_2=3$
c) $:2$: $\;x^2-4x-5=0$, $\;(x-5)(x+1)=0$, $\;x_1=5$, $x_2=-1$
d) $(x-6)^2=0$, $\;x=6$ (doppelt)
e) $(x+3)(x+4)=0$, $\;x_1=-3$, $x_2=-4$
f) $x^2-x-12=0$, $\;(x-4)(x+3)=0$, $\;x_1=4$, $x_2=-3$
Übung 6 · Quadratische Ergänzung
AufgabeMit quadratischer Ergänzung lösen
a) $x^2+8x+12=0$    b) $x^2-6x+4=0$    c) $x^2+3x-10=0$    d) $x^2-4x+5=0$    e) $2x^2-12x+10=0$
a) $x^2+8x+16=-12+16$, $\;(x+4)^2=4$, $\;x_1=-2$, $x_2=-6$
b) $x^2-6x+9=-4+9$, $\;(x-3)^2=5$, $\;x_{1,2}=3\pm\sqrt 5$, also $x_1\approx 5{,}24$, $x_2\approx 0{,}76$
c) $x^2+3x+2{,}25=10+2{,}25$, $\;(x+1{,}5)^2=12{,}25$, $\;x+1{,}5=\pm 3{,}5$, $\;x_1=2$, $x_2=-5$
d) $x^2-4x+4=-5+4$, $\;(x-2)^2=-1$: keine Lösung
e) $:2$: $\;x^2-6x+5=0$, $\;(x-3)^2=4$, $\;x_1=5$, $x_2=1$
Übung 7 · Übertragung
Über den Lehrplan hinausBrüche vermeiden
Löse mit der Übertragung $t=ax$:   a) $2x^2+5x-3=0$    b) $5x^2-7x+2=0$
a) $\cdot 2$: $\;(2x)^2+5\cdot(2x)-6=0$, also $t^2+5t-6=0$, $\;(t+6)(t-1)=0$, $\;t_1=1$, $t_2=-6$, also $x_1=\frac{1}{2}$, $x_2=-3$
b) $\cdot 5$: $\;(5x)^2-7\cdot(5x)+10=0$, also $t^2-7t+10=0$, $\;(t-2)(t-5)=0$, $\;t_1=2$, $t_2=5$, also $x_1=\frac{2}{5}$, $x_2=1$
Übung 8 · Fehler finden
AufgabeWas ist hier schiefgegangen?
a) Tim löst $x^2=5x$ so: „Ich teile durch $x$ und erhalte $x=5$.“
b) Ella löst $x^2=16$ so: „$x=4$.“
c) Jonas löst $(x-1)(x+2)=4$ so: „$x-1=4$ oder $x+2=4$, also $x=5$ oder $x=2$.“
a) Beim Teilen durch $x$ geht die Lösung $x=0$ verloren. Richtig: $x\,(x-5)=0$, $\;x_1=0$, $x_2=5$.
b) Die negative Lösung fehlt: $x_{1,2}=\pm 4$.
c) Der Satz vom Nullprodukt gilt nur für $0$ auf der rechten Seite. Probe: $(5-1)(5+2)=28\neq 4$. Richtig: $x^2+x-2=4$, also $x^2+x-6=0$, $\;(x+3)(x-2)=0$, $\;x_1=-3$, $x_2=2$.
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