Quadratische Gleichungen II – pq-Formel, Mitternachtsformel, Satz von Vieta

Rückblick

Wo dieses Modul anschließt

Dieses Modul setzt ← Quadratische Gleichungen I fort. Dort ging es um die allgemeine Form $ax^2+bx+c=0$, die Normalform $x^2+px+q=0$, die Parabel und zwei Lösungswege: Faktorisieren und quadratische Ergänzung.

Die quadratische Ergänzung funktioniert immer, aber man wiederholt bei jeder Gleichung dieselben Schritte. In diesem Modul wird sie einmal allgemein durchgerechnet. Heraus kommen Formeln, in die man nur noch einsetzt.

Die Idee

Noch einmal ergänzen

Gelöst werden soll $x^2-10x+21=0$. Mit der quadratischen Ergänzung geht das so:

$x^2-10x=-21$ $\;\Longrightarrow\; x^2-10x+25=-21+25$ $\;\Longrightarrow\; (x-5)^2=4$

$x-5=\pm 2$ $\;\Longrightarrow\;$ $x_1=7,\;\; x_2=3$

Bei jeder anderen normierten Gleichung ändern sich nur die Zahlen. Rechnet man dieselben Schritte einmal mit $p$ und $q$ statt mit Zahlen, muss man nie wieder ergänzen.

Die pq-Formel

Für jede normierte quadratische Gleichung $x^2+px+q=0$ gilt:

$$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$$

In Worten: die Hälfte von $p$ mit umgekehrtem Vorzeichen, plus oder minus die Wurzel aus „Hälfte von $p$ zum Quadrat minus $q$“. Mit $+$ erhält man $x_1$, mit $-$ erhält man $x_2$.

Links stehen die Schritte mit Zahlen, rechts dieselben Schritte mit Buchstaben:

Schritt	mit Zahlen	mit Buchstaben
Gleichung	$x^2-10x+21=0$	$x^2+px+q=0$
absolutes Glied nach rechts	$x^2-10x=-21$	$x^2+px=-q$
Quadrat der Hälfte von $p$	$(-5)^2=25$	$\left(\frac{p}{2}\right)^2$
auf beiden Seiten addieren	$x^2-10x+25=-21+25$	$x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$
binomische Formel	$(x-5)^2=4$	$\left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$
Wurzel ziehen	$x-5=\pm 2$	$x+\frac{p}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
nach $x$ auflösen	$x=5\pm 2$	$x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$

Die letzte Zeile rechts ist die Formel. Das Wurzelziehen ist nur möglich, wenn die rechte Seite nicht negativ ist. Genau darum geht es im nächsten Abschnitt.

Was unter der Wurzel steht

Drei Gleichungen, ein Unterschied

Die drei Gleichungen unterscheiden sich nur im absoluten Glied $q$. Entscheidend ist, was unter der Wurzel herauskommt:

Gleichung	$\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$	eingesetzt	Lösungen
$x^2+4x+3=0$	$4-3=1$	$x=-2\pm\sqrt{1}$	$x_1=-1,\;x_2=-3$
$x^2+4x+4=0$	$4-4=0$	$x=-2\pm\sqrt{0}$	$x=-2$ (doppelt)
$x^2+4x+5=0$	$4-5=-1$	$x=-2\pm\sqrt{-1}$	keine

$f(x)=x^2+4x+3$
2 Schnittpunkte

$f(x)=x^2+4x+4$
1 Berührpunkt

$f(x)=x^2+4x+5$
kein Schnittpunkt

Der Ausdruck unter der Wurzel entscheidet

Ist $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q>0$, gibt es zwei Lösungen.
Ist $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q=0$, gibt es eine (doppelte) Lösung, nämlich $x=-\frac{p}{2}$.
Ist $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q<0$, gibt es keine Lösung. Die Wurzel aus einer negativen Zahl gibt es nicht, denn kein Quadrat ist negativ.

Das ist kein Zufall. Der Ausdruck ist genau die rechte Seite der quadratischen Ergänzung und damit die Gegenzahl der y-Koordinate des Scheitelpunkts: $x^2+4x+3=(x+2)^2-1$ hat den Scheitelpunkt $S(-2\mid -1)$ unter der x-Achse. Es lohnt sich also, ihn zuerst auszurechnen. Im nächsten Tab bekommt er einen Namen.

Vorgehen Schritt für Schritt

Eine Gleichung mit der pq-Formel lösen

Alles auf eine Seite bringen, sodass rechts $0$ steht.
Normieren: Steht vor $x^2$ nicht $1$, durch $a$ teilen.
$p$ und $q$ mit Vorzeichen ablesen.
Den Ausdruck unter der Wurzel getrennt ausrechnen. Ist er negativ, ist man fertig: keine Lösung.
Einsetzen und $x_1$ (mit $+$) und $x_2$ (mit $-$) ausrechnen.
Probe durch Einsetzen.

Beispiel 1 · Zwei Lösungen

Gelöst werden soll $x^2-4x-21=0$.

Lösung

$p=-4$ und $q=-21$, also $\frac{p}{2}=-2$.

Unter der Wurzel: $(-2)^2-(-21)=4+21=25$. Das ist positiv, es gibt zwei Lösungen.

$x_{1,2}=2\pm\sqrt{25}=2\pm 5$ $\;\Longrightarrow\;$ $x_1=7,\;\; x_2=-3$

Probe mit $x=7$: $49-28-21=0$ ✓

Beispiel 2 · Die Wurzel bleibt stehen

Gelöst werden soll $x^2+2x-4=0$.

Lösung

$p=2$ und $q=-4$, also $\frac{p}{2}=1$. Unter der Wurzel: $1^2-(-4)=5$.

$x_{1,2}=-1\pm\sqrt 5$ $\;\Longrightarrow\;$ $x_1=-1+\sqrt 5\approx 1{,}24,\;\; x_2=-1-\sqrt 5\approx -3{,}24$

Die Wurzel geht nicht auf. Das exakte Ergebnis ist $-1\pm\sqrt 5$, die Dezimalzahlen sind gerundet. Faktorisieren mit ganzen Zahlen hätte hier nicht funktioniert.

Beispiel 3 · Erst normieren

Gelöst werden soll $2x^2-5x-3=0$. Vor dem $x^2$ steht eine $2$.

Lösung

Durch $2$ teilen: $x^2-\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}=0$, also $p=-\frac{5}{2}$ und $q=-\frac{3}{2}$, $\;\frac{p}{2}=-\frac{5}{4}$.

Unter der Wurzel: $\left(-\frac{5}{4}\right)^2+\frac{3}{2}=\frac{25}{16}+\frac{24}{16}=\frac{49}{16}$, und $\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{7}{4}$.

$x_{1,2}=\frac{5}{4}\pm\frac{7}{4}$ $\;\Longrightarrow\;$ $x_1=\frac{12}{4}=3,\;\; x_2=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$

Probe mit $x=3$ in der Ausgangsgleichung: $18-15-3=0$ ✓

Beim Normieren entstehen Brüche, mit denen man weiterrechnen und die man gleichnamig machen muss. Wie man das vermeidet, zeigt der nächste Tab.

Typischer Fehler

Das Vorzeichen von p und q

Bei $x^2-4x-21=0$ ist $p=-4$, nicht $4$. Vorne in der Formel steht dann $-\frac{p}{2}=-\frac{-4}{2}=+2$. Unter der Wurzel wird aus $-q$ der Wert $-(-21)=+21$.

Sicher wird es mit Klammern: Erst $p$ und $q$ mit Vorzeichen aufschreiben, dann eingesetzt in Klammern, also $(-2)^2-(-21)$.

Wann lohnt sich diese Formel?

Stärken und Grenzen

Die pq-Formel löst jede normierte quadratische Gleichung, auch wenn die Lösungen Wurzeln sind.
Am bequemsten ist sie, wenn $p$ gerade ist. Dann ist $\frac{p}{2}$ eine ganze Zahl.
Steht vor $x^2$ nicht $1$, muss man erst teilen, und dabei entstehen oft Brüche. Dafür gibt es eine bessere Formel, siehe nächster Tab.
Fehlt $p$ oder $q$, ist der Weg aus dem Tab „Unvollständig“ in Modul I schneller. Sind die Lösungen kleine ganze Zahlen, ist Faktorisieren oft schneller.

Einstieg

Wenn vor dem x² keine 1 steht

Gelöst werden soll $3x^2+5x-2=0$. Für die pq-Formel muss man zuerst durch $3$ teilen:

$x^2+\frac{5}{3}x-\frac{2}{3}=0$, also $p=\frac{5}{3}$, $q=-\frac{2}{3}$ und $\frac{p}{2}=\frac{5}{6}$.

$x_{1,2}=-\frac{5}{6}\pm\sqrt{\frac{25}{36}+\frac{2}{3}}$ $\;=-\frac{5}{6}\pm\sqrt{\frac{25}{36}+\frac{24}{36}}$ $\;=-\frac{5}{6}\pm\sqrt{\frac{49}{36}}$ $\;=-\frac{5}{6}\pm\frac{7}{6}$

Das ergibt $x_1=\frac{1}{3}$ und $x_2=-2$. Es klappt, aber mit Sechsteln und Sechsunddreißigsteln. Die Brüche entstehen nur durch das Teilen am Anfang. Besser wäre eine Formel, die direkt mit $a$, $b$ und $c$ arbeitet.

Die Formel

Die Mitternachtsformel

Für jede quadratische Gleichung $ax^2+bx+c=0$ mit $a\neq 0$ gilt:

$$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Der Name ist ein Scherz: Die Formel ist so wichtig, dass man sie auch aufsagen können soll, wenn man um Mitternacht geweckt wird. Sie heißt auch abc-Formel.

Die Herleitung ist eine quadratische Ergänzung mit den Buchstaben $a$, $b$ und $c$.

1. Durch $a$ teilen (erlaubt, weil $a\neq 0$) und das absolute Glied nach rechts bringen:

$ax^2+bx+c=0$ $\;\Longrightarrow\; x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$ $\;\Longrightarrow\; x^2+\dfrac{b}{a}x=-\dfrac{c}{a}$

2. Ergänzen: Die Hälfte von $\frac{b}{a}$ ist $\frac{b}{2a}$. Ihr Quadrat $\frac{b^2}{4a^2}$ wird auf beiden Seiten addiert:

$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}$

3. Binomische Formel links, rechts auf den Nenner $4a^2$ bringen:

$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{4ac}{4a^2}=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$

Der Nenner $4a^2$ ist immer positiv. Ob die rechte Seite negativ, null oder positiv ist, entscheidet also allein der Zähler $b^2-4ac$.

4. Wurzel ziehen. Die Wurzel aus dem Nenner ist $\sqrt{4a^2}=2\,|a|$. Wegen $\pm$ spielt das Vorzeichen von $a$ keine Rolle, man darf $2a$ schreiben:

$x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

5. Nach $x$ auflösen:

$x_{1,2}=-\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Die Diskriminante

Was unter der Wurzel steht, bekommt einen Namen

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante:

$$D=b^2-4ac$$

Das lateinische Wort discriminare heißt „unterscheiden“. Die Diskriminante unterscheidet die drei Fälle:

Diskriminante	Lösungen	Parabel und x-Achse
$D>0$	zwei: $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}$	zwei Schnittpunkte
$D=0$	eine (doppelte): $x=-\frac{b}{2a}$	Berührpunkt im Scheitelpunkt
$D<0$	keine	kein gemeinsamer Punkt

Für $D=0$ ist $x=-\frac{b}{2a}$ genau die Stelle des Scheitelpunkts aus Modul I.

Zusammenhang mit der pq-Formel

Die pq-Formel ist ein Sonderfall der Mitternachtsformel. Für eine normierte Gleichung ist $a=1$, $b=p$ und $c=q$. Eingesetzt:

$x_{1,2}=\dfrac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$ $\;=-\dfrac{p}{2}\pm\dfrac{\sqrt{p^2-4q}}{2}$ $\;=-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\dfrac{p^2-4q}{4}}$ $\;=-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$

Im zweiten Schritt wurde der Bruch aufgeteilt, im dritten die $2$ als $\sqrt 4$ unter die Wurzel gezogen. Heraus kommt genau die pq-Formel. Ihr Ausdruck unter der Wurzel ist $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q=\frac{D}{4}$, hat also dasselbe Vorzeichen wie $D$.

Herleitung ohne Brüche

Über den Lehrplan hinaus

Der Trick des Sridhara

Der indische Mathematiker Sridhara hat um 900 die Formel ganz ohne Brüche hergeleitet. Statt durch $a$ zu teilen, multipliziert er mit $4a$. Das erinnert an die Übertragung aus Modul I.

$ax^2+bx+c=0\;\;\big|\cdot 4a$ $\Longrightarrow$ $4a^2x^2+4abx+4ac=0$ $\Longrightarrow$ $4a^2x^2+4abx=-4ac$

Links stehen $(2ax)^2$ und $2\cdot(2ax)\cdot b$. Zum vollständigen Quadrat fehlt nur $b^2$, also wird $b^2$ auf beiden Seiten addiert:

$4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac$ $\Longrightarrow$ $(2ax+b)^2=b^2-4ac$

$2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}$ $\Longrightarrow$ $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Geteilt wird erst im allerletzten Schritt. Die Diskriminante steht schon vorher fertig auf der rechten Seite. Sie ist das Quadrat von $2ax+b$, darum kann sie nur dann eine Lösung liefern, wenn sie nicht negativ ist.

Mit Zahlen für das Einstiegsbeispiel: $3x^2+5x-2=0\;\;\big|\cdot 12$ $\Longrightarrow$ $36x^2+60x=24$ $\Longrightarrow$ $36x^2+60x+25=49$ $\Longrightarrow$ $(6x+5)^2=49$ $\Longrightarrow$ $6x+5=\pm 7$, also $x_1=\frac{1}{3}$ und $x_2=-2$. Kein einziger Bruch unterwegs.

Vorgehen Schritt für Schritt

In Stufen rechnen

Alles auf eine Seite bringen, sodass rechts $0$ steht.
$a$, $b$ und $c$ mit Vorzeichen ablesen.
Die Diskriminante $D=b^2-4ac$ getrennt berechnen. Ihr Vorzeichen sagt, wie viele Lösungen es gibt. Ist $D<0$, ist man fertig.
$\sqrt D$ ziehen. Jetzt sieht man, ob die Wurzel aufgeht.
In $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}$ einsetzen und beide Lösungen ausrechnen.
Probe durch Einsetzen.

Beispiel 1 · Das Einstiegsbeispiel

Gelöst werden soll noch einmal $3x^2+5x-2=0$, diesmal mit der Mitternachtsformel.

Lösung

$a=3$, $b=5$, $c=-2$

$D=5^2-4\cdot 3\cdot(-2)=25+24=49$. Es gibt zwei Lösungen, und $\sqrt{49}=7$ geht auf.

$x_{1,2}=\dfrac{-5\pm 7}{6}$ $\;\Longrightarrow\;$ $x_1=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\;\; x_2=\frac{-12}{6}=-2$

Probe mit $x=\frac{1}{3}$: $3\cdot\frac{1}{9}+\frac{5}{3}-2=\frac{1}{3}+\frac{5}{3}-2=0$ ✓

$f(x)=3x^2+5x-2$ mit den Nullstellen $-2$ und $\frac{1}{3}$

Beispiel 2 · Negatives a

Gelöst werden soll $-2x^2+3x+9=0$.

Lösung

$a=-2$, $b=3$, $c=9$

$D=3^2-4\cdot(-2)\cdot 9=9+72=81$, $\;\sqrt{81}=9$

$x_{1,2}=\dfrac{-3\pm 9}{-4}$ $\;\Longrightarrow\;$ $x_1=\frac{6}{-4}=-1{,}5,\;\; x_2=\frac{-12}{-4}=3$

Der Nenner $2a=-4$ ist negativ, das ist kein Problem. Wer negative Nenner nicht mag, multipliziert die Gleichung vorher mit $-1$: $2x^2-3x-9=0$ hat dieselben Lösungen.

Beispiel 3 · D = 0 und D < 0

Gelöst werden sollen a) $4x^2-12x+9=0$ und b) $5x^2+2x+1=0$.

Lösung

a) $D=(-12)^2-4\cdot 4\cdot 9=144-144=0$. Es gibt genau eine Lösung: $x=\frac{12}{8}=1{,}5$ (doppelt). Tatsächlich ist $4x^2-12x+9=(2x-3)^2$.

b) $D=2^2-4\cdot 5\cdot 1=4-20=-16<0$. Die Gleichung hat keine Lösung. Weiterrechnen ist nicht nötig.

Typischer Fehler

Negatives b und der Bruchstrich

Bei $2x^2-7x+3=0$ ist $b=-7$. Dann ist $-b=7$ und $b^2=(-7)^2=49$. Falsch wäre $-7^2=-49$, denn ohne Klammer wird nur die $7$ quadriert.

Richtig: $D=49-24=25$ und $x_{1,2}=\dfrac{7\pm 5}{4}$, also $x_1=3$ und $x_2=\frac{1}{2}$.

Außerdem steht der Bruchstrich unter dem ganzen Zähler $-b\pm\sqrt D$, nicht nur unter der Wurzel.

Interaktiv

Stelle $a$, $b$ und $c$ ein. Rechts wird in Stufen gerechnet: erst $D$, dann die Lösungen. Beobachte, wie das Vorzeichen von $D$ mit der Lage der Parabel zusammenhängt.

Wann lohnt sich diese Formel?

Stärken und Grenzen

Die Mitternachtsformel ist die universelle Formel: Sie löst jede quadratische Gleichung, ohne Normieren.
Sind $a$, $b$ und $c$ ganze Zahlen, bleibt bis zum letzten Schritt alles ganzzahlig. Brüche wie bei $p=\frac{b}{a}$ entstehen nicht.
Die Diskriminante zeigt schon vor dem eigentlichen Lösen, wie viele Lösungen es gibt und ob die Wurzel aufgeht.
Bei großen Koeffizienten wird $D$ groß. Ist $b$ gerade, geht es mit kleineren Zahlen, siehe nächster Tab.
Für unvollständige Gleichungen und für leicht faktorisierbare Gleichungen sind die Wege aus Modul I schneller.

Einstieg

Über den Lehrplan hinaus

Lauter gerade Zahlen

Gelöst werden soll $5x^2-14x+8=0$ mit der Mitternachtsformel:

$D=(-14)^2-4\cdot 5\cdot 8=196-160=36$ $\;\Longrightarrow\;$ $x_{1,2}=\dfrac{14\pm 6}{10}$, also $x_1=2$ und $x_2=0{,}8$.

Im letzten Bruch sind $14$, $6$ und $10$ alle gerade. Man rechnet also mit doppelt so großen Zahlen wie nötig, und $D=196-160$ ist sogar viermal so groß. Wenn $b$ gerade ist, lässt sich das vermeiden.

Die Formel

Die D₁-Formel für gerades b

Ist $b$ gerade, rechnet man mit der Hälfte $\frac{b}{2}$:

$$D_1=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac\qquad\qquad x_{1,2}=\dfrac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{D_1}}{a}$$

Im Einstiegsbeispiel ist $\frac{b}{2}=-7$, also $D_1=49-40=9$ und $x_{1,2}=\dfrac{7\pm 3}{5}$. Das ergibt wieder $x_1=2$ und $x_2=\frac{4}{5}$, aber mit kleineren Zahlen.

Ist $b$ gerade, schreibt man $b=2k$ mit $k=\frac{b}{2}$ und setzt in die Mitternachtsformel ein:

$D=(2k)^2-4ac=4k^2-4ac=4\,(k^2-ac)$, also $\sqrt D=2\sqrt{k^2-ac}$.

$x_{1,2}=\dfrac{-2k\pm 2\sqrt{k^2-ac}}{2a}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}$

Im letzten Schritt wurde durch $2$ gekürzt. Mit $k=\frac{b}{2}$ und $D_1=k^2-ac$ ist das die D₁-Formel.

Randbemerkung: D = 4 · D₁

Die Herleitung zeigt $D=4\,D_1$. Weil $4$ positiv ist, haben $D$ und $D_1$ immer dasselbe Vorzeichen. Darum entscheidet auch $D_1$ über die Anzahl der Lösungen: $D_1>0$ zwei, $D_1=0$ eine, $D_1<0$ keine.

Für $a=1$ ist die D₁-Formel genau die pq-Formel: $x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$.

Vorgehen Schritt für Schritt

Mit der D₁-Formel lösen

Allgemeine Form herstellen und prüfen, ob $b$ gerade ist.
Die Hälfte $\frac{b}{2}$ mit Vorzeichen aufschreiben.
$D_1=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac$ getrennt berechnen und am Vorzeichen die Anzahl der Lösungen ablesen.
In $x_{1,2}=\dfrac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{D_1}}{a}$ einsetzen. Im Nenner steht jetzt nur $a$, nicht $2a$.
Probe durch Einsetzen.

Beispiel 1 · Zwei Lösungen

Gelöst werden soll $3x^2+8x-3=0$.

Lösung

$b=8$ ist gerade, $\frac{b}{2}=4$.

$D_1=4^2-3\cdot(-3)=16+9=25$, $\;\sqrt{25}=5$

$x_{1,2}=\dfrac{-4\pm 5}{3}$ $\;\Longrightarrow\;$ $x_1=\frac{1}{3},\;\; x_2=-3$

Zum Vergleich mit der Mitternachtsformel: $D=64+36=100$ und $x_{1,2}=\dfrac{-8\pm 10}{6}$. Dasselbe Ergebnis, alles doppelt so groß.

Beispiel 2 · Negatives gerades b

Gelöst werden soll $5x^2-6x-8=0$.

Lösung

$\frac{b}{2}=-3$, also steht im Zähler $-\frac{b}{2}=3$.

$D_1=(-3)^2-5\cdot(-8)=9+40=49$, $\;\sqrt{49}=7$

$x_{1,2}=\dfrac{3\pm 7}{5}$ $\;\Longrightarrow\;$ $x_1=2,\;\; x_2=-\frac{4}{5}=-0{,}8$

Beispiel 3 · Die Wurzel bleibt stehen

Gelöst werden soll $2x^2+4x-3=0$.

Lösung

$\frac{b}{2}=2$, $\;D_1=2^2-2\cdot(-3)=4+6=10$

$x_{1,2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{10}}{2}$ $\;\Longrightarrow\;$ $x_1\approx 0{,}58,\;\; x_2\approx -2{,}58$

Mit der Mitternachtsformel stünde hier $\dfrac{-4\pm\sqrt{40}}{4}$. Man müsste erst $\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ erkennen, um zu kürzen.

Interaktiv

Dasselbe Werkzeug wie im vorigen Tab, jetzt mit $D_1$. Für ungerades $b$ ist der Knopf gesperrt. Vergleiche mit dem Knopf „Mit $D$“: Die Diskriminante ist immer genau viermal so groß.

Wann lohnt sich diese Formel?

Stärken und Grenzen

Nur für gerades $b$. Dann sind alle Zahlen kleiner als bei der Mitternachtsformel, und $D_1$ ist nur ein Viertel von $D$.
Besonders lohnend ist sie, wenn $b$ groß ist oder wenn die Wurzel nicht aufgeht, weil das Kürzen schon erledigt ist.
Für ungerades $b$ nimmt man die Mitternachtsformel.

Einstieg

Summe und Produkt der Lösungen

Hier sind vier normierte Gleichungen mit ihren Lösungen. Rechne jeweils die Summe und das Produkt der beiden Lösungen aus und vergleiche mit $p$ und $q$:

Gleichung	$p$	$q$	Lösungen	$x_1+x_2$	$x_1\cdot x_2$
$x^2-7x+10=0$	$-7$	$10$	$5$ und $2$	$7$	$10$
$x^2+3x-18=0$	$3$	$-18$	$3$ und $-6$	$-3$	$-18$
$x^2+9x+14=0$	$9$	$14$	$-2$ und $-7$	$-9$	$14$
$x^2-4x+1=0$	$-4$	$1$	$2+\sqrt 3$ und $2-\sqrt 3$	$4$	$1$

Die Summe ist immer die Gegenzahl von $p$, das Produkt ist immer $q$. In der letzten Zeile gilt das sogar mit Wurzeln: $(2+\sqrt 3)(2-\sqrt 3)=4-3=1$.

Der Satz

Satz von Vieta

Hat die Gleichung $x^2+px+q=0$ die Lösungen $x_1$ und $x_2$, dann gilt:

$$x_1+x_2=-p\qquad\text{und}\qquad x_1\cdot x_2=q$$

Für die allgemeine Form $ax^2+bx+c=0$ (durch $a$ teilen) heißt das: $\;x_1+x_2=-\frac{b}{a}\;$ und $\;x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$.

Benannt ist der Satz nach dem französischen Mathematiker François Viète (1540–1603), lateinisch Vieta. Er war einer der Ersten, die mit Buchstaben statt mit Zahlen rechneten.

Über die Linearfaktorform. Hat $x^2+px+q$ die Nullstellen $x_1$ und $x_2$, dann ist $x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$. Ausmultipliziert:

$(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)\,x+x_1x_2$

Vergleicht man die Koeffizienten, steht vor $x$ einmal $p$ und einmal $-(x_1+x_2)$, als absolutes Glied einmal $q$ und einmal $x_1x_2$. Das ist der Satz. Es ist dieselbe Rechnung wie beim Faktorisieren in Modul I mit den Zahlen $m=-x_1$ und $n=-x_2$.

Über die pq-Formel. Mit $R=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$ sind die Lösungen $-\frac{p}{2}+\sqrt R$ und $-\frac{p}{2}-\sqrt R$. Die Wurzeln heben sich in der Summe auf: $x_1+x_2=-p$. Für das Produkt hilft die 3. binomische Formel: $x_1x_2=\frac{p^2}{4}-R=\frac{p^2}{4}-\frac{p^2}{4}+q=q$.

Nur wenn es Lösungen gibt

Der Satz sagt etwas über vorhandene Lösungen. Die Gleichung $x^2+2x+5=0$ hat keine Lösung, denn $1-5<0$. Es gibt also keine zwei Zahlen mit Summe $-2$ und Produkt $5$. Bei einer doppelten Lösung zählt sie zweimal: $x^2-6x+9=0$ hat $x_1=x_2=3$, und $3+3=6$, $3\cdot 3=9$.

Anwendung 1 · Probe ohne Einsetzen

Jemand hat für $x^2-5x-14=0$ die Lösungen $7$ und $-2$ ausgerechnet. Stimmt das?

Lösung

Summe: $7+(-2)=5=-p$ ✓ Produkt: $7\cdot(-2)=-14=q$ ✓

Beide Lösungen stimmen. Diese Probe ist schneller als zweimal Einsetzen. Sie findet auch Vorzeichenfehler: Mit $-7$ und $2$ stimmt das Produkt, aber die Summe nicht.

Anwendung 2 · Vieta umgekehrt

Gesucht ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen a) $4$ und $-6$, b) $\frac{2}{3}$ und $-1$, c) $3+\sqrt 2$ und $3-\sqrt 2$.

Lösung

Man rechnet Summe und Produkt aus und setzt $p=-(x_1+x_2)$ und $q=x_1\cdot x_2$.

a) Summe $-2$, Produkt $-24$: $x^2+2x-24=0$

b) Summe $-\frac{1}{3}$, Produkt $-\frac{2}{3}$: $x^2+\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}=0$. Mit $3$ multipliziert: $3x^2+x-2=0$

c) Summe $6$, Produkt $9-2=7$: $x^2-6x+7=0$

Die normierte Gleichung ist eindeutig. Multipliziert man sie mit einer Zahl $\neq 0$, hat die neue Gleichung dieselben Lösungen. Das ist dasselbe wie die Linearfaktorform: $(x-4)(x+6)=x^2+2x-24$.

Anwendung 3 · Vorzeichen der Lösungen

Ohne zu lösen

Das Produkt $q$ und die Summe $-p$ verraten die Vorzeichen der Lösungen, ohne dass man sie ausrechnet:

Bedingung	Lösungen	Begründung
$q<0$	eine positiv, eine negativ	Ein Produkt ist nur negativ, wenn die Faktoren verschiedene Vorzeichen haben.
$q>0$ und $p<0$	beide positiv	gleiches Vorzeichen, Summe $-p$ positiv
$q>0$ und $p>0$	beide negativ	gleiches Vorzeichen, Summe $-p$ negativ
$q=0$	eine Lösung ist $0$	Das Produkt ist null.

Achtung: Für $q>0$ muss man vorher prüfen, ob es überhaupt Lösungen gibt. Für $q<0$ ist das nie nötig: Dann ist $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$ sicher positiv, es gibt immer zwei Lösungen.

Zwei Beispiele

$x^2-3x-40=0$: $\;q=-40<0$, also eine positive und eine negative Lösung. Tatsächlich: $8$ und $-5$.

$x^2+7x+5=0$: $\;\left(\frac{7}{2}\right)^2-5=7{,}25>0$, es gibt Lösungen. $q>0$ und $p>0$, also sind beide negativ. Tatsächlich: $x_{1,2}=-3{,}5\pm\sqrt{7{,}25}$, also $x_1\approx -0{,}81$ und $x_2\approx -6{,}19$.

Koeffiziententricks

Über den Lehrplan hinaus

Eine Lösung sehen, die andere mit Vieta

Setzt man $x=1$ in $ax^2+bx+c$ ein, erhält man $a+b+c$. Setzt man $x=-1$ ein, erhält man $a-b+c$. Daraus folgen zwei Tricks:

Ist $a+b+c=0$, dann ist $x_1=1$ eine Lösung. Wegen $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$ ist die andere $x_2=\frac{c}{a}$.
Ist $a-b+c=0$, dann ist $x_1=-1$ eine Lösung. Wegen $(-1)\cdot x_2=\frac{c}{a}$ ist die andere $x_2=-\frac{c}{a}$.

Drei Beispiele

$7x^2-9x+2=0$: $\;7-9+2=0$, also $x_1=1,\;\; x_2=\frac{2}{7}$

$5x^2+8x+3=0$: $\;5-8+3=0$, also $x_1=-1,\;\; x_2=-\frac{3}{5}$

$2026x^2-2025x-1=0$: $\;2026-2025-1=0$, also $x_1=1,\;\; x_2=-\frac{1}{2026}$. Mit der Mitternachtsformel wäre das eine lange Rechnung.

Es lohnt sich, vor jeder Formel kurz $a+b+c$ und $a-b+c$ im Kopf zu prüfen.

Wann lohnt sich Vieta?

Stärken und Grenzen

Für die schnelle Probe: Summe und Produkt prüfen statt zweimal einsetzen.
Zum Aufstellen einer Gleichung mit vorgegebenen Lösungen.
Zum Raten ganzzahliger Lösungen im Kopf, wie beim Faktorisieren in Modul I, und mit den Koeffiziententricks.
Für Aussagen über die Lösungen (Vorzeichen, Summe, Produkt), ohne sie auszurechnen.
Zum Lösen von Gleichungen mit krummen Lösungen ist Vieta allein nicht geeignet. Dafür braucht man eine Formel oder den Weg im nächsten Tab.

Die Idee

Über den Lehrplan hinaus

Die Lösungen liegen symmetrisch

Gelöst werden soll $x^2-6x+5=0$. Nach Vieta ist die Summe der Lösungen $6$. Ihr Mittelwert ist also $3$, und das ist die Stelle des Scheitelpunkts (Modul I: $x_S=\frac{x_1+x_2}{2}$).

Die Lösungen liegen gleich weit links und rechts von $3$. Diesen Abstand nennen wir $u$. Dann sind die Lösungen $3+u$ und $3-u$.

Ihr Produkt muss $5$ sein: $(3+u)(3-u)=9-u^2=5$. Also ist $u^2=4$ und $u=2$.

Die Lösungen sind $3+2$ und $3-2$, also $x_1=5,\;\; x_2=1$.

$f(x)=x^2-6x+5$: Die Nullstellen liegen im Abstand $u=2$
links und rechts der Mitte $m=3$.

Woher der Name kommt

Po-Shen Loh ist Mathematiker an der Carnegie Mellon University in Pittsburgh und war lange Trainer der US-Mannschaft bei der Internationalen Mathematik-Olympiade. 2019 hat er diesen Weg als einfache Alternative zur Lösungsformel bekannt gemacht. Die Idee selbst ist viel älter, schon in babylonischen Keilschrifttexten wird so gerechnet.

Allgemein

Mitte und Abstand

Für $x^2+px+q=0$ ist die Summe der Lösungen $-p$. Die Mitte ist also $m=-\frac{p}{2}$, und die Lösungen sind $m+u$ und $m-u$. Aus dem Produkt folgt:

$$(m+u)(m-u)=m^2-u^2=q$$

und daraus

$$u^2=m^2-q$$

Ist $u^2>0$, gibt es zwei Lösungen $m\pm u$. Ist $u^2=0$, fallen sie zu $x=m$ zusammen. Ist $u^2<0$, gibt es keine Lösung.

Setzt man $m=-\frac{p}{2}$ ein, erhält man $u^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$, genau den Ausdruck unter der Wurzel der pq-Formel. Der Weg ist also eine weitere Herleitung dieser Formel. Man muss sich aber keine Formel merken, nur die Idee.

Vorgehen Schritt für Schritt

Mit Mitte und Abstand lösen

Auf die Normalform $x^2+px+q=0$ bringen.
Die Mitte bestimmen: $m=-\frac{p}{2}$, die Hälfte der Lösungssumme.
Ansatz $x=m\pm u$ und das Produkt aufschreiben: $m^2-u^2=q$.
Nach $u^2$ auflösen und $u$ bestimmen.
Die Lösungen sind $m+u$ und $m-u$.

Beispiel 1 · Ganze Zahlen

Gelöst werden soll $x^2+6x-16=0$.

Lösung

Summe der Lösungen $-6$, Mitte $m=-3$, Ansatz $x=-3\pm u$.

Produkt: $9-u^2=-16$ $\;\Longrightarrow\; u^2=25$ $\;\Longrightarrow\; u=5$

$x_1=-3+5=2,\;\; x_2=-3-5=-8$

Beispiel 2 · Ungerades p

Gelöst werden soll $x^2-3x-4=0$.

Lösung

Summe $3$, Mitte $m=1{,}5$, Ansatz $x=1{,}5\pm u$.

Produkt: $2{,}25-u^2=-4$ $\;\Longrightarrow\; u^2=6{,}25$ $\;\Longrightarrow\; u=2{,}5$

$x_1=4,\;\; x_2=-1$

Mit Dezimalzahlen statt Brüchen geht das gut im Kopf.

Beispiel 3 · Wurzel oder gar nichts

Gelöst werden sollen a) $x^2+4x-1=0$ und b) $x^2+4x+9=0$.

Lösung

In beiden Fällen ist $m=-2$, also $m^2=4$.

a) $4-u^2=-1$ $\;\Longrightarrow\; u^2=5$ $\;\Longrightarrow\; u=\sqrt 5$, also $x_{1,2}=-2\pm\sqrt 5$, gerundet $0{,}24$ und $-4{,}24$.

b) $4-u^2=9$ $\;\Longrightarrow\; u^2=-5$. Kein Quadrat ist negativ: keine Lösung.

Interaktiv

Verändere $p$ und $q$. Die graue Linie ist die Mitte $m$, die grünen Pfeile zeigen den Abstand $u$ zu den Lösungen. Wenn du nur $q$ veränderst, bleibt die Mitte stehen, und die Lösungen wandern symmetrisch auseinander oder zusammen.

Wann lohnt sich dieser Weg?

Stärken und Grenzen

Man muss sich keine Formel merken, nur: Mitte bestimmen, Abstand aus dem Produkt.
Für normierte Gleichungen mit nicht zu großen Zahlen geht er oft im Kopf.
Er zeigt, warum die Lösungen symmetrisch zur Scheitelstelle liegen.
Steht vor $x^2$ nicht $1$, muss man erst normieren. Dann ist die Mitternachtsformel meist bequemer.

Vorgehen Schritt für Schritt

Vom Text zur Gleichung und zurück

Festlegen, wofür die Variable steht, mit Einheit.
Die Angaben aus dem Text als Gleichung aufschreiben.
Auf die allgemeine Form bringen und mit einem passenden Verfahren lösen.
Jede Lösung am Sachverhalt prüfen. Eine Gleichung weiß nichts von Längen, Zeiten oder Anzahlen: Negative Längen, halbe Personen oder Zeiten vor dem Start fallen weg.
Einen Antwortsatz schreiben.

Beispiel 1 · Anhalteweg im Nebel

In der Fahrschule lernt man zwei Faustregeln, dabei ist $v$ die Geschwindigkeit in km/h und das Ergebnis eine Strecke in Metern:

Reaktionsweg (bis der Fuß auf der Bremse ist): $\frac{v}{10}\cdot 3$
Bremsweg (bis das Auto steht): $\frac{v}{10}\cdot\frac{v}{10}$

Reaktionsweg und Bremsweg zusammen ergeben den Anhalteweg. Bei dichtem Nebel kann eine Fahrerin nur $40\,\text{m}$ weit sehen. Wie schnell darf sie höchstens fahren, damit sie innerhalb der Sichtweite anhalten kann?

Lösung

Anhalteweg $=40$: $\;0{,}3v+0{,}01v^2=40$. Mit $100$ multiplizieren und ordnen:

$v^2+30v-4000=0$, also $p=30$, $q=-4000$.

pq-Formel: $15^2+4000=4225$, $\;\sqrt{4225}=65$, $\;v_{1,2}=-15\pm 65$, also $v_1=50$ und $v_2=-80$.

Eine negative Geschwindigkeit ergibt hier keinen Sinn. Probe: $15+25=40$ ✓

Sie darf höchstens 50 km/h fahren. Die Straßenverkehrs-Ordnung schreibt bei Sichtweiten unter $50\,\text{m}$ ebenfalls höchstens 50 km/h vor.

Beispiel 2 · Schachturnier

Bei einem Schachturnier spielt jede Teilnehmerin genau einmal gegen jede andere. Insgesamt werden $66$ Partien gespielt. Wie viele Personen nehmen teil?

Lösung

Es seien $n$ Personen. Jede spielt gegen $n-1$ andere. Bei $n\cdot(n-1)$ ist aber jede Partie doppelt gezählt, einmal für jede Spielerin. Also:

$\frac{n\,(n-1)}{2}=66$ $\;\Longrightarrow\; n^2-n=132$ $\;\Longrightarrow\; n^2-n-132=0$

Mitternachtsformel: $D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-132)=1+528=529$, $\;\sqrt{529}=23$

$n_{1,2}=\dfrac{1\pm 23}{2}$, also $n_1=12$ und $n_2=-11$. Eine negative Anzahl fällt weg.

Am Turnier nehmen 12 Personen teil. Probe: $\frac{12\cdot 11}{2}=66$ ✓

Beispiel 3 · Eine Schachtel aus Karton

Aus einem rechteckigen Karton, $30\,\text{cm}$ lang und $20\,\text{cm}$ breit, soll eine oben offene Schachtel werden. Dazu schneidet man an allen vier Ecken gleich große Quadrate heraus und klappt die Ränder hoch. Der Boden der Schachtel soll $264\,\text{cm}^2$ groß sein. Wie groß müssen die Quadrate sein?

Lösung

Die Quadrate haben die Seitenlänge $x$ (in cm). An jeder Seite fällt zweimal $x$ weg, der Boden ist $(30-2x)$ lang und $(20-2x)$ breit:

$(30-2x)(20-2x)=264$ $\;\Longrightarrow\; 600-100x+4x^2=264$ $\;\Longrightarrow\; 4x^2-100x+336=0$

Durch $4$ teilen: $x^2-25x+84=0$. Nach Vieta sucht man zwei Zahlen mit Summe $25$ und Produkt $84$: $4$ und $21$.

Die Lösung $x=21$ ist unmöglich, denn der Karton ist nur $20\,\text{cm}$ breit.

Die Quadrate müssen 4 cm Seitenlänge haben. Probe: Der Boden ist $22\,\text{cm}\times 12\,\text{cm}=264\,\text{cm}^2$ ✓

Beispiel 4 · Ein Ball fliegt nach oben

Ein Ball wird aus $1{,}5\,\text{m}$ Höhe senkrecht nach oben geworfen. Ohne Luftwiderstand ist er nach $t$ Sekunden in der Höhe

$$h(t)=-5t^2+12t+1{,}5\quad\text{(in Metern)}.$$

a) Wann ist der Ball in $8{,}5\,\text{m}$ Höhe?
b) Wann ist er am höchsten Punkt, und wie hoch ist er dann?
c) Wann landet er auf dem Boden?

Lösung

a) $-5t^2+12t+1{,}5=8{,}5$ $\;\Longrightarrow\; -5t^2+12t-7=0$ $\;\Longrightarrow\; 5t^2-12t+7=0$

Koeffiziententrick: $5-12+7=0$, also $t_1=1$ und $t_2=\frac{7}{5}=1{,}4$. Der Ball ist nach 1 s (auf dem Weg nach oben) und nach 1,4 s (auf dem Weg nach unten) in 8,5 m Höhe.

b) Der höchste Punkt liegt genau in der Mitte zwischen $1$ und $1{,}4$, also bei $t=1{,}2$. Dort ist $h(1{,}2)=-7{,}2+14{,}4+1{,}5=8{,}7$. Nach 1,2 s ist der Ball 8,7 m hoch.

c) $-5t^2+12t+1{,}5=0$ $\;\Longrightarrow\; 5t^2-12t-1{,}5=0$. Mitternachtsformel: $D=144+30=174$, $\;t_{1,2}=\dfrac{12\pm\sqrt{174}}{10}$, also $t_1\approx 2{,}52$ und $t_2\approx -0{,}12$.

Eine Zeit vor dem Wurf fällt weg. Der Ball landet nach etwa 2,5 s.

Biquadratische Gleichungen

Über den Lehrplan hinaus

Eine Gleichung vierten Grades

Die Gleichung $x^4-13x^2+36=0$ enthält $x^4$ und $x^2$, aber kein $x^3$ und kein $x$. Sie heißt biquadratisch. Wegen $x^4=(x^2)^2$ steckt eine quadratische Gleichung in ihr.

Man substituiert (ersetzt) $z=x^2$:

$z^2-13z+36=0$ $\;\Longrightarrow\; (z-4)(z-9)=0$ $\;\Longrightarrow\; z_1=4,\;\; z_2=9$

Dann wird zurücksubstituiert: $x^2=4$ ergibt $x=\pm 2$, und $x^2=9$ ergibt $x=\pm 3$.

$x_1=-3,\;\; x_2=-2,\;\; x_3=2,\;\; x_4=3$ Probe mit $x=3$: $81-117+36=0$ ✓

Wie viele Lösungen?

Jede positive Lösung $z$ liefert zwei Lösungen $x=\pm\sqrt z$, die Lösung $z=0$ liefert $x=0$, und eine negative Lösung $z$ liefert keine. Eine biquadratische Gleichung hat also $0$, $1$, $2$, $3$ oder $4$ Lösungen.

Beispiel: $x^4+3x^2-4=0$ wird zu $z^2+3z-4=0$ mit $z_1=1$ und $z_2=-4$. Nur $x^2=1$ liefert Lösungen: $x_{1,2}=\pm 1$. Die Gleichung $x^2=-4$ hat keine Lösung.

Parameteraufgaben

Für welches t gibt es genau eine Lösung?

In der Gleichung $x^2+tx+9=0$ steht ein Parameter $t$, also eine Zahl, die noch nicht festgelegt ist. Gefragt ist, für welche $t$ es genau eine Lösung gibt.

Genau eine Lösung heißt $D=0$: $\;t^2-4\cdot 9=0$ $\;\Longrightarrow\; t^2=36$ $\;\Longrightarrow\;$ $t=6$ oder $t=-6$.

Probe: $x^2+6x+9=(x+3)^2$ und $x^2-6x+9=(x-3)^2$ ✓. Für $|t|>6$ gibt es zwei Lösungen, für $-6\lt t\lt 6$ keine.

Mit Falle

Für welche $t$ hat $tx^2+4x+t-3=0$ genau eine Lösung?

Fall $t=0$: Dann fällt $x^2$ weg, übrig bleibt $4x-3=0$. Das ist eine lineare Gleichung mit genau einer Lösung $x=\frac{3}{4}$. Also ist $t=0$ eine Antwort.

Fall $t\neq 0$: Die Gleichung ist quadratisch, $b=4$ ist gerade. Genau eine Lösung heißt $D_1=0$:

$D_1=2^2-t\,(t-3)=4-t^2+3t=0$ $\;\Longrightarrow\; t^2-3t-4=0$ $\;\Longrightarrow\; (t-4)(t+1)=0$

Genau eine Lösung gibt es für $t=-1$, $t=0$ und $t=4$. Wer den Fall $t=0$ vergisst, verliert eine Antwort. Diese Falle ist typisch für Olympiade-Aufgaben.

Mit Vieta

Für welche $t$ ist bei $x^2-tx+12=0$ eine Lösung dreimal so groß wie die andere?

Die Lösungen seien $s$ und $3s$. Nach Vieta ist das Produkt $3s^2=12$, also $s^2=4$ und $s=2$ oder $s=-2$. Die Summe ist $t=s+3s=4s$.

$t=8$ oder $t=-8$. Probe: $x^2-8x+12=(x-2)(x-6)$ ✓ und $x^2+8x+12=(x+2)(x+6)$ ✓

Ausblick · Wenn D negativ ist

Cardanos Rätsel

Der italienische Mathematiker Gerolamo Cardano stellte 1545 die Aufgabe, die Zahl $10$ so in zwei Teile zu zerlegen, dass ihr Produkt $40$ ist. Nach Vieta sind die Teile die Lösungen von $x^2-10x+40=0$.

Hier ist $D_1=25-40=-15<0$. Es gibt keine Lösung. Cardano rechnete trotzdem einfach weiter und schrieb $x_{1,2}=5\pm\sqrt{-15}$. Mit den Rechenregeln, als ob es diese Wurzel gäbe, stimmt die Probe:

$(5+\sqrt{-15})+(5-\sqrt{-15})=10$ ✓ $(5+\sqrt{-15})(5-\sqrt{-15})=25-(-15)=40$ ✓

Er nannte diese Zahlen „ebenso spitzfindig wie nutzlos“.

Eine neue Zahl

Heute rechnet man mit einer neuen Zahl $i$, für die $i^2=-1$ gilt. Dann ist zum Beispiel $\sqrt{-16}=4i$, denn $(4i)^2=16\cdot i^2=-16$.

Damit hat auch $x^2+2x+5=0$ Lösungen: $D=4-20=-16$, also $x_{1,2}=\dfrac{-2\pm 4i}{2}=-1\pm 2i$.

Probe für $x=-1+2i$: $\;(-1+2i)^2+2(-1+2i)+5=(1-4i-4)+(-2+4i)+5=0$ ✓

Zahlen der Form $a+b\,i$ heißen komplexe Zahlen. Mit ihnen hat jede quadratische Gleichung Lösungen. Sie werden in der Oberstufe oder im Studium behandelt und sind heute aus der Elektrotechnik und der Physik nicht wegzudenken.

Übung 1 · pq-Formel

AufgabeMit der pq-Formel lösen

a) $x^2-8x+12=0$ b) $x^2+5x-14=0$ c) $x^2-2x-7=0$ d) $x^2+3x+4=0$ e) $2x^2-6x-20=0$

a) $\frac{p}{2}=-4$, $\;16-12=4$, $\;x_{1,2}=4\pm 2$, $\;x_1=6$, $x_2=2$

b) $\frac{p}{2}=2{,}5$, $\;6{,}25+14=20{,}25$, $\;x_{1,2}=-2{,}5\pm 4{,}5$, $\;x_1=2$, $x_2=-7$

c) $\frac{p}{2}=-1$, $\;1+7=8$, $\;x_{1,2}=1\pm\sqrt 8$, also $x_1\approx 3{,}83$, $x_2\approx -1{,}83$

d) $\frac{p}{2}=1{,}5$, $\;2{,}25-4=-1{,}75<0$: keine Lösung

e) $:2$: $\;x^2-3x-10=0$, $\;\frac{p}{2}=-1{,}5$, $\;2{,}25+10=12{,}25$, $\;x_{1,2}=1{,}5\pm 3{,}5$, $\;x_1=5$, $x_2=-2$

Übung 2 · Mitternachtsformel

AufgabeMit der Mitternachtsformel lösen, D zuerst

a) $2x^2+7x+3=0$ b) $6x^2-x-2=0$ c) $-x^2+4x+5=0$ d) $9x^2+6x+1=0$ e) $3x^2-2x+4=0$ f) $2x^2+3x-1=0$

a) $D=49-24=25$, $\;x_{1,2}=\dfrac{-7\pm 5}{4}$, $\;x_1=-\frac{1}{2}$, $x_2=-3$

b) $D=1+48=49$, $\;x_{1,2}=\dfrac{1\pm 7}{12}$, $\;x_1=\frac{2}{3}$, $x_2=-\frac{1}{2}$

c) $D=16+20=36$, $\;x_{1,2}=\dfrac{-4\pm 6}{-2}$, $\;x_1=-1$, $x_2=5$

d) $D=36-36=0$, $\;x=\frac{-6}{18}=-\frac{1}{3}$ (doppelt)

e) $D=4-48=-44<0$: keine Lösung

f) $D=9+8=17$, $\;x_{1,2}=\dfrac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$, also $x_1\approx 0{,}28$, $x_2\approx -1{,}78$

Übung 3 · Diskriminante

AufgabeWie viele Lösungen? Nur D berechnen!

a) $4x^2-20x+25=0$ b) $3x^2+x-7=0$ c) $-2x^2+3x-5=0$ d) $x^2+1000x+1=0$ e) $5x^2-8=0$

a) $D=400-400=0$: eine Lösung

b) $D=1+84=85>0$: zwei

c) $D=9-40=-31<0$: keine

d) $D=1\,000\,000-4>0$: zwei

e) $D=0+160=160>0$: zwei. Hier geht es auch ohne $D$: $x^2=1{,}6$.

Übung 4 · D₁-Formel

Über den Lehrplan hinausMit der D₁-Formel lösen

a) $3x^2-10x+3=0$ b) $5x^2+12x+4=0$ c) $x^2-14x+40=0$ d) $2x^2+8x+5=0$

a) $\frac{b}{2}=-5$, $\;D_1=25-9=16$, $\;x_{1,2}=\dfrac{5\pm 4}{3}$, $\;x_1=3$, $x_2=\frac{1}{3}$

b) $\frac{b}{2}=6$, $\;D_1=36-20=16$, $\;x_{1,2}=\dfrac{-6\pm 4}{5}$, $\;x_1=-\frac{2}{5}$, $x_2=-2$

c) $\frac{b}{2}=-7$, $\;D_1=49-40=9$, $\;x_{1,2}=7\pm 3$, $\;x_1=10$, $x_2=4$

d) $\frac{b}{2}=4$, $\;D_1=16-10=6$, $\;x_{1,2}=\dfrac{-4\pm\sqrt 6}{2}$, also $x_1\approx -0{,}78$, $x_2\approx -3{,}22$

Übung 5 · Satz von Vieta

AufgabePrüfen, aufstellen, ergänzen

a) Prüfe ohne Einsetzen, ob $3$ und $-8$ die Lösungen von $x^2+5x-24=0$ sind.
b) Stelle eine normierte Gleichung mit den Lösungen $-2$ und $7$ auf.
c) Stelle eine Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten und den Lösungen $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{4}$ auf.
d) Stelle eine normierte Gleichung mit den Lösungen $2+\sqrt 5$ und $2-\sqrt 5$ auf.
e) Eine Lösung von $x^2-9x+14=0$ ist $2$. Bestimme die andere, ohne die Gleichung zu lösen.

a) Summe $-5=-p$ ✓, Produkt $-24=q$ ✓. Ja.

b) Summe $5$, Produkt $-14$: $\;x^2-5x-14=0$

c) Summe $\frac{5}{4}$, Produkt $\frac{3}{8}$: $\;x^2-\frac{5}{4}x+\frac{3}{8}=0$, mit $8$ multipliziert $8x^2-10x+3=0$

d) Summe $4$, Produkt $4-5=-1$: $\;x^2-4x-1=0$

e) Produkt $14$, also $2\cdot x_2=14$ und $x_2=7$. Kontrolle mit der Summe: $2+7=9$ ✓

Übung 6 · Vorzeichen der Lösungen

AufgabeEntscheiden, ohne zu lösen

Gib mit dem Satz von Vieta an, welche Vorzeichen die Lösungen haben. Prüfe vorher, ob es Lösungen gibt, wo das nötig ist.

a) $x^2-11x+24=0$ b) $x^2+4x-45=0$ c) $x^2+9x+20=0$ d) $x^2+2x+3=0$

a) $30{,}25-24>0$, Lösungen vorhanden. $q>0$, $p<0$: beide positiv ($3$ und $8$).

b) $q<0$: eine positiv, eine negativ ($5$ und $-9$). Eine Prüfung ist nicht nötig.

c) $20{,}25-20>0$. $q>0$, $p>0$: beide negativ ($-4$ und $-5$).

d) $1-3<0$: keine Lösung. Die Frage nach Vorzeichen stellt sich nicht.

Übung 7 · Koeffiziententricks

Über den Lehrplan hinausEine Lösung sehen, die andere ausrechnen

a) $4x^2-9x+5=0$ b) $3x^2+10x+7=0$ c) $100x^2-99x-1=0$ d) $2025x^2+2026x+1=0$

a) $4-9+5=0$: $\;x_1=1$, $x_2=\frac{5}{4}$

b) $3-10+7=0$: $\;x_1=-1$, $x_2=-\frac{7}{3}$

c) $100-99-1=0$: $\;x_1=1$, $x_2=-\frac{1}{100}$

d) $2025-2026+1=0$: $\;x_1=-1$, $x_2=-\frac{1}{2025}$

Übung 8 · Mitte und Abstand

Über den Lehrplan hinausNach Po-Shen Loh lösen

a) $x^2-12x+35=0$ b) $x^2+8x-20=0$ c) $x^2-5x+4=0$ d) $x^2-2x-5=0$

a) $m=6$: $\;36-u^2=35$, $\;u=1$, $\;x_1=7$, $x_2=5$

b) $m=-4$: $\;16-u^2=-20$, $\;u^2=36$, $\;u=6$, $\;x_1=2$, $x_2=-10$

c) $m=2{,}5$: $\;6{,}25-u^2=4$, $\;u^2=2{,}25$, $\;u=1{,}5$, $\;x_1=4$, $x_2=1$

d) $m=1$: $\;1-u^2=-5$, $\;u^2=6$, $\;x_{1,2}=1\pm\sqrt 6$, also $x_1\approx 3{,}45$, $x_2\approx -1{,}45$

Übung 9 · Sachaufgaben

AufgabeEin Kiesweg um den Rasen

Um einen rechteckigen Rasen, $12\,\text{m}$ lang und $8\,\text{m}$ breit, soll außen herum ein überall gleich breiter Kiesweg angelegt werden. Der Kies reicht für $44\,\text{m}^2$. Wie breit wird der Weg? Löse mit der pq-Formel.

Breite $x$ in m. Rasen mit Weg: $(12+2x)(8+2x)$, davon der Rasen $96\,\text{m}^2$ ab:

$(12+2x)(8+2x)-96=44$ $\;\Longrightarrow\; 4x^2+40x-44=0$ $\;\Longrightarrow\; x^2+10x-11=0$

$\frac{p}{2}=5$, $\;25+11=36$, $\;x_{1,2}=-5\pm 6$, also $x_1=1$ und $x_2=-11$ (keine Breite).

Der Weg wird $1\,\text{m}$ breit. Probe: $14\cdot 10-96=44$ ✓

AufgabeDiagonalen im Vieleck

Ein $n$-Eck hat $\frac{n\,(n-3)}{2}$ Diagonalen. Welches Vieleck hat genau $35$ Diagonalen? Löse mit der Mitternachtsformel.

$\frac{n\,(n-3)}{2}=35$ $\;\Longrightarrow\; n^2-3n-70=0$

$D=9+280=289$, $\;\sqrt{289}=17$, $\;n_{1,2}=\dfrac{3\pm 17}{2}$, also $n_1=10$ und $n_2=-7$ (keine Eckenzahl).

Ein Zehneck hat $35$ Diagonalen. Probe: $\frac{10\cdot 7}{2}=35$ ✓

Übung 10 · Weiterführendes

Über den Lehrplan hinausSubstitution und Parameter

a) Löse $x^4-10x^2+9=0$. b) Löse $x^4-2x^2-8=0$.
c) Für welche $t$ hat $x^2-6x+t=0$ zwei, eine oder keine Lösung?
d) Für welche $t$ hat $(t-2)\,x^2+2tx+t+3=0$ genau eine Lösung?

a) $z^2-10z+9=0$, $\;z_1=1$, $z_2=9$, also $x=\pm 1$ und $x=\pm 3$: vier Lösungen

b) $z^2-2z-8=0$, $\;z_1=4$, $z_2=-2$. Nur $x^2=4$ hat Lösungen: $x_{1,2}=\pm 2$

c) $D_1=9-t$. Zwei Lösungen für $t<9$, eine für $t=9$, keine für $t>9$.

d) Fall $t=2$: $4x+5=0$, genau eine Lösung $x=-\frac{5}{4}$. Fall $t\neq 2$: $D_1=t^2-(t-2)(t+3)=t^2-t^2-t+6=6-t=0$, also $t=6$. Genau eine Lösung gibt es für $t=2$ und $t=6$.

Übung 11 · Fehler finden

AufgabeWas ist hier schiefgegangen?

a) Mia löst $x^2-6x+5=0$ so: „$x_{1,2}=-3\pm\sqrt{9-5}=-3\pm 2$, also $x_1=-1$ und $x_2=-5$.“
b) Lukas löst $2x^2+3x-2=0$ so: „$p=3$, $q=-2$, also $x_{1,2}=-1{,}5\pm\sqrt{2{,}25+2}$.“
c) Sara rechnet für $x^2-4x-5=0$ die Diskriminante so aus: „$D=-4^2-4\cdot 1\cdot(-5)=-16+20=4$.“

a) Es ist $p=-6$, also $-\frac{p}{2}=+3$. Richtig: $x_{1,2}=3\pm 2$, $\;x_1=5$, $x_2=1$. Mit Vieta fällt der Fehler sofort auf: Die Summe müsste $6$ sein.

b) Lukas hat nicht normiert. Die pq-Formel gilt nur für $a=1$. Richtig, zum Beispiel mit der Mitternachtsformel: $D=9+16=25$, $\;x_{1,2}=\dfrac{-3\pm 5}{4}$, $\;x_1=\frac{1}{2}$, $x_2=-2$.

c) $b=-4$ muss in Klammern quadriert werden: $(-4)^2=16$. Richtig: $D=16+20=36$, und damit $x_1=5$, $x_2=-1$.

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